初一升初二勾股定理和二次根式講義

目錄

第一講：探索勾股定理...........................................................................1

第二講：勾股定理的逆定理......................................................................9

第三講：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用（一）..........................................................20

第四講：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用（二）..........................................................28

第五講：單元測試.................................................................................32

第六講：認識無理數(shù)...............................................................................37

第七講：平方根...................................................................................43

第八講：立方根...................................................................................51

第九講：實數(shù).....................................................................................56

第十講：二次根式及其化簡（一）...................................................................60

第十一講：二次根式及其化簡（二）................................................................64

第十二講：升學(xué)結(jié)業(yè)測試...........................................................................70

第一講探索勾股定理

知識要點

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

數(shù)學(xué)語言描述：在學(xué)/XABC中,NC=90°,AB=c,AC=b,BC=a,則有c%'

2,勾股定理是直角三角形的重要性質(zhì)之一，它把直角三角形的“形”的特征轉(zhuǎn)化為兩直角邊的平方和等于斜邊的

平方的“數(shù)”的關(guān)系。其主要應(yīng)用有：

(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

(2)已知直角三角形的一邊，確定另兩邊的關(guān)系；

(3)證明含平方關(guān)系的問題時，有時需要構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理。

典例解析

［例題1］如圖1-1,在直角三角形外部做出3個正方形。

(1)正方形A中含有個小方格，即A的面積是；

(2)正方形B中含有個小方格，即B的面積是；

(3)正方形C中含有個小方格，即C的面積是；

(4)如果用SA、SB、SC分別表示正方形A、B、C的面積，那么它們之間的關(guān)系是

(5)圖1-2中是否依然存在這樣的關(guān)系？

【鞏固練習(xí)】

1、如圖1-3,在aABC中，ZABC=90o,分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，面積分別記為SI,S2,S3.若

2、下圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D

的面積分別為2、5、1、2,則最大的正方形E的面積是。

【例題2】在RtAABC中，/C=90o,NA、/B、NC的對邊分別是a、b、c。

(1)已知a=8,b=6,求c；

(2)已知c=13,b=12,求a：

(3)已知a：b=4：3,c=5,求b。

【鞏固練習(xí)】

1、在Rt^ABC中，ZC=90°o

(1)若a=5,b=12,則c=；

(2)若c=17,b=15,則2=；

(3)若a=9,c=15,則斜邊c上的高是。

2、在一個長為4cm,寬為3cm的長方形中畫線段，最長的線段是()。

A.5cmB.4cmC.約為4.8cmD.約為5.2cm

3、在RtAABC中，ZC=90°,NA=45",貝ija"：b2：c2=。

【例題3】做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a、

b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像

下面那樣拼成兩個正方形。證明：a2+b2=c2?

例題3

【鞏固練習(xí)】

1、以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個全等的直角三角形，把這四個直角三角形拼成如圖所示的形狀,

求證：a2+b2=c2o

2、如圖所示，Si、8和S3分別是以直角三角形的兩直角邊和斜邊長為直徑的半圓的面積，你能找出，、生和S3之

間的關(guān)系嗎?請說明理由。

3,如右圖所示，以RtaABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三

角形，若斜邊AB=3,則圖中陰影部分的面積為。

【例題4】如圖14,一快艇以每時12海里的速度離開A地，向

西北方向航行，另一艘小船以每時5海里的速度離開A地，同時向西

南方向航行，求1小時后快艇與小船之間的距離。

圖1-4

【鞏固練習(xí)】

1,已知A、B、C三地的位置如圖1-5所示，ZC=90",A、C兩地的距離是妹m,B、C兩地的距離是3km,則A、B

兩地的距離是km；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的方向。

圖1-5圖1-6圖1-7

2、如圖1-6,有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的

樹梢，問小鳥至少飛行米。

3,如圖1-7,某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A偏離欲到達地點B50米，結(jié)果他在水中實際

游的路程比河的寬度多10米，則該河的寬度BC為米。

【例題5】已知直角三角形有兩邊分別長3cm和4cm,求第三邊的長。

【鞏固練習(xí)】

1、已知直角三角形的兩邊長AB=6cm,BC=8cm,求以第三邊AC長為邊長的正方形的面積。

2、在一個直角三角形中，有兩邊長分別為6和8,則下列說法正確的是（)?

A、斜邊一定是10B、三角形的周長一定是20

C、三角形的面積一定是24D、斜邊長是10或8

能力提升

1、在RtZ\ABC中，ZC=90'\AD平分/CAB,AC=6,BC=8,CD=

2、如圖所示，四邊形ABCD中，AB//DC,ZB=90",鏈接AC,ZDAC=ZBAC,若BC=4cm,AD=5cm,則AB=cm?

3、如圖所示，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB的中點C'上，若AB=6,BC=9,則BF的長

為。

D'

4、如圖1-8所示，在RtZXABC中，AC=8,BC=6,ZC=90°,分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓，那么陰影部分

的面積為_____

圖I4圖1-9

5、如圖1-9,儂ABC中,AB=AC,D為BC邊上任意一點。求證AD2+BD?CD=AB2.

課后作業(yè)

1、下列說法中，正確的是（）。

A、若a、b、c是AABC的三邊長，則a?+b2=c2

B、若a、b、c是RtaABC的三邊長，則a?+b?=c?

C、在RtZXABC中,若NA=90°,則BC?+AC2=AB2

D,在RtZXABC中，若NC=90°,則BC?+AC2=AB2

2、一個直角三角形的一條直角邊長為5,斜邊長為13,則其面積為（）。

A、32.5B、30C、60D、75

3、小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m,當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛

好接觸地面，則旗桿的高為（）。

A、8mB、10mC、12mD、14m

4、直角三角形的三邊長為連續(xù)的偶數(shù)，則其周長為

BC

圖1-10

5、如圖110,己知在△ABC中，AB=10,AC=21,BC=17,求AC邊上的高。

6、在Rt/XABC中，AC=9,BC=12,求以AB為直徑的圓的面積。

7、如圖1T1所示，在長方形紙片ABCD中，已知AD=8,折疊紙片使AB邊與

對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE,且EF=3,則AB的長為（

）0

A、3B、4C、5D、6

8,直角三角形的兩條直角邊長的比為3:4,斜邊長為25,則斜邊上的高為（

）O

A、10B、12C、15D、20

第二講勾股定理的逆定理

知識要點

1、直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）

如果一個三角形的三邊長分別是a、b、c,且滿足￡+卜=那么這個三角形是直角三角形。

用數(shù)學(xué)語言描述：如圖所示，在^ABC中，如果a=+b"=那么△ABC是直角三角形，且/C=90"。

注：（1）這個定理可以用來判斷一個三角形是否是直角三角形，也可以用來判斷一個角是否是直角；

（2）勾股定理的逆定理也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2、判斷一個三角形（aABC）是直角三角形的步驟：A

?首先確定最大的邊（設(shè)為c）；b

③驗證c'與a"+b”是否具有相等關(guān)系，c，=a-+b”,那么△ABC是以/C為

直角的直角三角形；如果c?W￡+b2,那么△ABC不是直角三角形。CaB

3、勾股數(shù)

滿足a?+b?=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有:

3,4,5；5,12,13；8,15,17；

7,24,25；20,21,29；9,40,41；....

這些勾股數(shù)組的整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)組，由這些勾股數(shù)的倍數(shù)作為三邊長的三角形也是直角三角形。

典例解析

【例題1］已知a、b、c曼ABC的三邊長，根據(jù)下列條件，判斷△ABC是不是直角三角形。

(1)a=11,b=31,c=21；

(2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(m>n,m,n為正整數(shù))。

【鞏固練習(xí)】

1.在AABC中，AB=6,AC=8,BC=10,則該三角形為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

2.滿足下列條件的AABC中，不是直角三角形的是()

A.b2=c2-a2B.a：b：c=3：4：5

C.ZC=ZA-ZBD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

3.三角形的三邊長a、b、c滿足(a+b)2-<?=2ab,則此三角形是()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【例題2】判斷下列各組數(shù)是不是勾股數(shù):

(1)3,4,7(2)5,12,13⑶T11

T'~5

【鞏固練習(xí)】

1、在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是（）

A.a=15,b=8,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a=7,b=24,c=25D.a=3,b=5,c=7

2、判斷2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1（n是正整數(shù)）是不是一組勾股數(shù)。

【例題3】△ABC的三邊長a=2.5,b=2,c=1.5.試判斷三角形的形狀？

【鞏固練習(xí)】

1、已知兩條線段的長分別為8cm和15cm,則第三條線段取整數(shù)時，這三條線段能組成一個直角三角形。

2、如圖1-2-6所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角

形三邊的線段是（）。

A.CD、EF、GHB.AB、EF、GH

C.AB、CD、GIID.AB,CD、EF

【例題4】如圖，在aABC中，AB=5cm,BC=6cm,BC邊上的中線AD=4cm,試判斷△ABC的形狀。

【鞏固練習(xí)】

1、如圖，已知CD=6m,AD=8m,ZADC=90",BC=24m,AB=26m,求四邊形ABCD的面積。

c

2、如圖，在AABC中，AB=7,BC=24,AC=25,BD垂直AC于D,求BD的長。

【例題5】若^ABC的三邊a、b、c滿足（a-b）?+Ia2+b2-c2I=0,則AABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【鞏固練習(xí)】

1、己知a、b、c是AABC的三邊長，如果（c-5），|b-12+Va2-26a+169=0,則4ABC是（）。

A.以a為斜邊的直角三角形B.以b為斜邊的直角三角形

C.以c為斜邊的直角三角形D.不是直角三角形

2、已知|x-31+（y-5產(chǎn)和z?-8z+16互為相反數(shù)，則以x,y,z為三邊的三角形是（）。

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.不能確定

【例題6】如圖，在RtZXABC中，ZC=90"，AC=3,BC=9,D為BC邊上一點，沿直線DE進行折疊，使得

△ADE與aBDE在折疊之后重合，則CD=。

【鞏固練習(xí)】

1、一直角三角形的一條直角邊長是7,另一條直角邊與斜邊的和是49,則斜邊的長是。

2、在直角三角形中，斜邊比一條直角邊長1厘米，另一條直角邊長為7厘米，則這個三角形的斜邊長是

厘米。

能力提升

1、已知m>n>1,b=m'-n2,a+c=(m+n)；a-c=(m-n)：則以a、b、c為邊的三角形一定是()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.無法確定

2、已知AABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt^ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtaACD,再以

m△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtaADE,…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長

是.

3、如圖，每個小正方形的邊長為1,4ABC的三邊a、b、c的大小關(guān)系式()

A.a<c<bB.a<b<cc.c<a<bpc<b<a

4、在AABC中，AB=AC=1,6C邊上有2006個不同的點p2，

〃2,=際+g/c(i=i,2,…2006)+m+…啊006.

Vu,V'U2__

5、如圖所示，在即A48C中，NBAC=90。,AC=AB,ND4E=45。且8。=3

°七=4,求。后的長.

c

課后練習(xí)

1、設(shè)AABC的三邊長分別為a、b、C,滿足下列條件的AABC中，不是直角三角形的是（）。

A.ZA=ZB-ZCB.b2=a2-c2

C.ZA：ZB：ZC=1：1：2D.a:b:c=3:4:6

2,下列各組數(shù)中，可以作為直角三角形三邊長的是（）

A.3cm,5cm,6cmB.2cm,4cm,5cm

C.6cm,7cm,8cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

3、如果△ABC的三邊長分別為a、b、c,且滿足關(guān)系式（a+2b-60）2+|bT8+（c-30）2=0,那么aABC是三

角形。

4、有六根細木棒，它們的長度（單位：cm）分別是2,4,6,8,10,12,從中任取三根首尾順次連接，能構(gòu)成直

角三角形的是。

5、若線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（）

A.1：2：4B.1：3：5C.3：4：7D.5：12：13

6、△ABC中的三邊分別是m'-l,2m,m2+l（m>l），那么（）

A.△ABC是直角三角形，且斜邊長為m2+l.

B.△ABC是直角三角形，且斜邊長為2m.

C.△ABC是直角三角形，但斜邊長由m的大小而定.

D.△ABC不是直角三角形.

7、如圖，AABC中，AB=AC=20,BC=32,D是BC上一點，且ADJ.AC,求BD的長.

8、如圖，△ABC中，ZC=90°,M是BC的中點，MD±AB于D.

求證：AD2=AC2+BD2.

9、已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4,斜邊長為15,則這個三角形的面積為

10、已知直角三角形的周長為30c機，斜邊長為13c機，則這個三角形的面積為

第三講勾股定理及其逆定理的應(yīng)用（一）

知識要點

1、立體圖形上兩點間的最短距離。

柱體的側(cè)面展開圖是一個矩形，求柱體上兩點之間的最短距離，需要把柱體展開成平面圖形，依據(jù)兩點之間

線段最短，以最短路線為邊構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。

2、平面圖形中的長度問題。

在求平面圖形中某條線段的長時，可以通過設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程求解。

3、直角三角形判別條件的應(yīng)用。

在實際生活中判斷一個角是否為直角可以用定義法，也可將這個角放在三角形中，利用三角形三邊關(guān)系及相

關(guān)定理進行判斷。

典型例題

【例題1】如圖一個圓柱，底圓周長6cm,高4cm,一只螞蟻沿外、_'

壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行cm。

，-------j

A<____J

【鞏固練習(xí)】

1、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.

①如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B,

那么所用細線最短需要cm；

②如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞3圈到達點B,

那么所用細線最短需要cm.

2、如圖，-圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點

A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求出爬行的最短路程。J\

【例題2】如圖，折疊長方形的一邊AB,使點B落在AD邊的點F處，已知

AB=8cm,BC=10cm,求AE的長。

【鞏固練習(xí)】1、如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB=3,AD=9,求BE的長.

2、如圖，AB±AD,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,求四邊形ABCD的面積.

N

【例題3】如圖，如果只給你一把帶刻度的直尺，你能否檢驗/MPN是否是直角？簡述你的設(shè)計方案。

【鞏固練習(xí)】

1、王叔叔裝修房子，購回一批邊長為60cm的正方形地磚，他想檢驗一下這些地磚的四個角是否都是直角,

可身邊只有一段10cm長的直尺，你能幫他完成嗎？

2、如圖，要判別AB與AD是否垂直，你有什么辦法嗎？

A

B

［例題4］如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60。

方向走了5006到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。

(1)求A、C兩點之間的距離。

(2)確定目的地C在營地A的什么方向。

【鞏固練習(xí)】

1、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了4千米到達B點，然后再

沿北偏西30°方向走了3千米到達目的地C點。求A、C兩點之間的距離。

2、在直角三角形ABC中，斜邊AB=2,則ABZ+AC'BCJ

【課后練習(xí)】

1、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm,A

和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，

則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是；

2,有一只螞蟻要從一個圓柱形玻璃杯的點A爬到點B處，如圖，已知杯子高8cm,點B距杯口

3cm(杯口朝上)，杯子底面半徑為4cm,螞蟻從點A爬到點B的最短距離是多少？(m取3)

3、如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿(CD),早晨測得它的影長

為4米(AD),中午測得它的影長為1米(BD),則A、B、C三點能否構(gòu)成直角

三角形？為什么？

4、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,ZB=90°,求證:

A+ZC=180°?

AB

第四講勾股定理及其逆定理的應(yīng)用(二)

知識要點

勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么

勾股定理的逆定理：△ABC中，若,則這個三角形是直角三角形。

滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

【典型例題】

【例題1】一個零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個零件中乙4,NO8C都應(yīng)是直角。工人師傅量得這個零件各邊尺

寸如圖2所示，這個零件符合要求嗎？

【鞏固練習(xí)】

1、已知：在AABC中，NA、/B、/C的對邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？

并指出那一個角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；(2)a=15,b=16,c=6；(3)a=5k,b=13k,c=12k(k>0)。

2,如圖，己知AB_LBC,AB=7,BC=24,CD=60,AD=65,求AACD的面積。

【例題2】如圖，在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1,圖中有幾個直角三角形，你

是如何判斷的？

【鞏固練習(xí)】如圖所示，ZC=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,問：ADJ_AB嗎？試說明理由.

【例題3】飛機在空氣中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個

男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？

【鞏固練習(xí)】飛機在空中水平飛行的速度是540千米每小時，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處,

過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂多少米。

【例題4】如圖，在AABC中，ZACB=90o,AC=BC,P是三角形內(nèi)一點,

若PA=3,PB=1,PC=2,則NBPC的度數(shù)為多少？

【鞏固練習(xí)】

1、如圖，已知AABC是等邊三角形，。是aABC內(nèi)一點，0A=10,0B=8,0C=6,則/BOC等于多少度？

2、如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA=2,BP2=12,PC=4,則^ABC的邊長是多少？

能力提升

1、如圖，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點P從點A開始沿AB邊向點B以每秒

1cm的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動,

如果同時出發(fā)，則到第3s時，ABP。的面積是多少？

2、王偉準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于圈養(yǎng)家兔。已知第一條邊長a米，由于

受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米。

(1)請用a表示第三邊的長。

(2)第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由。

(3)若a的取值范圍是費＜a罵，能否使圍成小圈的形狀是直角三角形，且各邊長均為整數(shù)？若能,

分別求出三邊的長，若不能，請說明理由。

3、在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上，且NDAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,

并寫出推理過程。

課后練習(xí)

1、如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時A

發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹頂A處，利用

拉在A處的滑繩AC,滑到C處，另一只猴子從I)處滑到地面B,再由BD

跑到C,已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m,求樹高AB.

2、如圖，在張大爺屋前的平地上距張大爺?shù)姆孔?米遠處有一棵大樹，在一次

強風(fēng)中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米，出

門在外的張大爺?shù)弥髽涞瓜潞螅瑩?dān)心自己的房子被倒下的大樹砸到，那么大數(shù)倒下時會砸到張大爺?shù)姆?/p>

子嗎？

3、如圖，學(xué)校有一個長方形的花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，

則他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1m）,卻踩傷了花草。

4、在直線1上依次擺放著七個正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四

個正方形的面積依次是SI、S2、S3、S4,則S1+S2+S3+S4為（）。

BCD

第六講：認識無理數(shù)

瘁概念

\___________Z

實數(shù)：分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類。

無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個,

并且不會循環(huán)。

常見的無理數(shù)類型：

1.構(gòu)造形。例如：0.1010010001000010000001..

2.根號型。例如:V2,V5……

3.專用符號。例如：w,e

例1.

例1：有兩個邊長為1的小正方形，剪一剪，拼一拼，設(shè)法得一個大正方形。

(1)設(shè)大正方形的邊長為a,a滿足的條件是什么？

(2)a可能是整數(shù)嗎？可能是分數(shù)嗎？理由是什么？

課堂練習(xí)：

1.(1)圖1一1中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設(shè)該正方形的邊長為b,b滿足個么條件？

(3)b是有理數(shù)嗎？

2.如圖，正三角形ABC的邊長為2,高為h,.h可能是整數(shù)嗎？可能是分數(shù)嗎？

3.長、寬分別是3,2的長方形，它的對角線的長可能整數(shù)嗎？可能是分數(shù)嗎？

4.下面各正方形的邊長不是有理數(shù)的是（）

9

A.面積為25的正方形B.面積為16的正方形

C.面積為27的正方形D.面積為1.44的正方形

5.正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

例2.

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

4?1

3.14,0.57,0.1010010001-,0.4583,3.7,一兀，一一

37

有理數(shù)：

無理數(shù)：

課堂練習(xí)：

1.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：

22_____

1——，VT,V27,0.1010010001-,0.5,-Vo.36,V9,4-,A

一丁'

139

實數(shù)集{-}.

無理數(shù)集{…},

有理數(shù)集{-},

分數(shù)集{…},

負無理數(shù)集{…}

2.在3；一貝；；0；0.3；-；0.33；0.313H31113…（兩個3之間依次多一個1）中

73

屬于有理數(shù)的有:

屬于無理數(shù)的有:

屬于實數(shù)的有：

3.在實數(shù)3.14,1,3.3333…，G，0.412,0.10110111011110-,n,-V256中，有（）個無理數(shù)？

A.2個B.3個C.4個D.5個

例3.

下列說法中，正確的是（）

A.帶根號的數(shù)是無理數(shù)B.無理數(shù)都是開不盡方的數(shù)

C.無限小數(shù)都是無理數(shù)D.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)

課堂練習(xí)：

1.下列命題中，正確的個數(shù)是（

①兩個有理數(shù)的和是有理數(shù)；②兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)；③兩個無理數(shù)的積是無理數(shù)；

④無理數(shù)乘以有理數(shù)是無理數(shù)；⑤無理數(shù)除以有理數(shù)是無理數(shù);⑥有理數(shù)除以無理數(shù)是無理數(shù)。

A.0個B.2個C.4個D.6個

2.下列說法不正確的是（）

A.有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都能化成分數(shù)B.整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)

C.有理數(shù)都可以化為分數(shù)D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)

3.已知a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則a+b為（）

A.整數(shù)B.分數(shù)C.有理數(shù)D.無理數(shù)

例4.化簡卜_加k|尤一百卜卜

課堂練習(xí)：

1.若|。一不卜萬一4,則卜c

2.已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)。求：^^一&7的值為。

3.設(shè)a、b互為相反數(shù)，但不為0;c、d互為倒數(shù);m的倒數(shù)等于它本身，化簡￡+工+['+,]〃?-|加|的結(jié)果

mdyah）

是O

4.V3-V5的絕對值與6一百+血的相反數(shù)之和的倒數(shù)的平方為。

課后作業(yè)：

1、正三角形的邊長為4,高卜（）

A.是整數(shù)B.是分數(shù)C.是有理數(shù)D.不是有理數(shù)

2、如果一個圓的半徑是2,那么該圓的周長是（）

A.一個有理數(shù)B.一個無理數(shù)C.一個分數(shù)D.一個整數(shù)

3、下列說法：①有理數(shù)是有限小數(shù)；②有限小數(shù)都是有理數(shù)

③無理數(shù)都是無限小數(shù)；④無限小數(shù)是無理數(shù)，其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③I）.③④

4、下列說法正確的是（）

A.無限小數(shù)是無理數(shù)B,分數(shù)不是有理數(shù)C.有理數(shù)是有限小數(shù)D.3.1415是有理數(shù)

5、下列說法正確的是（）

A.分數(shù)是無理數(shù)B.無限小數(shù)是無理數(shù)C.不能寫成分數(shù)形式的數(shù)是無理數(shù)

D.不能在數(shù)軸上表示的數(shù)是無理數(shù)

In

6、在下列數(shù)一；0；3.14；-0.2；6.751755175551…（7和1之間5的個數(shù)逐次加1）；中，無理數(shù)有個。

32---------

1、下列各數(shù)中，無理數(shù)有。

1jr.

3.14,—,—,0.2020020002-（相鄰兩個2之間0的個數(shù)逐次加1）,（”-3）°,0,-2,0.2。

33

8、寫出一個比-4大的負無理數(shù)

③存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù)

其中正確的有（）個。

A.0B.1C.2D.3

第七講：平方根

1本概念

X__________

1.平方根：

定義：如果一個數(shù)的平方等。，那么這個數(shù)叫作a的平方根或二次方根，也就是說，若1=a，則x叫作a的平方根。

表示：一個非負數(shù)的a的平方根用符號表示為“土傘”。

性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，他們互為相反數(shù)；0的平方根是0,;負數(shù)沒有平方根。

2.算術(shù)平方根：

定義：如果一個非負數(shù)x的平方等于a,即X2=a（a20）,那么這個非負數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.

表示：a的算術(shù)平方根用符號表示為聲，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)。

規(guī)定：。的算術(shù)平方根是0。

算術(shù)平方根的雙重非負性：被開方數(shù)大于等于0,算術(shù)平方根大于等于0,即a20,值0。

3.平方根的相關(guān)結(jié)論

（1）當(dāng)被開方數(shù)擴大或縮小n2倍，它的算術(shù)平方根相應(yīng)地擴大或縮小n倍（n20）。

（2）平方根和算術(shù)平方根與被開方數(shù)之間的關(guān)系：

①（迎）二a（a^O）；②二|a|f（心0）

（3）若一個非負數(shù)a介于另外兩個非負數(shù)如、a2之間，它的算術(shù)平方根介于炳、?之間，

即當(dāng)0W%<a<a2時，則0?何〈迎<恁。根據(jù)此結(jié)論，我們可以估算一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的范圍。

4.開平方是指求一個非負數(shù)的平方根的運算，開平方與平方式互逆運算。

例1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:

49

（1）900；.（2）1；(3)—(4)14.

64

課堂練習(xí)：

1.下列說法正確的是（）

A.13是-169的算術(shù)平方根B.若-a有平方根，貝g一定是負數(shù)

C.a?的算術(shù)平方根是。D.100的平方根是±10

2.自由下落物體的高度h（米）與下落時間t（秒）的關(guān)系為h=4.9t、有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下

落，到達地面需要多長時間？

3.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

36,—,15,0.81,10",1.96,(-)0,106,—

144625

4.一個正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍，其邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮棵娣e變?yōu)樵瓉淼?倍，其邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌?/p>

倍？面積變?yōu)樵瓉淼?00倍，其邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?？面積變?yōu)樵瓉淼膎倍，其邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?/p>

例2.判斷下列各數(shù)是否有平方根？并,說明理由.

(1)(一3此(2)0；(3)-0.01；(4)-52；(5)-a；(6)a2-2a+2

課堂練習(xí)：

1.求下列各數(shù)的平方根.

7

(1)121；(2)0.01；(3)2—；(4)(一13),(5)—(—4)'

9

2.搬的平方根是;9的平方根是.

3.S是的一個平方根，府的平方根是，0的算術(shù)平方根是。

4.若某一正數(shù)的平方根是2a-l和-a+2,則這個數(shù)是。

例3.如果a是任意實數(shù)，下列各式中有意義的是()

A.VaB.J—(a)2C.Va-V—aD.(-a)2

課堂練習(xí)：

1.代數(shù)式Vx—S+五7x+5的最小值是o

2.對于實數(shù)x,y給出以下三個判斷：

2

①若|x|=|y|,則b女②若|x|<|y|,則x<y；③若x=-y,則(-x)=y2?其中正確的判斷的個數(shù)是()。

3.代數(shù)式-49-J2*-y的最大值為,此時x與y的關(guān)系是。

2,______L,2011L2012

例4.己知x^y滿足(%+1)-(y-2)J2-y+z-V5=0,求(笨+y)(z-V5-1)的值。

課堂練習(xí)：

1.已知X,y為實數(shù)，y壬三亨11,求5x+6y的值。

X—5

2-巳知△ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足(a-5)2-bJ2-FTT=0,貝UaABC()

A.不是直角三角形

B.是以a為斜邊的直角三角形

C.是以b為斜邊的直角三角形

D,是以c為斜邊的直角三角形

3.已知a,b,c滿足12a-4|+|b+21+J(a-3)爐+a2+c2-2+2ac,則a-b+c的值為.

例5.估計通+1的值在()

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

課堂練習(xí)：

1.已知，5-VII的小數(shù)部分為a,b+c=7+6，其中b是整數(shù)，0<c<l,求代數(shù)式傷(a+VII)的值。

2.比較大小-、歷-5.2

3.無理數(shù)2<a<3,那么a可能是()

A.V