抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

1/6O-7O-7-337x抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式,只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)。它是高中數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn),因?yàn)槌橄?解題時思維常常受阻,思路難以展開,而高考中會出現(xiàn)這一題型,本文對抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題進(jìn)行了整理、歸類,大概有以下幾種題型：1.判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì),畫出函數(shù)的示意圖,以形助數(shù),問題迅速獲解。y例1．如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且有最小值為5,那么y5A.增函數(shù)且最小值為5B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5D.減函數(shù)且最大值為5分析：畫出滿足題意的示意圖,易知選B．偶函數(shù)f(x)在(0，+)上是減函數(shù),問f(x)在(，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論。分析：如圖所示,易知f(x)在(，0)上是增函數(shù),證明如下：任取x<x<0x>x>012因?yàn)閒(x)在(0，+)上是減函數(shù),所以f(x)<f(x)。2y又f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(x)，f(x)=f(x),1122x從而f(x)<f(x),故f(x)在(，0)上是增函數(shù)。22.判斷奇偶性根據(jù)已知條件,通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換,尋求f(x)與f(x)的關(guān)例3．若函數(shù)y=f(x)(f(x)0)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,判斷：函數(shù)y=f(x)是什么函數(shù)。00y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,Pxyxyyf(x)的圖象上,0000又y=f(x)002/6.即對于函數(shù)定義域上的任意x都有f(x)=f(x),所以y=f(x)是偶函數(shù)。1.證明單調(diào)性增函數(shù).g<m>·g<n>=g<m+n><m、n∈R>g<x>是R上的增函數(shù),且g<x>>0：g<x>+1>g<x>+1>012：2>>0g(x)+1g(x)+121：2->0g(x)+1g(x)+121：f<x>-f<x>=g(x)11-g(x)12=1-2-<1-2>12g(x)+1g(x)+1g(x)+1g(x)+11212=->0：f<x>是R上的增函數(shù)例5．已知f(x)對一切x，y,滿足f(0)0，f(x+y)=f(x).f(y),且當(dāng)x0證明：對一切x，yR有f(x+y)=f(x).f(y)。f0,令x=y=0,得f(0)=1,而f(0)=f(x).f(x)=13/6.21：f(x)>f(x),22.證明奇偶性例6．已知f(x)的定義域?yàn)镽,且對任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(xy)=f(x)+f(y),求證：f(x)是故f(x)是偶函數(shù)。這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中,關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性,去掉"f"符號,轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解,但要特別注意函數(shù)定義域的作用。解：f(x)是偶函數(shù),且在〔0,1上是增函數(shù),4/6.aU5)。x=R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。對x=R恒成立一對x=R恒成立,解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值,再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號"f",轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。x21：f(x_x)>2,2121故f(x)為增函數(shù),2.討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,脫去函數(shù)符號。例10．已知函數(shù)f(x)是定義在(_w，1]上的減函數(shù),且對一切實(shí)數(shù)x,不等式5/6.分析：由單調(diào)性,脫去函數(shù)記號,得2>兩式對一切x仁R恒成立,則有利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用其單調(diào)性使2fx12121212f(x)是偶函數(shù),2解題時需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用,二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號"f"前的"負(fù)號",三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號"f"?！?證明f(0)=1；盾,122121116/6.x0時,x>0，f(x)>1,由f(0)=f(x).f(x)1111