(重要)高中數學數列十種求通項和七種求和方法-練習及答案

21-(重要)高中數學數列十種求通項和七種求和方法_練習及答案高中數列知識點總結(一)等差數列的公式及性質1.等差數列的定義：（d為常數）（）；2．等差數列通項公式：，首項:，公差:d，末項:推廣：．從而；3．等差數列的判定方法（1）定義法：若或(常數)是等差數列．（2）等差中項法：數列是等差數列．（3）數列是等差數列（其中是常數）。（4）數列是等差數列,（其中A、B是常數）。4.等差數列的性質：（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.注：。（4）若、為等差數列，則都為等差數列。（5）在等差數列中，等距離取出若干項也構成一個等差數列，即an,an+m,an+2m,…,為等差數列，公差為md。（6）是公差為d的等差數列，是前n項和，那么數列,…成公差為k2d的等差數列。（7）設數列是等差數列，d為公差，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前n項的和1）當項數為偶數時，，2）當項數為奇數2n-1，則(9)若a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式組來確定n。若a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式組來確定n。（10）等差數列前n項和為An,Bn，二)等比數列的公式及性質1.等比數列的定義：，稱為公比2.通項公式：推廣：，從而得或3.等比中項:數列是等比數列4.等比數列的前n項和公式：5.等比數列的判定方法（1）定義：對任意的n,都有為等比數列（2）等比中項：（0）為等比數列（3）通項公式：為等比數列（4）前n項和公式：為等比數列6.等比數列的性質(1)若m+n=s+t(m,n,s,t),則.特別的,當n+m=2k時,得注：(2)數列,為等比數列,則數列,,,，(k為非零常數)均為等比數列.且公比分別為1/q，q，qk，q1·q2，q1/q2.(3)數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列,公比為qk(4)如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列(5)若為等比數列,則數列，，，成等比數列（當q=－1且k為偶數時不成立）。(6)若為等比數列,則數列,,成等比數列(7)①當時，②當時，③當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）;④當q<0時,該數列為擺動數列.(8)在等比數列中,當項數為2n(n)時,.(9)若是公比為q的等比數列,則3．求數列通項公式的常用方法一、公式法例1已知數列滿足，，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。二、累加法例2已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以數列的通項公式為。例3已知數列滿足，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，則三、累乘法例4已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數列的通項公式為例5（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。解：因為 ①所以 ②用②式－①式得則故四、待定系數法（重點）例6已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設 ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得例7已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設 ⑥將代入⑥式，得整理得。令，則，代入⑥式得 ⑦例8已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入⑧式，得⑨五、對數變換法例9已知數列滿足，，求數列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩設 eq\o\ac(○,11)六、迭代法例10已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以七、數學歸納法例11已知，求數列的通項公式。（其他方法呢？）解：由及，得由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。（1）當時，，所以等式成立。（2）假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。八、換元法例12已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，九、不動點法例13已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，得，則是函數的兩個不動點。因為十、倒數法，求4.求數列前n項和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.等差數列求和公式：2、等比數列求和公式：4、[例1]求的前n項和.[例2]設Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法（等差乘等比）[例3]求和：[例4]求數列前n項的和.解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{}的通項之積設…………………①………………②（設制錯位）①－②得（錯位相減）∴三、倒序相加法這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.[例5]求證：證明：設…………..①把①式右邊倒轉過來得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：設………….①將①式右邊反序得…………..②（反序）又因為①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.[例7]求數列的前n項和：，…[例8]求數列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.解：設∴＝將其每一項拆開再重新組合得Sn＝（分組）五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求數列的前n項和.[例10]在數列{an}中，，又，求數列{bn}的前n項的和.[例11]求證：解：設∵（裂項）∴（裂項求和）＝＝＝＝∴原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性質項）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]數列{an}：，求S2002.解：設S2002＝由可得……∵（找特殊性質項）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5[例14]在各項均為正數的等比數列中，若的值.解：設由等比數列的性質（找特殊性質項）和對數的運算性質得（合并求和）＝＝＝10七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規(guī)律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通項及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝[例16]已知數列{an}：的值.數列練習一、選擇題1.已知等比數列的公比為正數，且·=2，=1，則=A.B.C.D.22.已知為等差數列，，則等于 A.-1 B.1 C.3 D.73.公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項,,則等于A.18B.24C.60D.90.4設是等差數列的前n項和，已知，，則等于A．13B．35C．49D．635.已知為等差數列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝（A）－2（B）－（C）（D）26.等差數列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數列的前10項之和A.90B.100C.145D.1907.等差數列的前n項和為，已知，,則（A）38（B）20（C）10（D）9.8.設是公差不為0的等差數列，且成等比數列，則的前項和=A． B． C． D．9.等差數列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空題1設等比數列的公比，前項和為，則．2.設等差數列的前項和為，則，，，成等差數列．類比以上結論有：設等比數列的前項積為，則，，，成等比數列．3.在等差數列中,,則.4.等比數列{}的公比,已知=1，，則{}的前4項和=.數列練習參考答案一、選擇題1.【答案】B【解析】設公比為,由已知得,即,又因為等比數列的公比為正數，所以,故,選B2.【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B?！敬鸢浮緽3.答案：C【解析】由得得,再由得則,所以,.故選C4.解:故選C.或由,所以故選C.5.【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－【答案】B6.【答案】B【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝1007.【答案】C【解析】因為是等差數列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故選.C。8.【答案】A解析設數列的公差為，則根據題意得，解得或（舍去），所以數列的前項和9.【答案】B【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100二、填空