反比例函數(shù)K的幾何意義

反比例函數(shù)K的幾何意義知識(shí)引入反比例函數(shù)y=-（k豐。）中k的幾何意義：雙曲線y=-（k豐0）上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)X X軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為|k|o理由：如下圖，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)P作X軸、y軸的垂線PM、PN所得的矩形PMONPMON的面積S矩形PM。［PMS矩形PM。［PM-PNky= ，?二町X=k即S=k,即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作X軸、y軸的垂線，所得的矩形面積均為k|o下面兩個(gè)結(jié)論是上述結(jié)論的拓展:1 1\o"CurrentDocument"如下圖，則有S=S= Xy\= k△OPA △AOB2 2(1)如圖①，(1)如圖①，S=S；S=S△OPA △OCD △OPC梯形ADCP圖①圖②(2)如圖②，S=S；S=S梯形OAPB梯形OBCA △BPE △ACE典型例題題型一：K意義的直接運(yùn)用【例1】（2013?宜昌）如圖，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=2（%>0）的圖象上，橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)B分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為人C，則矩形0ABe的面積為k2、（2013?淄博）如圖，矩形A0Be的面積為4，反比例函數(shù)y=k的圖象的一支經(jīng)過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)P，則該反比例函數(shù)的解析式是【變式練習(xí)】：1、如圖，A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB±y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上：AABP的面積為2，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為 .2、如圖，4B為雙曲線y=_12上的點(diǎn)，AD1x軸于D,BC±y軸于點(diǎn)C,則四邊形x題型二：知K求面積4【例2】①雙曲線y=-在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，作一條平行于X軸的直線分別交雙x曲線于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，連結(jié)AC交y軸于D點(diǎn)，連結(jié)BC，若ADBC的面積為3，則AABD的面積為。

3②雙曲線y=——在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)等邊AAOB的頂點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作BD±x軸交x雙曲線于點(diǎn)D，則DB的長(zhǎng)為。過(guò)A、D的直線分別交x軸y軸于E、F，則KEOF的面積為。變式練習(xí)：1、直線,交y軸于點(diǎn)C，與雙曲線y=-（k<°）交于A、B兩點(diǎn)，尸是線段AB上的點(diǎn)（不x與A、B重合），過(guò)點(diǎn)A、P、Q（Q在直線l上汾別向x軸作垂線，垂足分別為D、E、F，連接OA.OP、0Q，設(shè)^A0D的面積為S母OE的面積為S，AQOF的面積為S，則S1、s2、s3的大小關(guān)系為.（用"<"連接） 2 32、如圖是反比例函數(shù)y=5和y=3在第一象限內(nèi)的圖象，在y=3上取點(diǎn)M分別作兩坐標(biāo)軸的垂線交y=5于點(diǎn)A、B，連接OA.OB，則圖中陰影部分的面積為x

2 .3、如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y=—和y=—在第一象限內(nèi)的圖象分別是C和C，設(shè)點(diǎn)P在Cxx 1 2 1上，PA,x軸于點(diǎn)A，交q于點(diǎn)B，則APOB的面積為4、（2013?烏魯木齊）如上圖，反比例函數(shù)y=3（X>°）的圖象與矩形OABC的邊長(zhǎng)xAB、BC分別交于點(diǎn)E、F且AE=BE，則AOEF的面積的值為5、如圖已知雙曲線y=-（k<0）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OA的中點(diǎn)D，且與直角邊ABx相交于點(diǎn)C，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4），則AA0c的面積為。6、如圖，已知雙曲線y=1《>o),=4(x>0)點(diǎn)「為雙曲線V=4上的一點(diǎn)且PA1X

1X 2X 2X軸于點(diǎn)A,PB1y軸于點(diǎn)B、PAPB分別交雙曲線y=1(x>0)于D、C兩點(diǎn)，則1APCD的面積為。題型三：知面積求K【例3】①如圖，已知雙曲線y=k(x>0))經(jīng)過(guò)矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且四邊形OEBF的面積為2,則k=②如圖，點(diǎn)A、B為雙曲線y=-上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC1y于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD1y軸于點(diǎn)D，連結(jié)OA.OB，OA.BD交于點(diǎn)E，若AEOD的面積為1，陰影部分的面積之和為9，則-的值為。

變式練習(xí)：1、如圖，如圖，點(diǎn)4B為雙曲線y=-(x>0)上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC±y于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)x1B作BD±x軸于點(diǎn)D,AC=BD=-OC,S =9，則k的值為。四邊形ABDC2、(2。13?玉溪)反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象如上圖，點(diǎn)B在圖象上，連接OB并延x長(zhǎng)到點(diǎn)A，使AB=2OB，過(guò)點(diǎn)A作ACIIy軸,交y=-(x>0)的圖象于點(diǎn)C，連接OC，xSaaoc"，則k=3、已知雙曲線y=-(k>0)經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交x

于點(diǎn)C.若AOBC的面積為3，則k=題型四：知線段(橫，縱坐標(biāo)的)差，比設(shè)坐標(biāo)【例4】①如圖，在A0AB中，C是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=k(k>0)在第一象限的x圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，若A0AB面積為6，則k的值為②如圖，已知梯形ABCD的底邊A0在x軸上，BC//AO，AB1A0，過(guò)點(diǎn)C的雙曲線y=-交0B于D，且0D:DB=1:2，若AOBC的面積等于3,則k的值 x變式練習(xí)：TOC\o"1-5"\h\z.... 4 k 4.- 91、如圖，直線y=—x與雙曲線y=—(x>0)交于點(diǎn)A.將直線y=—x向右平移-個(gè)3 x 3 2單位后，與雙曲線y=-(x>0)交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，若A0=2，則k=.\o"CurrentDocument"x BC

題型五：反比例函數(shù)中的相似【例5】如圖6,直線y=6-%交x軸、y軸于4B兩點(diǎn)，尸是反比例函數(shù)y=4(x>0)x圖象上位于直線下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)F。則AF?BE=。變式練習(xí)：1、如圖，M為雙曲線y=Q上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線xy=-x+m點(diǎn)D、C兩點(diǎn)，若直線y=-x+m與y軸交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B，則AD-BC的值為.2、如圖，直線y=-3xx+b與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=-在第一象限交于B、C兩3 x點(diǎn)，且AB-AC=4，則k=.

題型六：反比例函數(shù)圖像上的特殊多邊形【例6】①如圖，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形A。"的頂點(diǎn)E都在函數(shù)y=1X(X>0)的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是(，).變式練習(xí)：21、如圖，正方形ABPP的頂點(diǎn)p P在反比例函數(shù)y=-(X>0)的圖象上，頂點(diǎn)A、1112 1 2 x 1B1分別在X軸、y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點(diǎn)P3在反比例函2數(shù)y=-(X>0)的圖象上，頂點(diǎn)A在X軸的正半軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.X 2 3中考鏈接：1、（2009成都）如圖，正方形0A8C的面積是4,點(diǎn)B在反比例函》二k（k>。，x<0）x的圖象上.若點(diǎn)R是該反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R分別作x軸、y軸的垂線垂足為M、N從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積，記剩余部分的面積為S.則當(dāng)S=m（m為常數(shù)，且0<m<4）時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)是 何含m的代數(shù)式表示）k2、(2010年)已知n是正整數(shù)，P1(x1,y1),P(x2,y2),,Pn(xn,y^),是反比例函數(shù)》=^圖象上的一列點(diǎn)，其中 x1 =1,x2=2, ,x= n,.記 A1 = x1y2 , A2=x2y3 ,??????，An=xnyn+1， 若A1=a(a是非零常數(shù))，則々A2 An的值是（用含a和n的代數(shù)式表示）.2k3、（2011年）在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知反比例函數(shù)y=絲（k中0）滿足當(dāng)x<0時(shí)，x

y隨，的增大而減小。若該反比例函數(shù)的圖象與直線 y=-X+?右k都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且|?？澹瑒t實(shí)數(shù)k=.4、（2012成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，分中，直線AB與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)y=-（k為常數(shù)，且k>0）在第一象限的圖象交于點(diǎn)E、F.過(guò)點(diǎn)E作BE1BFmEM1y軸于M，過(guò)點(diǎn)F作FN1X軸于N，直線EM與FN交于點(diǎn)C者--=-（mBFm為大于l的常麴.記ACEF的面積為",AOEF的面積為s之，則冬二一.（用含m的代數(shù)式表示）5、（2014成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=3X與雙曲線y=6相交于A,2 xB兩點(diǎn)，C是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn)，連接^A并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P，連接BP,BC.若^PBC的面積是20，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.6、（2014.孝感）如圖，RAAOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y=k（x>0）經(jīng)過(guò)斜邊0A的中點(diǎn)C,與另一直角邊交于點(diǎn)D.若saocd=9，則S^obd的值為。

2/TOC\o"1-5"\h\z7、（2014?錦州）如圖，點(diǎn)B1在反比例函數(shù)》二—G>0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸x 13和y軸的垂線，垂足為C1和A，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）取X軸上一點(diǎn)C（-,0），過(guò)點(diǎn)C21 22分別作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B，過(guò)B作線段BC的垂線交BC于點(diǎn)A，依11 1次在x軸上取點(diǎn)次在x軸上取點(diǎn)C3（2,0），C形）A1ciCB的面積為。,0）…按此規(guī)律作矩形，則第n（n22,n為整數(shù)）個(gè)矩能力提升1、如右圖，直線AB交雙曲線y二k（k>0）于A、B，交x軸于點(diǎn)C、B為線段ACx的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BM1x軸于M，連結(jié)OA。om=2MC,S八=12則k的值k.一… ._ … __ 一一雙曲線y=一上，邊ADy軸于點(diǎn)E，且四邊形BCDE的面積是AABE面積的5x倍，則k:。

3、（2013?自貢）如圖，在函數(shù)y=8Q>0）的圖象上有點(diǎn)P、P、P、…、P、P，點(diǎn)PTOC\o"1-5"\h\zX 123 nn+1 1的橫坐標(biāo)為2，且后面每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前面相鄰點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都是 2，過(guò)點(diǎn)P、P、P、…、P、P分別作X軸、y軸的垂線段，構(gòu)成若干個(gè)矩形，如圖所示，將圖1 2 3 nn+1中陰影部分的面積從左至右依次記為S、S、S、…、S，則S= ,S=123 n 1 n.（用含n的代數(shù)式表示）5、如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=-（k<0）圖象上的點(diǎn)，PA垂直x軸于點(diǎn)A（-1,0）,點(diǎn)xC的坐標(biāo)為（1,0）,PC交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)AB，已知AB="5若M（a,b）是該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且滿足/MBA<^ABC,則a的取值范圍是

5、如圖，已知雙曲線y=匕（k為常數(shù)）與直線l相交于A、B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)xk-3M（點(diǎn)M在A的左側(cè)）在雙曲線y=——上，設(shè)直線AM、BM分別與y軸交于P、Qx兩點(diǎn).若AM=mMP,BM=nMQ，則m—n的值是 .課后作業(yè)點(diǎn)，作BD±y軸于D點(diǎn)，在x軸上分別取點(diǎn)E、F，使點(diǎn)A、E、F在同一直線上，且AE=AF，設(shè)圖中矩形ODBC的面積為"，"°F的面積為S之，則、S之的數(shù)量關(guān)系

是（）S1=S2B2S1=S2C3S1=S2D 4S1=S23、（2013?柳州）如圖，點(diǎn)PQ，a）是反比例函數(shù)y=竺在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)點(diǎn),x以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作等邊APAB，使4B落在x軸上，則KO的面積是一4、如圖，p是反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，0），若Ap^A：AP2A1A2…APnAn_1An均為等邊三角形，則An點(diǎn)的坐標(biāo)是5、如圖，如圖，點(diǎn)4B為雙曲線y=-(x>0)上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC1x于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD1y軸于點(diǎn)D,AC.BD交于點(diǎn)P,P是AC的中點(diǎn)，若AABP的面積為3,求k的值。16、已知，如圖，