向量及向量加減法

向量及向量加減法向量及向量加減法/NUMPAGES21向量及向量加減法向量及向量加減法學習目的：

1.理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；

2.理解向量的幾何表示，會用字母表示向量；

3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會判斷向量間平行（共線）、相等的關系；

4.通過對向量的學習，使學生對現實生活的向量和數量有一個清楚的認識，培養(yǎng)學生的唯物辯證思想和分析辨別能力.

5．掌握向量的加法的定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量；

6．掌握向量加法的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算；

7．明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會作兩個向量的差向量；

8．在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎上能結合圖形進行向量的計算，將數和形有機結合，并能利用向量運算完成簡單的幾何證明；

9．通過闡述向量的減法運算可以轉化為向量加法運算及多個向量的加法運算可以轉化成兩個向量的加法運算，可以滲透化歸的數學思想，使學生理解事物之間相互轉化，相互聯系的辨證思想，同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強了數學學科與物理學科之間的聯系，提高學生的應用意識．學習內容:

向量這部分知識是新內容，但我們已經接觸過了.同學們在物理的課程學習過矢量的概念，它與我們要學的向量是一致的（知識是相通的），即使在數學中，前一段我們學習三角函數線時講過有向線段，實際上向量就是用有向線段表示的.學習難點:

向量的加法運算

一、向量的概念

向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線段表示，其中A為起點，B為終點，顯然表示不同的向量；有向線段的長度表示向量的大小，用||表示，顯然，既有向線段的起、終點決定向量的方向，有向線段的長度決定向量的大小.

注意:向量的長度||又稱為向量的模；長度為0的向量叫做零向量，長度為1的向量叫做單位向量.

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量.

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等，任意兩個相等的非零向量可經過平移的過程重合在一起，既可用一個有向線段表示，而與起點無關.

二、向量的加法

1．向量加法的平行四邊形法則平行四邊形ABCD中，向量的和為.記作:.

2．向量加法的三角形法則

根據向量相等的定義有:，既在ΔADC中，，首尾相連的兩個向量的和是以第一個向量的起點指向第二個向量的終點.

規(guī)定:零向量與向量的和等于.

三、向量的減法

向量與向量叫做相反向量.記作:.則，既用加法法則來解決減法問題.例題選講第一階梯

[例1]判斷下列命題的真假：

①直角坐標系中坐標軸的非負軸都是向量；

②兩個向量平行是兩個向量相等的必要條件；

③向量與是共線向量，則、、、必在同一直線上；

④向量與向量平行，則與的方向相同或相反；

⑤四邊形是平行四邊形的充要條件是．

分析：

判斷上述五個命題的真假性，需細心辨別才能識其真面目．

解：

①直角坐標系中坐標軸的非負半軸，雖有方向之別，但無大小之分，故命題是錯誤的．

②由于兩個向量相等，必知這兩個向量的方向與長度均一致，故這兩個向量一定平行，所以，此命題正確；

③不正確．∵與共線，可以有與平行；

④不正確．如果其中有一個是零向量，則其方向就不確定；

⑤正確．此命題相當于平面幾何中的命題：四邊形是平行四邊形的充要條件是有一組對邊平行且相等．

[例2]下列各量中是向量的有_______________.

A、動能

B、重量

C、質量

D、長度

E、作用力與反作用力

F、溫度

分析：

用向量的兩個基本要素作為判斷的依據注意對物理量實際意義的認識.

解:

A，C，D，F只有大小，沒有方向，而B和F既有大小又有方向，故為向量.

[例3]命題“若，，則．”（

）

A．總成立B．當時成立C．當時成立D．當時成立

分析：

這里要作出正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件．∵零向量與其他任何非零向量都平行，∴當兩非零向量、不平行而時，有，，但這時命題不成立，故不能選擇A，也不能選擇B與D，故只能選擇C．

答案：C第二階梯

[例1]如圖1所示，已知向量，試求作和向量．

分析：

求作三個向量的和的問題，首先求作其中任兩個向量的和，因為這兩個向量的和仍為一個向量，然后再求這個向量與另一個向量的和．即先作，再作．

解：

如圖2所示，首先在平面內任取一點，作向量，再作向量，則得向量，然后作向量，則向量即為所求．

[例2]化簡下列各式

(1)；

(2)．

分析：

化簡含有向量的關系式一般有兩種方法①是利用幾何方法通過作圖實現化簡；②是利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序，有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量．

解：

(1)原式=

(2)原式=．

[例3]用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

分析：

要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對邊平行且相等．由相等向量的意義可知，只需證明其一組對邊對應的向量是相等向量．(需首先將命題改造為數學符號語言)

已知：如圖3，ABCD是四邊形，對角線AC與BD交于O，且AO=OC，DO=OB．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：由已知得，

，且A，D，B，C不在同一直線上，故四邊形ABCD是平行四邊形．第三階梯

例1．下列命題:

（1）單位向量都相等；

（2）若，則；

（3）若ABCD為平行四邊形，則；

（4）若，則.

其中真命題的個數是（）

A、0B、1C、2D、3

解:（1）不正確.單位向量的長度相等，但方向不一定相同；（2）不正確.可能在同一條直線上；（3）不正確.平行四邊形ABCD中，；（例2．若O為正三角形ABC的中心，則向量是（）.

A、有相同起點的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量

解:的起點不同，不平行也不相等.由正三角形的性質:.選C.

例3．某人向東走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.

解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:

例4．求證對角線互相平分的平面四邊形是平行四邊形.

已知:，求證:ABCD為平行四邊形.

證明:由加法法則:，

∵，∴，即線段AB與DC平行且相等，

∴ABCD為平行四邊形.

例5．非零向量中，試比較的大小.

解:（1）共線時，

①時，

②時，.

（2）不共線時，，

，

∵

即，

綜上：∴

課外練習:

1．若兩個向量不相等，則這兩個向量（）.

A、不共線B、長度不相等

C、不可能均為單位向量D、不可能均為零向量

2．四邊形RSPQ為菱形，則下列可用一條有向線段表示的兩個向量是（）.

A、B、

C、D、

3．“兩個向量共線”是“這兩個向量相等”的（）.

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

4．O是四邊形ABCD對角線的交點，若，則四邊形ABCD是（）.

A、等腰梯形B、平行四邊形C、菱形D、矩形

5．若O是ΔABC內一點，，則O是ΔABC的（）.

A、內心B、外心C、垂心D、重心

6．ΔABC中，=（）.

A、B、C、D、

7．平行四邊形ABCD中，E、F為AB，CD中點，圖中7個向量中，與相等的向量是________；與相等的向量是______；與平行的向量是_______；與平行的向量是_____.

8．已知:首尾相接的四個向量.

求證:.S

參考答案:

1.D2.B3.B4.B5.D6.B

7.

8.證明:∵，

，

∴.測試選擇題

1．已知向量a=(3,m)的長度是5，則m的值為（）.

A、4B、-4C、±4D、16

2．下面有四個命題：（1）向量的長度與向量的長度相等.（2）任何一個非零向量都可以平行移動.（3）所有的單位向量都相等.（4）兩個有共同起點的相等向量，其終點必相同.其中真命題的個數是（）.

A、4B、3C、2D、1

3．在下列命題中，正確的是（）.

A、若||>||，則>B、||=||，則=

C、若=，則與共線D、若≠，則一定不與共線

4．下列說法中錯誤的是（）.

A、零向量是沒有方向的B、零向量的長度為0

C、零向量與任一向量平行D、零向量的方向是任意的

5．如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，則和相等的向量的個數是（）.

A、1個B、2個C、3個D、4個答案與解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B

解析：

1．答案：C.因為|a|所以

2．答案：B.(1)對.因為與是指同一條線段，因此長度相等．

(2)對．這是由相等向量推導出的結論．(3)錯.因為單位向量只要求模長等于1，方向不作要求，因此不一定相等．(4)對．因為相等向量可以經過平移至完全重合．解決本題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識.

3．答案：C.A錯．因為向量有大小和方向兩個要素．無法比較大?。瓸錯．相等向量不僅要模長相等，方向也要相同．C對．相等向量方向一定相同，因此共線．D錯．因為向量不相等，可能僅由于模長不等，方向仍可能是相同的，所以與有共線的可能．

4．答案：A.零向量是規(guī)定了模長為0的向量．零向量的方向沒有規(guī)定，是任意的，可以看作和任一向量共線．零向量絕不是沒有方向．

5．答案：B.根據向量相等的條件.

向量重點難點

了解向量可以根據需要自由平移的特點是今后運用向量方法解決問題的前提條件之一，也因此，平行向量也叫共線向量．要根據向量的有關概念從圖形中找出相等的向量和共線的向量．因此，要加強訓練觀察一些常見圖形．

以下三個問題上常出現錯誤：一是用表示向量的有向線段的起點和終點的字母表示向量時，一定注意搞清字母順序，起點在前，終點在后，例如與是大小相同，方向相反的兩個向量，二是零向量的方向是任意的，而不是沒有方向，因此有關零向量的方向問題一般要注意規(guī)定，例如命題：與共線，與共線，與共線，是錯誤的，因為零向量的方向是任意的，故與的方向沒有任何關系，因此也無法判斷是否共線，三是注意區(qū)別平行向量與平面幾何中直線平行的概念，前者相當于兩直線位置關系中的平行和重合兩種情況，例如錯誤地認為平行向量不可能是共線向量，其實這兩個概念是同一個概念.

典型題目

例1下列說法中正確的是（）.

A．向量與向量共線，向量與向量共線，則向量與向量共線

B、任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點

C、向量與不共線，則與所在直線的夾角為銳角

D、始點相同的兩個非零向量不平行

答案：A

點評：向量共線即方向相同或相反，故非零向量間的共線關系是可以傳遞的．共線向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直線上.而相等向量是共線的，故B中四點可能在同一直線上，向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合，夾角可能是直角，而選項D中向量是否共線與始點位置無關．

例2“兩個向量共線”是“這兩個向量方向相反”的()條件

A.充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

答案：B

點評：向量共線即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．

例3下面有四個命題：(1)向量的模是一個正實數．(2)兩個向量平行是兩個向量相等的必要條件．(3)若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等．(4)溫度含有零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量，其中真命題的個數為()．

A．0B．1C．2D．3

答案：B

點評：只有(2)是正確的，因為兩個向量平行只是指這兩個向量在方向上是相同或相反的．方向相反則不可能是相等向量．即使方向相同，對于大小也沒有要求，依然無法判定兩個向量是否相等．而兩個相等向量的方向一定相同，必是平行向量．(1)錯在向量的模是表示向量的有向線段的長度，零向量的模為零．因此向量的模是一個非負實數．(3)錯在兩個單位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此這兩個向量不一定相等．(4)錯在溫度的零上零下也只是表示數量．向量既要有大小又要有方向．常見的向量有力、速度、位移、加速度等．正確解答本題的關鍵是把握住向量的兩個要素，并從這兩個要素人手區(qū)分其它有關概念．

例4一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100公里到達B點，然后又改變方向向西偏北50°走了200公里到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達D點．(1)作出向量、(2)求||.

答案：(1)見圖.(2)由題意，易知方向相反，故與共線，又，

∴在四邊形ABCD中，ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∴，

∴=200公里.

點評：準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的大小確定向量的終點.

例5一個人從A點出發(fā)沿東北方向走了100米到達B點．后改變方向沿南偏東15°又走了100米到達C點，求此人從C點走回A點的位移．

解：如圖，根據題意知ΔABC為等邊三角形，故∠a=15°，||=100，∴此人從C點走回A點的位移，大小為100米，方向為西偏北15°．

檢測題

1.在下列各命題中，為真命題的有（

）

（1）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量

（2）溫度有零上溫度和零下溫度．因此溫度也是向量

（3）方向為南偏西60°的向量與方向為北偏東60°的向量是共線向量

（4）坐標平面上的x軸和y軸都是向量

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

2.已知a、b、c是三個非零向量，則|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要條件是（

）

A．a、b同方向

B．b、c同方向

C．a、c同方向

D．a、b、c同方向

3.下列命題中，正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

4．下列各命題中假命題的個數為（

）

①向量的長度與向量的長度相等．

②向量與向量平行，則與的方向相同或相反．

③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同．

④兩個有共同終