(重要)高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項和七種求和方法-練習(xí)及答案

21-(重要)高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項和七種求和方法_練習(xí)及答案高中數(shù)列知識點總結(jié)(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2．等差數(shù)列通項公式：，首項:，公差:d，末項:推廣：．從而；3．等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列．（2）等差中項法：數(shù)列是等差數(shù)列．（3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。4.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.注：。（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列。（5）在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即an,an+m,an+2m,…,為等差數(shù)列，公差為md。（6）是公差為d的等差數(shù)列，是前n項和，那么數(shù)列,…成公差為k2d的等差數(shù)列。（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和1）當項數(shù)為偶數(shù)時，，2）當項數(shù)為奇數(shù)2n-1，則(9)若a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式組來確定n。若a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式組來確定n。（10）等差數(shù)列前n項和為An,Bn，二)等比數(shù)列的公式及性質(zhì)1.等比數(shù)列的定義：，稱為公比2.通項公式：推廣：，從而得或3.等比中項:數(shù)列是等比數(shù)列4.等比數(shù)列的前n項和公式：5.等比數(shù)列的判定方法（1）定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列（2）等比中項：（0）為等比數(shù)列（3）通項公式：為等比數(shù)列（4）前n項和公式：為等比數(shù)列6.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若m+n=s+t(m,n,s,t),則.特別的,當n+m=2k時,得注：(2)數(shù)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列,,,，(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.且公比分別為1/q，q，qk，q1·q2，q1/q2.(3)數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數(shù)列,公比為qk(4)如果是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(5)若為等比數(shù)列,則數(shù)列，，，成等比數(shù)列（當q=－1且k為偶數(shù)時不成立）。(6)若為等比數(shù)列,則數(shù)列,,成等比數(shù)列(7)①當時，②當時，③當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(8)在等比數(shù)列中,當項數(shù)為2n(n)時,.(9)若是公比為q的等比數(shù)列,則3．求數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。二、累加法例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則三、累乘法例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為例5（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為 ①所以 ②用②式－①式得則故四、待定系數(shù)法（重點）例6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) ⑥將代入⑥式，得整理得。令，則，代入⑥式得 ⑦例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入⑧式，得⑨五、對數(shù)變換法例9已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得 ⑩設(shè) eq\o\ac(○,11)六、迭代法例10已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以七、數(shù)學(xué)歸納法例11已知，求數(shù)列的通項公式。（其他方法呢？）解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當時，，所以等式成立。（2）假設(shè)當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。八、換元法例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，九、不動點法例13已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為十、倒數(shù)法，求4.求數(shù)列前n項和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：4、[例1]求的前n項和.[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法（等差乘等比）[例3]求和：[例4]求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設(shè)…………………①………………②（設(shè)制錯位）①－②得（錯位相減）∴三、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.[例5]求證：證明：設(shè)…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②（反序）又因為①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項和：，…[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.解：設(shè)∴＝將其每一項拆開再重新組合得Sn＝（分組）五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求數(shù)列的前n項和.[例10]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項的和.[例11]求證：解：設(shè)∵（裂項）∴（裂項求和）＝＝＝＝∴原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]數(shù)列{an}：，求S2002.解：設(shè)S2002＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5[例14]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)得（合并求和）＝＝＝10七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通項及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝[例16]已知數(shù)列{an}：的值.數(shù)列練習(xí)一、選擇題1.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=A.B.C.D.22.已知為等差數(shù)列，，則等于 A.-1 B.1 C.3 D.73.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則等于A.18B.24C.60D.90.4設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于A．13B．35C．49D．635.已知為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝（A）－2（B）－（C）（D）26.等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和A.90B.100C.145D.1907.等差數(shù)列的前n項和為，已知，,則（A）38（B）20（C）10（D）9.8.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=A． B． C． D．9.等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空題1設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則．2.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項積為，則，，，成等比數(shù)列．3.在等差數(shù)列中,,則.4.等比數(shù)列{}的公比,已知=1，，則{}的前4項和=.數(shù)列練習(xí)參考答案一、選擇題1.【答案】B【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B2.【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B?！敬鸢浮緽3.答案：C【解析】由得得,再由得則,所以,.故選C4.解:故選C.或由,所以故選C.5.【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B6.【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝1007.【答案】C【解析】因為是等差數(shù)列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故選.C。8.【答案】A解析設(shè)數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項和9.【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100二、填空