清華大學(xué)楊虎應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題參考答案

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1正常狀況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量2

(4.55,0.108)XN.現(xiàn)在測試了5爐鐵水，其含碳量分離為4.28，4.40，4.42，4.35，4.37.假如方差沒有轉(zhuǎn)變，問總體的均值有無顯著變化？假如總體均值沒有轉(zhuǎn)變，問總體方差是否有顯著變化（0.05α=）？

解由題意知2

~(4.55,0.108),5,0.05XNnα==，1/20.9751.96uuα-==，設(shè)立

統(tǒng)計(jì)原假設(shè)0010:,:HHμμμμ=≠拒

絕

域

為

{}

00Kxcμ=->，臨界值

1/2

1.960.108/0.0947cuα-==?=，

因?yàn)?4.3644.550.186xcμ-=-=>，所以否決0H，總體的均值有顯著性

變化.

設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)2

2

2

2

0010:,:HHσσσσ=≠因?yàn)?μμ=，所以當(dāng)0.05α=時(shí)

2

222

0.0250.9751

1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,niiSXnμχχ==-===∑

22

10.02520.975(5)/50.166,(5)/52.567ccχχ====

否決域?yàn)閧}

2222

00201//Kscscσσ=>，所以否決0H，總體的方差有顯著性變化.2一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h.現(xiàn)抽測25件，得其均值為

x=950h.已知該種元件壽命2(100,)XNσ，問這批元件是否合格（0.05α=）？

解由題意知2

(100,)XNσ，設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)

0010:,:,100.0.05.HHμμμμσα≥臨界值為0.050.0532.9cuu=?=?=-

因?yàn)?50xcμ-=-當(dāng)0.05α=時(shí)，2

500.89,34.5,5.8737xss===

臨界值12(1)4.5149ctnα-=-?=，因?yàn)?0.8889xcμ-=當(dāng)α=0.05時(shí)，可得

222

0.0250.97512500.89,34.5,(5)2.7,(5)19.02,0.3,2.11xsccχχ======

因?yàn)?2

001.0138sKσ=∈,所以接受0H，可以認(rèn)為方差為25.5.

4某部門對當(dāng)前市場的雞蛋價(jià)格狀況舉行調(diào)查，抽查某市20個(gè)集市上雞蛋的平均售價(jià)為3.399（元/500克），標(biāo)準(zhǔn)差為0.269（元/500克）.已知往年的平均售價(jià)向來穩(wěn)定在3.25（元/500克）左右，問該市當(dāng)前的雞蛋售價(jià)是否顯然高于往年？（0.05α=）

解設(shè)X表示市場雞蛋的價(jià)格（單位：元/克），由題意知2(,)X

Nμσ

設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)0010:3.25,:HHμμμμ==>,否決域?yàn)閧}00Kxcμ=->

當(dāng)α=0.05時(shí)，13.399,0.269,20,0.0992xncασμ-====?=臨界值

因?yàn)?3.3993.250.149.xcμ-=-=>所以否決0H，當(dāng)前的雞蛋售價(jià)顯然高于

往年.

5已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度2(,0.048)X

Nμ，某日抽測8根纖維，其纖度

分離為1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，問這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差2σ是否顯然變大了（0.05α=）？

解由題意知2(,0.048)X

Nμ，0.05α=

設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)222222

0010:0.048,:0.048HHσσσσ==>=

否決域?yàn)閧}

22

00Kscσ=>，當(dāng)0.05α=時(shí)，

2220.950.951.4213,0.0055,(7)14.07,(7)72.0096xscχχ=====

因?yàn)?2

02.3988scσ=>，所以否決0H，認(rèn)為強(qiáng)度的方差顯然變大.

6某種電子元件,要求平均壽命不得低于2000h，標(biāo)準(zhǔn)差不得超過130h.現(xiàn)從一批該種元件中抽取25只,測得壽命均值1950h,標(biāo)準(zhǔn)差148hs=.設(shè)元件壽命聽從正態(tài)分布，試在顯著水平α=0.05下,確定這批元件是否合格.解設(shè)X表示電子元件的平均壽命（單位：h），由題意知2(,)XNμσ

設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)0010:=2000H，所以接受0H，即這批電子元件的壽命是合格的.

7設(shè)nXXX,...,,21為來自總體(,4)X

Nμ的樣本，已知對統(tǒng)計(jì)假

01:1;:2.5HHμμ==的否決域?yàn)?K{}2>=X.1）當(dāng)9=n時(shí)，求犯兩類錯(cuò)的概率α

與β；2）證實(shí)：當(dāng)n→∞時(shí)，α→0，β→0.

解（1）由題意知{}

010~(,4),:1;:2.5,2,9.XNHHKXnμμμ===>=犯第一類錯(cuò)誤的概率為

(

)211.51(1.5)0.0668.XPXPαμ?=>==>==-Φ=??

犯其次類錯(cuò)誤的概率為

(

)22.50.75(0.75)1(0.75)0.2266.

XPXPβμ?=≤==≤=-?

?=Φ-=-Φ=

（2）若0:1Hμ=成立，則(1,4)XN

}{}{00000()=11)

nPHHPXcPXcncαμμσ=≥+=-==->≤????

即

1.65)0.95Φ≥,化簡得23.311n≥≈.

9設(shè)nXXX,...,,21為來自總體X～2

0(,)Nμσ的樣本，20σ為已知,對假設(shè)：

0011:;:HHμμμμ==其中01μμ≠，試證實(shí)：2

2

112

12()()

nαβσμμμμ--=+?-解（1）10>μμ當(dāng)初,由題意知00110:;:;HHμμμμμ==>

犯第一，二類錯(cuò)誤分離為,αβ

，則有001(|)PXccuα

αμμμ-=>+=?=

01110

(|))XPXcPuαβμμμμμ-=≤+==≤=

?()()

2

202211112

0010uuuunuuββα

αβαβσμμμ=-=?+=?=+-（2）10μμ≤當(dāng)初

由題意知00110:,:HHμμμμμ==≤，犯第一，二類錯(cuò)誤分離為,αβ，則有

00(|)PXccuα

αμμμ=??

=>===

+???

??

12設(shè)總體2(,)X

Nμσ，按照假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，對統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

00110:,:()()H

Hμμμμ

μσ==>已知

；0010:,:HHμμμμσ≥成立時(shí)

()01XPXcPαμμμ=->==>

=-Φ

{}

1100

,

ucuKXc

αα

μ

--

===->

所以否決域?yàn)閩

{00

KXc

μ

=->

當(dāng)

0010

:,:

HH

μμμμ

≥已知；（2）

2222

0010

:,:()

HH

σσσσμ

≤>未知

試分析其否決域.

解由題意知2

~(,)

XNμσ

（1）假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為2222

0010

:=,:>

HH

σσσσ其中μ已知

當(dāng)

H成立時(shí)，否決域形式為

2

02

=>

s

Kc

σ

??

?

??

??

?

由

22

2

22

=(n)

nsns

χ

σσ

，可得

2

2

=>

ns

Pnc

α

σ

??

?

??

??

?

所以2

1-

=()

ncn

α

χ，由此可得否決域形式為

2

2

01-

2

1

=>()

s

Kn

nα

χ

σ

??

?

??

??

?

（2）假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為2222

0010

:

HH

σσσσ其中μ未知

當(dāng)

H成立時(shí)，挑選否決域?yàn)?/p>

2

02

=>

s

Kc

σ

??

?

??

??

?

，由

2

2

2

(-1)

(1)

ns

n

χ

σ

-

得

()

()

()

()

22

22

11

11

nsns

PncPnc

α

σσ

????

--

????

=>-≤>-

????

????

????

所以2

1(1)(1)ncnαχ--=-，由此可得否決域形式為

22

01-201=>(1)1sKnnα

χσ???-??-???

14從甲、乙兩煤礦各取若干樣品，得其含灰率（%）為,甲:24.3,20.8,23.7,21.

3,17.4,乙:18.2,16.9,20.2,16.7.假定含灰率均聽從正態(tài)分布且22

12=σσ，問甲、乙

兩煤礦的含灰率有無顯著差異（=0.05α）？解由題意知2212(,),Y(,)X

NNμσμσ

設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為012112:=;:HHμμμμ≠其中12=5,=4nn當(dāng)=0.05α?xí)r

1/2122.3238,(2)2.3646wstnnα-==+-=

臨界值

1-12=(+2)3.6861wctnnsα-?=否決域?yàn)閩

{

03.6861Kxyc=->=而03.5,,.xycH-==

而1.6xyc-=，接受0H，認(rèn)為乙的精度高.

17要比較甲、乙兩種輪胎的耐磨性，現(xiàn)從甲、乙兩種輪胎中各取8個(gè)，各取一個(gè)組成一對，再隨機(jī)選取8架飛機(jī)，將8對輪胎磨損量（單位：mg）數(shù)據(jù)列表如下：

試問這兩種輪胎的耐磨性有無顯著差異？(=0.05α).假定甲、乙兩種輪胎的磨損量分離滿足2212(,),Y(,)X

NNμσμσ且兩個(gè)樣本互相自立.

解由題意知2

2

12(,),Y(,)X