餐廳包廂預訂問題

/201３年全國大學生數(shù)學建模競賽校內(nèi)選拔賽暨西北民族大學第五屆數(shù)學建模競賽論文題號：Ａ題論文題目:餐廳包廂預訂問題參賽隊編號：參賽隊員姓名：賈劍豪黎晨升牛彥彬日期:2013年６月1１日注：(１)本封面內(nèi)容均電腦填寫完后打?。?2)題號從A,B中選擇一項填寫；（3）參賽隊編號為第1-52隊中的對應(yīng)編號２０１3年全國大學生數(shù)學建模競賽校內(nèi)選拔賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料)，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出.我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性.如有違反競賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學生數(shù)學建模競賽組委會,可將我們的論文以任何形式進行公開展示(包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等)。我們參賽選擇的題號是(從A/B/C/D中選擇一項填寫):A?我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?：西北民族大學參賽隊員(打印并簽名）:1．賈劍豪2．黎晨升3.牛彥彬指導教師或指導教師組負責人（打印并簽名):日期:2013年6月11日２013年全國大學生數(shù)學建模競賽校內(nèi)選拔賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）:賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用):評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號)：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：? 摘要著重就關(guān)于飯店包廂超額預訂的問題與能否收取最低消費等問題，利用數(shù)學建模的方法，建立了超額預定并收取最低消費營業(yè)一天的利潤模型，利用二項分布對此模型進行求解、討論和驗證。【關(guān)鍵字】利潤最大超額預定隨機事件二項分布問題重述早些年前,在中國城市生活的居民需要請客吃飯時基本上都在家里解決,隨著中國最近幾十年經(jīng)濟的發(fā)展，大部分人請客吃飯一般都會去外面的餐館舉行。在人數(shù)比較多時（例如可湊夠一桌8人或10人），主人通常會提前給餐廳打電話或通過網(wǎng)絡(luò)訂包廂,但經(jīng)常一些餐廳會說包廂已滿或該餐廳不預訂包廂，這使得一些顧客懷疑是否餐廳因為人數(shù)不夠被拒絕。即使有空包廂預訂，一些餐廳也會要求最低消費,或最遲保留到某一時刻（例如，蘭州地區(qū)晚上通常為６:０0）。當然,餐廳這樣做也有其自己的理由，因為經(jīng)常有顧客訂包廂后又臨時取消包廂。因此餐廳老板經(jīng)常需要考慮以下幾個問題：問題1：是否允許顧客提前訂包廂即滿足何種條件時可允許顧客提前預訂包廂,當然目前市面上大部分的餐廳是允許顧客提前預訂包廂的，僅有個別包廂比較少的小餐廳不能提前預訂；問n題2：包廂是否應(yīng)該收取最低消費即滿足何種條件時可要求最低消費,最低消費應(yīng)規(guī)定為多少合適;問題3:預訂后的包廂最遲應(yīng)保留多久要求1、請你從餐廳角度綜合考慮各種因素建立適當?shù)哪Ｐ徒鉀Q以上3個問題，你的模型應(yīng)該對餐廳的經(jīng)營有合理的建議，使得餐廳在經(jīng)濟效益最大化的同時又能盡可能的滿足顧客合理的要求；要求2、表1是某餐廳上月預訂包廂的平均情況。該餐廳臨近蘭州南關(guān)什字,經(jīng)營開鍋涮與炒菜兩類。餐廳除去大廳中為數(shù)不多的散桌外，還有６個小包廂，兩個大包廂。該餐廳采用的規(guī)定是若當時有空包廂即可預訂,沒有任何條件.餐廳老板想知道是否有更好的包廂預訂方案以提高利潤;表１上月預訂包廂的平均情況(單位:個/天）食客類型包廂數(shù)預訂包廂9臨時取消包廂3由于已訂完拒訂包廂2散客臨時入包廂２要求3、請你搜集學校附近某一餐廳一段時間內(nèi)（一年，一月或一周)的訂座率、上座率、訂座取消率等數(shù)據(jù)（若無條件,也可使用計算機模擬），驗證或修正你的模型。二、背景從改革開以來我們國民生產(chǎn)總值穩(wěn)步提升，2012年初步核算,全年國內(nèi)生產(chǎn)總值５1９3２2億元，按可比價格計算，比上年增長7。8％.在世界各國的ＧDP排名中中國也已經(jīng)超過了日本成為了僅次于美國之后的第二強國。所以可以看出我們的人民在改革開放之后生活的越來越好了。與此同時，去飯店請客吃飯，應(yīng)酬的就越來越多了。這對于飯店來說既是機遇又是挑戰(zhàn)。現(xiàn)在絕大多數(shù)人都會在吃飯前打電話預定位置,避免朋友們過去沒有地方尷尬。可是這樣對店家來說就是一個難題了。比如我們幾個朋友約好一起吃，然后打電話預定之后，突然有朋友有急事走了,飯局也就不歡而散了。但是對于飯店來說，你預定了我就給你預留了包廂,可是你不來，這對我來說就造成了一定的損失。自然而然包廂的超額預定就進入了我們的視野中。目前研究的較多的是包廂超額預定模型是靜態(tài)的.對于每個時段每個季節(jié)超售的數(shù)量保持不變。這樣就完全忽略飯店包廂的實際預定情況.一般來說,飯店可以控制預定包廂的最大數(shù)量,當已預定包廂數(shù)超過理想的數(shù)量時,就不再接受預定包廂的請求.符號說明ｆ包廂的保養(yǎng)、保潔費，電費,包廂員工工資等ｍ被預定出去的包廂總數(shù)Ｎ飯店擁有的包廂總數(shù)G每個包廂的平均成本g每個包廂的平均利潤p客人預定了包廂并按約前來就餐的概率ｑ客人預定了包廂但是未能按約前來就餐的概率ｃ包廂最低消費S飯店通過包廂獲得的總利潤b客人預定了包廂可飯店沒有預留包廂時給客人的賠償金ｚ預定了包廂卻被擠掉的人數(shù)ｙ閑置的包廂數(shù)k預定了包廂但是未能按約前來就餐的客人數(shù)四、模型假設(shè)1、已預訂包廂的客戶按時前來就餐時相互獨立的隨機事件。2、設(shè)ｆ表示飯店包廂一天的費用（包括包廂的保養(yǎng)、保潔費,電費，包廂員工工資等），并且包廂是否使用對f的影響不大，所以將f看成一個定值.3、天氣,溫度,氣候等因數(shù)對顧客光顧這家飯店無影響,對也預定的顧客按不按時去就餐也無影響。4、被超額預定所擠出的“受害者”采取賠償機制,沒個客戶的賠償金額設(shè)為d.問題分析與建立模型建立模型：設(shè)一個已定包廂的客人按時就餐的概率為p，未能按時就餐的概率為q(ｑ=1-p)設(shè)飯店預訂出的包廂數(shù)為m間,那么m人中有ｋ人未能按時入住的概率為Ｐk，所以,設(shè)N表示飯店所擁有的全部包廂數(shù),g表示每個包廂的平均利潤,那么m=N表示沒有超額預定并且包廂坐滿，此時飯店包廂一天的利潤為:S=Ng－ｆ如果超額預訂，那么，m>N，在不考慮補償?shù)那闆r下,m人中有k人未能前來就餐，此時飯店包廂一天的利潤為:六、模型求解由于“在m預訂人中有k人未能按時就餐"是隨機事件，因此飯店包廂利潤是隨機變量,這時需要用數(shù)學期望來考察,設(shè)E(s）表示總包廂利潤的數(shù)學期望,那么則求解解模型令ｊ=k－m+Ｎ上式可化為根據(jù)二項式分布的性質(zhì)，m越大上式右邊的第三項越小，E（s)越大.因此問題的解是m取得越大越好。討論和改進增大m會導致許多預訂包廂的客人無法就餐,從而影響飯店的聲譽,因此對于超額預訂應(yīng)采取一定的懲罰手段，以補償“被擠掉者”的損失。如果設(shè)b是每一位預訂包廂而被擠掉的客人所得的補償,那么飯店包廂一天的利潤公式為：所以,利潤的數(shù)學期望為即當N，g,ｆ,ｐ給定后，可以求m使Ｓ（ｍ）最大。飯店從社會聲譽和經(jīng)濟利益兩方面考慮,應(yīng)該要求被擠掉的顧客要太多，而由于被擠掉者的數(shù)量是隨機的,可以用被擠掉的顧客數(shù)超過若干人的概率作為度量指標。記被擠掉的顧客數(shù)超過z人的概率為，因為被擠到的顧客超過ｚ人，等價于m位預定包廂的顧客中不按時前來就餐的人不超過m-Ｎ—z—1人，所以對于給定的N，z，顯然當m=N＋z時，被擠掉的顧客不會超過z人，即。而當m變大時單調(diào)遞增。綜上，和雖然是這個優(yōu)化問題的兩個目標,但是可以將不超過某給定值作為約束條件，以作為單目標函數(shù)求解。八、模型的優(yōu)化對包廂預定限額模型的優(yōu)化:考慮到不同客源的實際需求,如商業(yè)界喜歡這種無約束條件的預訂包廂業(yè)務(wù)，而不按時前來就餐的可能性較小;游客與按時上下班的雇員，不按時前來就餐的可能性較大。所以,飯店為了降低風險,可以適當?shù)慕o包廂的使用規(guī)定一定的最低消費,即在大多數(shù)客人預定了包廂卻沒有前來的就餐導致包廂閑置的情況下也能夠通過包廂的最低消費來收回包廂閑置與包廂維護費所導致的損失。由于客人預定了包廂卻不能按時前來吃飯的概率為q，所以設(shè)閑置的包廂數(shù)為y。故所以閑置包廂的數(shù)學期望為綜上:最低消費應(yīng)該設(shè)置為只有當時,有客人包廂吃飯所產(chǎn)生的利潤才剛剛好可以支付包廂一天所需要的費用（如包廂的保養(yǎng)、保潔費，電費,包廂員工工資等）。設(shè)置最低消費對飯店來說固然是件好事,可是設(shè)置包廂最低消費標準是不合理、不公平的，損害了消費者的自由選擇權(quán)，與《消費者權(quán)益保護法》中“消費者在購買商品或接受服務(wù)時具有自主選擇權(quán)”的規(guī)定相抵觸,侵害了消費者的權(quán)益。包廂最低消費標準是強制性的餐飲費，設(shè)置包廂最低消費標準,是經(jīng)營者強迫消費者接受其規(guī)定的價格的行為，損害了消費者合法權(quán)益,應(yīng)認定是一種違法行為.而且在“光盤行動"與“勤儉節(jié)約風”吹遍整個中國的時候，最低消費可能會導致有些有些客人在點完自己要吃的菜時，為了籌齊最低消費會多點一些沒有必要的菜,這樣就導致了餐桌上的浪費.所以還是建議飯店將利益先放一放，不設(shè)置最低消費標準,支持光盤行動，保護消費者權(quán)益。這樣也能夠為飯店吸引更多的人氣,帶來更多的客源。模型的評價與推廣對飯店包廂預定模型的評價與推廣優(yōu)點：運用最小二乘法構(gòu)造方程組解相關(guān)系數(shù)，并全面考慮包廂維護費，利潤,包廂利用率等等。運用該模型可以在實際中較為準確地估計最多可被預定的包廂數(shù)。缺點：實際情況中每天的包廂預定人數(shù),預定包廂后不按時就餐的人數(shù)都會不一樣,而且每個包廂的消費額也會不一樣。并且每個季度的員工工資，獎金都會影