2023屆廣東省廣州荔灣區(qū)廣雅中學(xué)高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試題

2023屆廣東省廣州荔灣區(qū)廣雅中學(xué)高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點，為的三等分點（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．4．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則5．已知橢圓，直線與直線相交于點，且點在橢圓內(nèi)恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．6．設(shè)為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．7．已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的通項公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．789．一個盒子里有4個分別標(biāo)有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種10．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里11．已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為________.14．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___15．成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計分析，近似服從正態(tài)分布，且，若該市有人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為_____．16．已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線左支交于兩點，，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平面；求點到平面的距離.19．（12分）已知，函數(shù).（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：對上的任意兩個實數(shù)，，總有成立.20．（12分）已知橢圓：過點，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當(dāng)取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．22．（10分）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，．（1）求；（2）若，，求，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對應(yīng)的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng),難度容易.3、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，若，，，，則或與相交；故A錯；B選項，若，，則，又，是兩個不重合的平面，則，故B正確；C選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故C錯；D選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故D錯；故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于?？碱}型.5、A【解析】

先求得橢圓焦點坐標(biāo)，判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出，判斷出點的軌跡方程，根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式，化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點，所以.直線過點，直線過點，由于，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內(nèi)恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查動點軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.6、A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設(shè)x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7、D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因為，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.8、D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值，可進一步得到數(shù)列的通項公式，然后代入轉(zhuǎn)化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，所以故選：D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.9、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點睛】本題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．11、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值．【詳解】解：設(shè)點，，其中，，由，，，可設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題．14、-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-115、.【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合求得，即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布，且，所以故該市有人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為．故答案為：．【點睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).16、2【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺雙曲線的定義，求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，連接，則，故四邊形為正方形，邊長為圓的半徑，由，，得，與重合，，，即——①，——②聯(lián)立①②解得：，又因圓心的縱坐標(biāo)為，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．18、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；（2）取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】（1）因為，，，是的中點，，為直三棱柱，所以平面，因為為中點，所以平面，，又,平面（2），又分別是中點，.由（1）知，,又平面,取中點為,連接如圖,則，平面，設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.19、（1）（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離得在上恒成立.設(shè)，求出即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù)，即可得證；【詳解】解：（1）∵∴，且函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立，∴在上恒成立.設(shè)，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，，，則，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)，∴，即，∴，∴當(dāng)時，.∵，∴.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20、（1）證明見解析；（2）存在，【解析】

（1）將點代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時，進而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在