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21-(重要)高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項和七種求和方法_練習(xí)及答案高中數(shù)列知識點總結(jié)(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)1.等差數(shù)列的定義:(d為常數(shù))();2.等差數(shù)列通項公式:,首項:,公差:d,末項:推廣:.從而;3.等差數(shù)列的判定方法(1)定義法:若或(常數(shù))是等差數(shù)列.(2)等差中項法:數(shù)列是等差數(shù)列.(3)數(shù)列是等差數(shù)列(其中是常數(shù))。(4)數(shù)列是等差數(shù)列,(其中A、B是常數(shù))。4.等差數(shù)列的性質(zhì):(1)當公差時,等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.(2)若公差,則為遞增等差數(shù)列,若公差,則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。(3)當時,則有,特別地,當時,則有.注:。(4)若、為等差數(shù)列,則都為等差數(shù)列。(5)在等差數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即an,an+m,an+2m,…,為等差數(shù)列,公差為md。(6)是公差為d的等差數(shù)列,是前n項和,那么數(shù)列,…成公差為k2d的等差數(shù)列。(7)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,d為公差,是奇數(shù)項的和,是偶數(shù)項項的和,是前n項的和1)當項數(shù)為偶數(shù)時,,2)當項數(shù)為奇數(shù)2n-1,則(9)若a1>0,d<0,Sn有最大值,可由不等式組來確定n。若a1<0,d>0,Sn有最小值,可由不等式組來確定n。(10)等差數(shù)列前n項和為An,Bn,二)等比數(shù)列的公式及性質(zhì)1.等比數(shù)列的定義:,稱為公比2.通項公式:推廣:,從而得或3.等比中項:數(shù)列是等比數(shù)列4.等比數(shù)列的前n項和公式:5.等比數(shù)列的判定方法(1)定義:對任意的n,都有為等比數(shù)列(2)等比中項:(0)為等比數(shù)列(3)通項公式:為等比數(shù)列(4)前n項和公式:為等比數(shù)列6.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若m+n=s+t(m,n,s,t),則.特別的,當n+m=2k時,得注:(2)數(shù)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列,,,,(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.且公比分別為1/q,q,qk,q1·q2,q1/q2.(3)數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數(shù)列,公比為qk(4)如果是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(5)若為等比數(shù)列,則數(shù)列,,,成等比數(shù)列(當q=-1且k為偶數(shù)時不成立)。(6)若為等比數(shù)列,則數(shù)列,,成等比數(shù)列(7)①當時,②當時,③當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列(此時數(shù)列也為等差數(shù)列);④當q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(8)在等比數(shù)列中,當項數(shù)為2n(n)時,.(9)若是公比為q的等比數(shù)列,則3.求數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例1已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式。解:兩邊除以,得,則,故數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項公式,得,所以數(shù)列的通項公式為。二、累加法例2已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:由得則所以數(shù)列的通項公式為。例3已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:兩邊除以,得,則三、累乘法例4已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:因為,所以,則,故所以數(shù)列的通項公式為例5(2004年全國I第15題,原題是填空題)已知數(shù)列滿足,求的通項公式。解:因為 ①所以 ②用②式-①式得則故四、待定系數(shù)法(重點)例6已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:設(shè) ④將代入④式,得,等式兩邊消去,得,兩邊除以,得代入④式得例7已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:設(shè) ⑥將代入⑥式,得整理得。令,則,代入⑥式得 ⑦例8已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:設(shè)⑧將代入⑧式,得,則等式兩邊消去,得,解方程組,則,代入⑧式,得⑨五、對數(shù)變換法例9已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式。解:因為,所以。在式兩邊取常用對數(shù)得 ⑩設(shè) eq\o\ac(○,11)六、迭代法例10已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:因為,所以七、數(shù)學(xué)歸納法例11已知,求數(shù)列的通項公式。(其他方法呢?)解:由及,得由此可猜測,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(1)當時,,所以等式成立。(2)假設(shè)當時等式成立,即,則當時,由此可知,當時等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知,等式對任何都成立。八、換元法例12已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:令,則故,代入得即因為,故則,即,可化為,九、不動點法例13已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:令,得,則是函數(shù)的兩個不動點。因為十、倒數(shù)法,求4.求數(shù)列前n項和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式:2、等比數(shù)列求和公式:4、[例1]求的前n項和.[例2]設(shè)Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法(等差乘等比)[例3]求和:[例4]求數(shù)列前n項的和.解:由題可知,{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設(shè)…………………①………………②(設(shè)制錯位)①-②得(錯位相減)∴三、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個.[例5]求證:證明:設(shè)…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得(反序)又由可得…………..……..②①+②得(反序相加)∴[例6]求的值解:設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②(反序)又因為①+②得(反序相加)=89∴S=44.5四、分組法求和有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項和:,…[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.解:設(shè)∴=將其每一項拆開再重新組合得Sn=(分組)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解(裂項)如:(1)(2)(3)(4)(5)(6)[例9]求數(shù)列的前n項和.[例10]在數(shù)列{an}中,,又,求數(shù)列{bn}的前n項的和.[例11]求證:解:設(shè)∵(裂項)∴(裂項求和)====∴原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列,將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),因此,在求數(shù)列的和時,可將這些項放在一起先求和,然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解:設(shè)Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵(找特殊性質(zhì)項)∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+···+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0[例13]數(shù)列{an}:,求S2002.解:設(shè)S2002=由可得……∵(找特殊性質(zhì)項)∴S2002=(合并求和)====5[例14]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若的值.解:設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)(找特殊性質(zhì)項)和對數(shù)的運算性質(zhì)得(合并求和)===10七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析,找出數(shù)列的通項及其特征,然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和,是一個重要的方法.[例15]求之和.解:由于(找通項及特征)∴=(分組求和)===[例16]已知數(shù)列{an}:的值.數(shù)列練習(xí)一、選擇題1.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù),且·=2,=1,則=A.B.C.D.22.已知為等差數(shù)列,,則等于 A.-1 B.1 C.3 D.73.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則等于A.18B.24C.60D.90.4設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,已知,,則等于A.13B.35C.49D.635.已知為等差數(shù)列,且-2=-1,=0,則公差d=(A)-2(B)-(C)(D)26.等差數(shù)列{}的公差不為零,首項=1,是和的等比中項,則數(shù)列的前10項之和A.90B.100C.145D.1907.等差數(shù)列的前n項和為,已知,,則(A)38(B)20(C)10(D)9.8.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項和=A. B. C. D.9.等差數(shù)列{}的公差不為零,首項=1,是和的等比中項,則數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空題1設(shè)等比數(shù)列的公比,前項和為,則.2.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,則,,,成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列的前項積為,則,,,成等比數(shù)列.3.在等差數(shù)列中,,則.4.等比數(shù)列{}的公比,已知=1,,則{}的前4項和=.數(shù)列練習(xí)參考答案一、選擇題1.【答案】B【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù),所以,故,選B2.【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B?!敬鸢浮緽3.答案:C【解析】由得得,再由得則,所以,.故選C4.解:故選C.或由,所以故選C.5.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1d=-【答案】B6.【答案】B【解析】設(shè)公差為,則.∵≠0,解得=2,∴=1007.【答案】C【解析】因為是等差數(shù)列,所以,,由,得:2-=0,所以,=2,又,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故選.C。8.【答案】A解析設(shè)數(shù)列的公差為,則根據(jù)題意得,解得或(舍去),所以數(shù)列的前項和9.【答案】B【解析】設(shè)公差為,則.∵≠0,解得=2,∴=100二、填空
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