初一升初二暑期銜接資料

第一講勾股定理

［情景引入］

【知識要點(diǎn)】

1、勾股定理是：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：a2+b2=c2

2、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三

角形。

【典型習(xí)題】

例1、如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使

它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（)

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

例2、求下列各圖字母中所代表的正方形的面積。

SBSc==

sA

例3、如圖，?次“臺風(fēng)”過后，一根旗桿被臺風(fēng)從離地面2.8米處吹斷，倒F的旗桿的頂端落在離

旗桿底部9.6米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高?

例5、在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水

面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，問這里水深是mo

例6、為豐富少年兒童的業(yè)余文化生活，某社區(qū)要在如圖所示的AB所在的直線上建一圖書閱覽室，該社區(qū)有兩

所學(xué)校，所在的位置分別在點(diǎn)C和點(diǎn)D處。CALAB于A,DBLAB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,試問：

閱覽室E建在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)，才能使它到C、D兩所學(xué)校的距離相等？

AEB

一□I：

D

C

例7、如圖所示，MN表示一條鐵路，A、B是兩個(gè)城市，它們到鐵路的所在直線MN的垂直距離分別

AAl=20km,BBl=40km,AlBl=80km.現(xiàn)要在鐵路Al,Bl=80km。現(xiàn)要在鐵路Al,Bl之間設(shè)一個(gè)中轉(zhuǎn)站P,

使兩個(gè)城市到中轉(zhuǎn)站的距離之和最短。請你設(shè)計(jì)一種方案確定P點(diǎn)的位置，并求這個(gè)最短距離。

B

A

MAiBiN

例8、“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小

時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前

方30米B處，過了2秒后，測得小汽車C與車速檢測儀A間距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？

小汽車

Cz：..................:B

、、、I?

____________________________

觀測點(diǎn)

例9、如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20分米、3分米、2分米，A和B是這個(gè)

臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)最

短的路程是多少?

B

例10、直角三角形的周長為24,斜邊長為10,則其面積為—

例11、如圖，?個(gè)長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直高度為8米，梯子的頂

A

端下滑2米后，底端也水平滑動(dòng)2米嗎？試說明理由。

例12、如圖2—5—4所示，某市住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)仿古通道，它的上方是一個(gè)半圓，

下方是長方形，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能通過這個(gè)

通道嗎？

例13、甲、乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲朝北偏東60°方向行駛，乙朝南偏東30°方向行駛。已知

甲、乙兩船的航速分別為45千米/時(shí)和50千米/時(shí)，經(jīng)2小時(shí)航行后，試估算兩船相距多少千米？

（精確到0.1千米）

例14、如圖1—3—10,已知直角三角形ABC的三邊分別為6、8、10,分別以它的三邊為直徑向上

作三個(gè)半圓，求圖中陰影部分的面積。

【隨堂練習(xí)】

一、填空題（每空3分，共24分）

1、若直角三角形兩直角邊分別為6和8,則斜邊為；

2、已知兩條線的長為5cm和4cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角

三角形；

3、能夠成為直角三角形三條邊長的正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。請你寫出三組勾股數(shù)：

5、在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC：AC=3：4,AB=10,貝I]AC=，BC=

二、選擇題（每題3分，共15分）

1、a、b、c是aABC的三邊，

①a=5,b=12,c=13②a=8,b=15,c=17③a:b:c=3：4：5④a=15,b=20,c=25

上述四個(gè)三角形中直角三角形有（）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

2、一直角三角形的三邊分別為2、3、X,那么以x為邊長的正方形的面積為（）

A、13B、5C、13或5D、無法確定

3、將一個(gè)直角三角形兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的兩倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的（）

A、4倍B、2倍C、不變D、無法確定

4、正方形的面積是4,則它的對角線長是（）

A、2B、忘C、2A/2D、4川

5、如圖，在4ABC中，AD1BC于D,AB=3,BD=2,DC=L則/\AC=

,,/\

A、6B、遙C、逐D、4/」\

BDC

三、解答題

1、公路旁有一棵大樹高為5.4米，在刮風(fēng)時(shí)被吹斷，斷裂處距地面1.5米，請你通過計(jì)算說明在距

離該大樹多大范圍內(nèi)將受到影響。

2如圖，ZC=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,試判斷4ABD的形狀，并說明理由。

2、已知三角形的三邊分別是n-2,n,n+2,當(dāng)n是多少時(shí)，三角形是一個(gè)直角三角形？

3、如圖，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，試計(jì)算出五邊形

ABCDE的周長和面積。

如圖，一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長是40cm,高是30cm,一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃

到上底與下底面中間與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？

【課后練習(xí)】

一、填空題（每題3分，共24分）

1.三角形的三邊長分別為a2+b\lab./"、》都是正整數(shù)），則這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定

2.若△ABC的三邊a、b、c滿足J+/+c?十338=10a+246+26c,則△A8C的面積是（）

A.338B.24C.26D.30

3.若等腰△ABC的腰長AB=2,頂角/B4C=120°,以BC為邊的正方形面積為（）

2716

A.3B.12C.—D.—

43

4.ZMBC中，A8=15,AC=13,高40=12,則△48C的周長為（）

A.42B.32C.42或32D.37或33

5.直角三角形三條邊的比是3：4:5.則這個(gè)三角形三條邊上的高的比是（）

A.15：12：8B.15：20：12C.12：15：20D.20：15：12

6.在△ABC中，NC=90。，BC=3,AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積等于

）

257125兀2571

A.------D.257t

8~4~16

7.如圖1,有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線4。

折疊，使它落在斜邊4B上，且與AE重合，則CD等于（）

A.2cmB.3cm

圖1

8.如圖2,一個(gè)圓桶兒，底面直徑為16cm,高為18cm,則一只小蟲底部點(diǎn)A爬到上底B處,

則小蟲所爬的最短路徑長是（兀取3）（）

A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm

二、填空題（每小題3分，共24分）

9.在△ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15,則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的長方形

的面積是.

10.一個(gè)長方體同一頂點(diǎn)的三條棱長分別是3、4、12,則這個(gè)長方體內(nèi)能容下的最長的木棒為

11.在△48C中，NC=90。，8c=60cm,C4=80cm,一只蝸牛從C點(diǎn)出發(fā)，以每分20cm的

速度沿CA-AB-BC的路徑再回到C點(diǎn)，需要分的時(shí)間.

12.如圖3,一艘船由島4正南30海里的8處向東以每小時(shí)20海里的速度航行2小時(shí)后到達(dá)

C處.則AC間的距離是.

13.在△A8C中，/B=90。，兩直角邊AB=7,8c=24,三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等,

則這個(gè)距離是.

14.已知兩條線段長分別為5cm、12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段長為時(shí)，這三條線段可以組成一

個(gè)直角三角形，其面積是.

15.觀察下列一組數(shù)：

列舉：3、4、5,猜想：32=4+5；

列舉：5、12、13,猜想：52=12+13；

列舉：7、24、25,猜想：72=24+25；

圖3

列舉:13、b、c,猜想:132=fe+c；

請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得b=

16.已知：正方形的邊長為1.(1)如圖4(〃)，可以計(jì)算出正方形的對角線長為痣；如圖(6),

兩個(gè)并排成的矩形的對角線的長為;n個(gè)并排成的矩形的對角線的長為.(2)若把(c)

(4)兩圖拼成如圖5“L”形，過C作直線交DE于A,交DF于B.若DB=±,貝UD4的長度為_

3

F圖7

圖5圖6

第二講平方根

［情景引入］

【知識要點(diǎn)】

1、平方根

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即/=a,那么這個(gè)數(shù)X就叫

做a的平方根（也叫做二次方根）。

①一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；

②0只有一個(gè)平方根是0;

③負(fù)數(shù)沒有平方根。

2、算術(shù)平方根

一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即/="，那么這個(gè)正數(shù)x

就叫做a的算術(shù)平方根，記為“右”，讀作“根號a”。

特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0,即而=0。

3、開平方

求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)，a必

須為非負(fù)數(shù)，即右有意義的條件是a20。

4、開平方與平方的關(guān)系：互為逆運(yùn)算。

5、八（a20）的非負(fù)性，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍為非負(fù)數(shù)。

形如"=時(shí)=圖0）

6、

<0）

【典型例題】

例1-1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根、平方根。

9?15

①—:②64；@0.09；⑤1—；⑥0。

49

例1-2、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根、平方根:

^25

①一；③0.0036；?3—；⑤百

3625

例2、填空：

(1)廳=；(2)；

(5)7107=；(6)7(1-10)2=

(9)對于任意數(shù)x,U=；

例3、求適合下列各式中未知數(shù)的值：

(1)25x2-64=0(x<0)(2)(x+1)2=49

(3)-100(x-2)2=(-5)3(4)4=13

例4、已知y=Jx-5+15-x+3；求x+y的值。

例5、已知Jx-3+|y-1|+(z+2)2=0,求xyz的值。

例6、x為何值時(shí)，Ji。+4有意義。

例7、已知2a-1的平方根是±3,3a+b—1的平方根是±4,求a+2b的平方根。

例8、小明家最近剛購買一套新房，他要在客廳鋪花崗巖地面，客廳面積為32〃/，他要用50塊正方

形的花崗巖。請你幫助小明計(jì)算一下，他在購買多少米的花崗巖地磚？

【隨堂練習(xí)】

一、選擇題:

1.一個(gè)數(shù)的平方根是它本身，那么這個(gè)數(shù)是（）。

A.0B.1C.±1D.0或1

2.下列語句正確的是（）。

A.4的平方根是2B.0沒有算術(shù)平方根

C.-1的算術(shù)平方根是TD.3有兩個(gè)平方根

3.石表示（）?

A.5的平方根B.5的算術(shù)平方根

C.5的負(fù)的平方根D.5開平方

4.9的平方根是±3,用數(shù)學(xué)符號表示為（）。

A.百=3B.%=3C.囪=±3D.強(qiáng)=±3

5.以下各數(shù)沒有平方根的是（

6.下列說法正確的是（）。

A."的平方根是±2B.一定沒有平方根

C.0.9的平方根是±0.3D.6（2+1一定有平方根

二、填空題：

1.49的算術(shù)平方根是,平方根是。

2.有兩個(gè)平方根，的平方根有且只有一個(gè),

沒有平方根。

3.平方根是±9的數(shù)是

4.-5是的負(fù)的平方根。

5.J南的平方根是,算術(shù)平方根是。

6.有意義，那么x的取值范圍是。

7.若4=6,貝ijx=,若4^-6,貝IIx=

三、解答題：

1.x為何值時(shí)，j2—x+jx—2有意義。

2.若Jx—1+4xy-4=0.求x+y的值。

3.解下列方程：

(1)(x-2)2-169=0；(2)-25x2+125=0；

6.為了美化校園，希望中學(xué)欲在教學(xué)提前建一圓形花壇，若想使花壇的面積為6.28m）那么花壇的

半徑應(yīng)為多少米？（萬取3.14）

【課后作業(yè)】

下列各式中，正確的是（

A.V25=±5B.7(-3)2=-3

C./=±6D./_1一定有平方根

2.平方根是土1的數(shù)是（）

3

3.對于J4x_1,當(dāng)x時(shí)，它有意義？

4.當(dāng)一個(gè)數(shù)a的值為時(shí)（在線上填入一個(gè)你認(rèn)

為合適的數(shù)），它有兩個(gè)平方根，平方根是o

5.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為a,比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)

是o

7.求下列各式的值：

（1）V1600+V25；（2）JlOOx--J—+J—；

16V25

8.解下列方程:

(1)4/一256=0(2)-(x-3)2=-(-4)3

(3)(X-町=169

9.若Jx-10+Jx+y-25=0,求x+y—xy的值。

第三講立方根

［情景引入］

【知識要點(diǎn)】

1、立方根的定義

?般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即l=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫

做a的立方根。

2、性質(zhì)：正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)：

負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；

0的立方根是0?

3、立方根的表示方法：

每個(gè)數(shù)a都只有一個(gè)立方根(立方根的唯一性)，記為“加'”，讀作

“三次根號a”。

4、開立方與立方的關(guān)系：

求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù)。

開立方與立方互為逆運(yùn)算。記：(V^)3=a,必=。

5、開立方和小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左每移動(dòng)三位,

則立方根的小數(shù)點(diǎn)就向右或向左移動(dòng)一位。

6、n次方根的定義：

如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a,這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根。

7、n次方根的性質(zhì)：

(1)正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有偶次方根:

(2)任何數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，且與a同正負(fù)。

【典型例題】

例1-1下列各數(shù)有立方根嗎？若有,請你把它求出來；

(1)-27(2)—(3)0(4)V64

64

(5)-1(6)-125(.7)-43(8)|-(-5)3

例1-2求下列各式的值：

/、127

(1)-3---⑵口

V64V27

(3)V(-8)2(4)0-32+((-1,

例2求滿足下列各式的未知數(shù)x：

(1)/+125=0(2)x3-3=1—

27

⑶(一)3=(4)3(x-4)3=-375

例3已知（一3）”=81,拈-3=5,求x的值。

例4閱讀下題，回答問題：

已知小3.049a1.45,130.49。3.124,

求必3049,V0.03049,V3049000,切30490的值。

(2)若返市=3.57,V4?56*1.66,胃=0.357,求a的值。

例5邦德學(xué)校教學(xué)樓頂上有一正方體水池，其體積為64米3,求正方體底

面積是多少平方米？

例6很久很久以前，在古希臘的某個(gè)地方發(fā)生大旱，地里的莊稼都早死了

,人們找不到水喝，于是大家一同到廟里去向神祈求。神說，我之所以不給你

們降水，是因?yàn)槟銈兘o我做的這個(gè)正方體祭壇太小，如果你們做一個(gè)比它大一

倍的祭壇放在我面前，我就會(huì)給你們降雨水。大家覺得很好辦，于是很己然做

好個(gè)新祭壇送到神那兒，新祭壇的棱長是原祭壇棱長的2倍。可是神愈發(fā)惱

怒，他說，你們竟敢愚弄我！這個(gè)祭壇的體積根本不是原來的2倍，我要加倍

懲罰你們！請大家想一想，新祭壇的體積到底是原祭壇的多少倍？要做一個(gè)體

積是原來祭壇的2倍的新祭壇，它的棱長應(yīng)是原來的多少倍？

【課堂練習(xí)】

一、選擇題

1、如果-m是n的立方根，那么下列結(jié)論正確的是（）

A、用也是n的立方根B、m也是-n的立方根

C、-m也是-n的立方根D、以上答案都不正確

2、V16的平方根與-8的立方根之和是（）

A、0B、-4C、0或-4D、4

3、下列四個(gè)說法中：

①1的算術(shù)平方根是1;②，的立方根是士工；

82

③-27沒有立方根；④互為相反數(shù)的兩數(shù)立方根互為相反數(shù)

其中正確的是（）

A、①②B、①③C、①④I）、②④

二、填空題

1、-」是的立方根，-然是的立方根。

4

2、府的立方根是。

3、某數(shù)的立方根等于它本身，則這個(gè)數(shù)是。

4、一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是8,則這個(gè)數(shù)的立方根是。

5、—（—4）3的平方根是,—（—4）3的立方根是

三、求下列各式的值：

⑶『啥(4)+V0.064

四、已知144-=49,且y3+8=0,求x+y的值。

五、解答題

1、李師傅打算制作一個(gè)正方體水箱，使其容積是3.375機(jī)3,試問此木箱至少需多少木板？

2、將半徑為12cm的鐵球熔化，重新鑄造出8個(gè)半徑相同的小鐵球，不計(jì)損耗，小鐵球的

4

半徑是多少？（球的體積公式是丫=-成3）

3

【課后作業(yè)】

1.若短17=4,那么(a—65)3的值是()

D、125

3.平方根等于本身的數(shù)是，立方根等于本身

是。

4.0.064的立方根等于,(-1)6的立方根等于o

5.81的平方根的立方根等于,9的立方根可表示

成。

6.求下列各式的值：

(1)^^27+7256(2)-V-0.064

7.求下列各式中的x的值:

U)dll嚕(2)x3-125=0

(3)64--125=0(4)27(x-2)3=343

8.希望中學(xué)欲在教學(xué)樓頂上建一個(gè)正方體的水池，其體積為64加，，打算由一名建筑工人獨(dú)立完

成，已知該建筑工人一天可壘1米高，一天的工資為40元，問壘完水池后希望中學(xué)應(yīng)付給建筑工人

多少錢？

第四講實(shí)數(shù)綜合

【知識要點(diǎn)】

1.實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)有以下兩種分類方

法：

（1）按定義分類

正有理數(shù)

有理數(shù)0有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)，負(fù)有理數(shù)

:正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

（2）按大小分類

'正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)＜0

負(fù)實(shí)數(shù)

2.實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值概念和有理數(shù)一樣，例

如：-百的相反數(shù)為百，倒數(shù)為-3=-且，-6的絕對值

V33

為卜百=閩。

3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以

用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以

用一個(gè)實(shí)數(shù)表示。

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍

適用。

（2）涉及無理數(shù)的計(jì)算，可根據(jù)問題的要求取其近似值,

轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

一、填空題

1.在-2.莊,0,-3,省,乃中，屬于有理數(shù)的

8

是,屬于無理數(shù)的是。

2.設(shè)。是最小的自然數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對值最小的實(shí)

數(shù)，則a-b+c=。

3.計(jì)算工；3x4-5/3

4.化簡：-Ji—+V12^V27xV18

V64

5.V3-V2的相反數(shù)是

|>/3_=0

6.若a<匕<0則,一。|-7^=。

7.計(jì)算也-國+&=。

8.比較大?。?V3V12o

2

9.比較大?。?+752+V6o

10.若x+1是4的平方根，則產(chǎn)；若x+1是-8

的立方根，則尤=o

二、單項(xiàng)選擇題

1.若百二7+4Tl有意義，則x的取值為（）

A.x>3B.x<3

C.九W3D.x=3

2.下列各式中：J2—=-,V0.00001=0.1,-71024=-32,

V273

—#（—27）3=—27,計(jì)算正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.已知人b是實(shí)數(shù)，下列命題中正確的是（）

A：4>仇貝多2>52B.a>網(wǎng)，則/>/j2

C時(shí)>仇則>/D./〉/,則/〉）2

4.設(shè)a、b均為負(fù)實(shí)數(shù)，且時(shí)〉卜“，貝I」（）

A.a>-bB.a<b

C.-a<-bD.a>b

5.若數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)在原點(diǎn)左邊，則化簡忸+而7］的

結(jié)果是（）

A.3〃B.-3aC.aD.-a

6.下列答句中不正確的是（）

A.無理數(shù)是帶根號的數(shù)，其根號下的數(shù)字開方開不盡；

B.8的立方根是土2；

C.絕對值等于標(biāo)的實(shí)數(shù)是后；

D.每一個(gè)實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)與它對應(yīng)。

7.下列計(jì)算正確的是（）

A.得：B.舊=溝

C

-%嗒。>。）D-引得行

8.一個(gè)三角形的三邊的長為3^,2恒,2同，則此三角形

的周長是（）

A.972B.6V2+2V32+10V2

C.1472+V50D.2472

9.底面為正方形的水池容積是4.86機(jī)3,池深1.5〃?，則底

面邊長是（）

A.3.24/7?B.1.8mC.0.3247%

D.0.18m

10.已知X是169的平方根，且2x+3y=/,則y的值是

()

A.65B.±65

,143門--p-143

Cr.±——D.6c[5或——

33

11.設(shè)。是不等于零的有理數(shù)，匕是無理數(shù)，那么下面四

個(gè)數(shù)中必然為無理數(shù)的是()

A.a3+b3B.(a+b)3C(a+b\b

D.(a+b)-a

12.已知n為任意整數(shù),同-3*n-21/_6+1表示的

數(shù)是()

A.一定是整數(shù)B.一定是無理數(shù)

C.一定是有理數(shù)D.可能是有理數(shù)，也可能是理

13.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是()

(1)兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)

(2)兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù)

(3)兩個(gè)無理數(shù)的積是無理數(shù)

(4)無理數(shù)與有理數(shù)的積是無理數(shù)

(5)無理數(shù)除以有理數(shù)是無理數(shù)

(6)有理數(shù)除以無理數(shù)是無理數(shù)

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

14.下列計(jì)算正確的是()

A.V2+V3=75B.2+V2=2V2

D.叵

C.V2?V3=V6

2

15.與(2-0)相乘，結(jié)果為1的數(shù)是()

A.73B.2-V3

C.2+V3D.-2+73

16.下列計(jì)算正確的是(

A.2/+3五=50B.&+6=2

C.5+5&=6痣D.J(-6)2=-6

17.數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x的點(diǎn)在表示T的點(diǎn)的左邊，則式子

2

J(X-2)2-27(%-1)的值是()

A.正數(shù)B.-1

C.小于-1D.大于-1

18設(shè)”=V1003+4991,b=V1W+V999,c=2VTW,那么a,仇c

之間的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b

>a

19.若a<0,則J"7—而'J的值為()

A.~2aB.0C.2aD.±2〃

20.化簡甲、乙兩同學(xué)的解法如下:

V5+V2

3

甲:

V5+V2

3

乙:

V5+V2V5+V2

對于他們的解法，正確的是()

A.甲、乙的解法都正確B.甲正確、乙不正確

C.甲、乙的解法都錯(cuò)誤D.乙正確、甲不正確

三、解答題

1.計(jì)算：

(1)出-悶+6x6"+(-2001)。-回；

32+(—3)2+|||x(-6)+764;

(2)

(3)|1-+-^/(x-2)2(1<x<V2)；

2727r

⑷-2-(-2.5)xV64+|y^T-(-3)]4-A/9；

(5)|1—V2|+1-\/2--\/3|+|V3--\/2|；

-1V1000+10J-；

(6)

55

(9)(V2+1)2-(3-272)；

(10)V300-V72-(V32-V27);

2.已知實(shí)數(shù)x,.滿足等式依_3)，_1+旨_2)，+2)2=0,求

2x=)，的平方根。

3.已知y-Jx-5+,5-x+3,求y*的平方根。

4.已知x,y是正數(shù)。的兩個(gè)平方根，且3x+2y=2,求a。

5.已知x=g+,,y=；'求,一產(chǎn)的值。

6.已知。是有理數(shù)，且卜-6）2=7+4代，求a的值。

7.設(shè)近的小數(shù)部分為b,求（4+6）必的值。

8.一正方形魚池的邊長是6加，另一正方形魚池的面積比第一

個(gè)大45機(jī)2,求另一個(gè)魚池的邊長。

9.大正方形邊長為3五+2百，小正方形的邊長為3行-20,

求圖中陰影部分的面積。

10.西邊形ABCD中，AB±BC,CD1BC,

BC=3痣，求四邊形的周長和面積。

11.求等式2/+4x+2=J中字母x的值。

2

12.已知：x是而的整數(shù)部分，y是麗的小數(shù)部分，求

6-加尸的平方根。

第五講非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

及應(yīng)用

【知識要點(diǎn)】

1、二次根式的基本性質(zhì)（式子人（。20）叫做二次根式）

對于非負(fù)數(shù)。，有[誦>0）

對于任意實(shí)數(shù)，則"^=同=<0（a=0）

-a[a<0）

（2）若a>b>0,則

2、最簡二次根式

要滿足下列條件的根式是最簡二次根式:

（1）被開方數(shù)的每一個(gè)因式的指數(shù)是1。

（2）被開方數(shù)不含有分母。

3、二次根式運(yùn)算法則

(1)^[ab=yfa->0,b>0)；

(2)1=親4?0,b>0)；

(3)=y[a"(a>0)；

(4)=yfa(a>0)；

4、復(fù)合二次根式Ja土布的化簡:

設(shè)法找到兩個(gè)正數(shù)x,y（x>y）,使x+y=a,x?y=b,則

■>]a±lfh=-J(Vx±77)"=五±6

5、非負(fù)數(shù)的三種形式：絕對值時(shí)、平方項(xiàng)。2、算術(shù)平方根〃'（420）。

【典型例題】

例1T已知|x+y-5|+，2x+y-4=c,求y*的值。

例1-2已知Ja—6—6+￡+/—正￥=。,求2的值。

a

例2化簡,-2|+,一3|

例3-1設(shè)4ABC的三邊分別是a、b、c,S.a2+c2+Sb2-4ab-4bc0.

試判斷AABC的形狀。

例3-2已知x+y+z—3=2（J7+4+五），若x、y、Z代表AABC的三邊，試判斷aABC的

形狀。

例4-1已知Jx+y-z-]=^]y+z-x-2-yjz+x-y-3,求

x+y+z的值。

例4-2已知Jx+y-z-11=^]y+z-x-5-^z+x-y-1,求

x+y+z的值。

例5已知a、b為實(shí)數(shù)，且滿足—l)Vn=O,則-04—,04的值是多少?

例6若實(shí)數(shù)a,b,c滿足。=2匕+貶，且出c2+』=c,則史的值為多少？

24a

例7若u,v滿足v+-,求〃2-UV+V2的值。

3V3v2

例8-1設(shè)a7b,化簡根式技工T-a-bo

例8-2化簡，3+g+—也。

例8-3已知a+b=4萬蕨17!而T,a-/>=771992-71991,那么ab的值是多少?

例9求（、6+內(nèi)了的整數(shù)部分。

思考題：化簡/~1=~.

V/i22n+l+V?2-l+Vn2-2n+l

【課堂練習(xí)】

一、選擇題。

1已知x,y是實(shí)數(shù)，j3x+4+y?+y+9=0,若axy-3x=y,

則實(shí)數(shù)a的值是（）o

A.-B.---c.zD

444-

2.實(shí)數(shù)a滿足。+時(shí)=0,則a是（）。

A.零或負(fù)數(shù)B.非負(fù)數(shù)

C.非零實(shí)數(shù)D.負(fù)數(shù)

3.如果GT在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）。

A.大于零B.等于零C.不小于1D.大

于1

4.J—(x+l)2是一個(gè)實(shí)數(shù),則X可取值的個(gè)數(shù)為()。

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)

個(gè)

5.已知實(shí)數(shù)x、y滿足1—2|+Jx+y—5=0,則獷衣的

值是()?

A.0B.5C.2D.-5

6.若a,b是實(shí)數(shù)，且J(")2=b—a,則a與b的大小關(guān)系是

()。

A.a>bB.a<bC.a》bD.aWb

7.若a、b是實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()o

A.若aWb,則a2Hb2B.若a>0],則/之〃

C.若同〉網(wǎng)，則a>bD.若a?〉心則

二、填空題。

1.若12-x+Jx-2有意義，則x-o

2.若兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y互為倒數(shù)，則xy=。

3.13的算術(shù)平方根的倒數(shù)的相反數(shù)是。

16

4.化簡卜回—jn|+卜的結(jié)果是。

5.代數(shù)式軀+屈+&_屈的值是?

6.16-莊+16+莊的值為o

7.若y=J2x-5+J10-4x+10,貝ijx=,y=°

8.若a與它的絕對值的和為零，則行+而=。

9.等式=-a而成立的條件是。

10.已知x>—，化簡3x+2-?J1-4x+4x?的結(jié)果是<.

2

三、解答題。

1已知

(2x-y-1)2++20—11]=一/?+—(4x-3y-l)2,求ab+xy

的值。

2.若a、b為實(shí)數(shù)，且b=〃2T+&-/+",求Ja+尸的值。

Q+1

3.設(shè)a、b、c是實(shí)數(shù)，若

a+b+c=2

Ja+1+4J/?+1+6Jc-2—14,+c)+b(c+Q)+c(o+/?)的

值。

4.已知x+y+z=2z（4+J7+"）-3,若x、y、z代表aABC的三

邊，試判斷aABC的形狀。

5.若實(shí)數(shù)a、b、c滿足a=2b+后，^ab+—c2+-=c,^—^J

24a

值為多少？

6.已知s、t為實(shí)數(shù)，且（4s—I）?+；1+2|=c,求實(shí)數(shù)s3-t’的倒數(shù)

的相反數(shù)是多少？

7.化簡—4]+°

8.計(jì)算：72+73+72-V3-V3+2V2-73-272

9.化簡：74+715+V4-V15-273-75

補(bǔ)選題：9.J3-2及的值等于()o

A.V3—B.V3—1C.V3+D.V2—1

10.x+y=)76_5五,x_y=g拒-5百,那么xy的值是

)0

A.3V3+3V2B.3A/3-3A/2

C.V5-V3D.7V2-5V3

11.化簡，8-2岳得（）?

A.3-V5B.5-V5C.V5-V3D.V3-V5

3x+23x+2口,、

--------=J---------成乂的條件是()o

Jx-3vx-3

2?

A.x2—B.x3C.%A3

3

2「

D.x——且xw30

13.等式祗=舊=J心-歷J在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中

22,2

a、x、y是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，則「十?一工-的值是()。

x-xy+y

A.3B.—C.2D.~3

3

第六講分母有理化

【知識要點(diǎn)】

1.二次根式的定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)X的平方等于a,即xJa(a20),那么我

們稱x為a的平方根。(也稱作a的二次方根)，即“笈”可稱為二次

根式。

2.分母有理化的定義：

把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

3.有理化因式：

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二

次根式，就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。

4.有理化的因式確定方法：

①單項(xiàng)二次根式：利用瓜?布=2來確定，如：&與&,

y/a+b與yja+b,-Ja-b與Ja-b等分別互為有理化因數(shù)。

②兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式(a+b)(a-b)來確定。