傳熱學(xué)教材教案以及課后習(xí)題答案

第一章緒論

1-1傳熱學(xué)概述

一、什么是傳熱學(xué)

傳熱學(xué)是研究熱量傳遞規(guī)律的科學(xué)“（熱量傳遞由什么引起的）基于熱力學(xué)的

定義，熱是一種傳遞中的能量。傳遞中的能量不外乎是處于無(wú)序狀態(tài)的熱和有序狀

態(tài)的功，他們的傳遞過(guò)程常常發(fā)生在能量系統(tǒng)處于不平衡的狀態(tài)下，而系統(tǒng)的狀態(tài)

是可以用其狀態(tài)參數(shù)來(lái)確定的。熱力學(xué)的基本狀態(tài)參數(shù)是壓力p、溫度T以及比容積

V。對(duì)于一個(gè)不可壓縮的熱力學(xué)系統(tǒng)而言，溫度的高低就反映了系統(tǒng)能量狀態(tài)的高

低和單位質(zhì)量系統(tǒng)內(nèi)熱能（或稱(chēng)熱力學(xué)能，簡(jiǎn)稱(chēng)內(nèi)能）的多少。熱力學(xué)第二定律告

訴我們，能量總是自發(fā)地從高能級(jí)狀態(tài)向低能級(jí)狀態(tài)傳遞和遷移。因此，熱的傳遞

和遷移就會(huì)發(fā)生在熱系統(tǒng)的高內(nèi)能區(qū)域和低內(nèi)能區(qū)域之間，也就是高溫區(qū)域和低溫

區(qū)域之間。對(duì)于自然界的物體和系統(tǒng)，將其視為熱力學(xué)系統(tǒng)時(shí)，他們常常是處于不

平衡的能量狀態(tài)之下，各部位存在著壓力差和溫度差，因而功和熱的傳遞是一種非

常普遍的自然現(xiàn)象。因此，凡是有溫度差的地方就有熱量傳遞。熱量傳遞是自然界

和工程領(lǐng)域中極普遍的現(xiàn)象。我們學(xué)習(xí)傳熱學(xué)就是要掌握各種熱量傳遞現(xiàn)象的規(guī)

律，從而為設(shè)計(jì)滿足一定生產(chǎn)工藝要求的換熱設(shè)備，提高現(xiàn)有換熱設(shè)備的操作和管

理水平，或者對(duì)一定的熱過(guò)程實(shí)現(xiàn)溫度場(chǎng)的控制打F理論基礎(chǔ)。

《翔至安的在本課程中，我們將首先簡(jiǎn)要的介紹傳熱學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容，給

出導(dǎo)熱、對(duì)流與輻射這三種熱量傳遞基本方式的概念及所傳遞熱量的計(jì)算公式。然

后分別討論導(dǎo)熱、對(duì)流換熱和輻射換熱的基本規(guī)律，最后，在此基礎(chǔ)上，把上述知

識(shí)綜合起來(lái)，介紹傳熱過(guò)程及換熱設(shè)備的計(jì)算方法。

二、傳熱學(xué)的重要性

幾乎在每個(gè)工程技術(shù)部門(mén)中都會(huì)遇到傳熱問(wèn)題。（例子）例如建筑物的供熱與

降溫。

自然界（沙塵暴）。

三、傳熱學(xué)與工程熱力學(xué)在研究方法上的異同

工程熱力學(xué)與傳熱學(xué)都是研究熱現(xiàn)象的，都以熱能的傳遞與轉(zhuǎn)換過(guò)程中的基本

規(guī)律作為研究對(duì)象。但是，工程熱力學(xué)與傳熱學(xué)從不同的角度來(lái)研究熱現(xiàn)象，因此

在研究?jī)?nèi)容與方法上有很大區(qū)別。

1.工程熱力學(xué)著重研究的是在能量轉(zhuǎn)換與傳遞過(guò)程中各種形式的能量在數(shù)量方面

的關(guān)系以熱能在質(zhì)量方面的情況。在經(jīng)典的熱力學(xué)中，不考慮能量傳遞過(guò)程所需的

時(shí)間。工程熱力學(xué)中的這種研究是對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題的高度抽象，是為了簡(jiǎn)化復(fù)雜的

實(shí)際問(wèn)題而又得出具有一定的指導(dǎo)意義的結(jié)論所必須的。這只是研究的一個(gè)方面。

為了使所討論的能量傳遞過(guò)程付諸實(shí)施，并能滿足一定的生產(chǎn)、工藝要求，必須

引入時(shí)間的概念。時(shí)間是傳熱學(xué)的重要變量。許多情況下,我們致力于研究高效的

熱量傳遞方法，及特定設(shè)備在單位時(shí)間內(nèi)傳遞較多熱量的方法。

2.工程熱力學(xué)主要研究可逆過(guò)程（冷、熱介質(zhì)溫差無(wú)限小的情況下），而憒熱學(xué)球

究的一切熱量傳遞過(guò)程是不可逆過(guò)程。

3.工程熱力學(xué)不仔細(xì)研究過(guò)程進(jìn)行的不同時(shí)刻與設(shè)備的不同地點(diǎn)上溫度變化情

況，而這是傳熱學(xué)感興趣的話題。

掰利用工程熱力學(xué)的方法可以從理論上分析熱力系統(tǒng)的狀態(tài)、能量傳遞和遷

移的多少以及系統(tǒng)的發(fā)展方向與性能的好壞。但是，能量是以何種方式傳遞和遷

移？傳遞和遷移的速率如何？以及能量狀態(tài)隨時(shí)間和空間的分布如何？熱力學(xué)都

沒(méi)有給予回答。處理和解決諸如此類(lèi)的問(wèn)題就是傳熱學(xué)的根本任務(wù)所在。例如，對(duì)

于一個(gè)物體的加熱過(guò)程，我們可以將其視為一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程。因此，熱力學(xué)可以根

據(jù)能量守恒的原則，研究這?系統(tǒng)最終達(dá)到的平衡溫度，以及初態(tài)與終態(tài)之間的系

統(tǒng)內(nèi)能變化，而傳熱學(xué)則是基于熱傳遞現(xiàn)象的機(jī)理，研究該物體在達(dá)到平衡以前的

任何時(shí)刻、任意位置的溫度變化，以及加熱過(guò)程中熱量隨時(shí)間的變化關(guān)系。

所以傳熱學(xué)分析各種具體的傳熱過(guò)程是如何進(jìn)行的，探求工程及自然現(xiàn)象中熱

量傳遞過(guò)程的物理本質(zhì)，揭示各種熱現(xiàn)象的傳輸機(jī)理，建立能量輸運(yùn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模

型，分析計(jì)算傳熱系統(tǒng)的溫度和熱流水平，揭示熱量傳遞的具體規(guī)律。在一些較為

復(fù)雜的場(chǎng)合，則通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬或直接用實(shí)驗(yàn)方法，研究熱量傳遞的規(guī)律。

1-2熱量傳遞的基本方式

自然界存在三種基本的熱量傳遞方式：熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流、熱輻射。（舉例說(shuō)明）在

各種不同的場(chǎng)合下，這三種方式可能單獨(dú)存在，也可能產(chǎn)生不同的組合形式。

一、熱傳導(dǎo)

1.定義和特征

當(dāng)物體內(nèi)部存在溫度差（也就是物體內(nèi)部能量分布不均勻）時(shí)，在物體內(nèi)部沒(méi)

有宏觀位移的情況下，熱量會(huì)從物體的高溫部分傳到低溫部分；此外，不同溫度的

物體互相接觸時(shí)，熱量也會(huì)在相互沒(méi)有物質(zhì)轉(zhuǎn)移的情況下，從高溫物體傳遞到低溫

物體。這樣種熱量傳遞的方式被稱(chēng)為熱傳導(dǎo)或簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)熱。因此，當(dāng)物體各部分

之間不發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，借助于分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而實(shí)

現(xiàn)的熱量傳遞過(guò)程稱(chēng)之為導(dǎo)熱。

導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)有兩個(gè)：（1）導(dǎo)熱過(guò)程總是發(fā)生在兩個(gè)互相接觸的物體之間或

同一物體中溫度不同的兩部分之間；（2）導(dǎo)熱過(guò)程中物體各部分之間不發(fā)生宏觀的

相對(duì)位移。

2.導(dǎo)熱機(jī)理

在導(dǎo)熱過(guò)程中，物體各部分之間不發(fā)生宏觀位移，從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)對(duì)導(dǎo)熱過(guò)

程加以描述與計(jì)算是比較復(fù)雜的。從微觀角度看，氣體、液體、導(dǎo)電固體和非導(dǎo)電

固體的導(dǎo)熱機(jī)理是不同的。

氣體中，導(dǎo)熱是氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)是相互碰撞的結(jié)果。眾所周知，氣體的

溫度越高，分子的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能越大，不同能量水平的分子相互碰撞的結(jié)果，使能量從

高溫處傳向低溫處。

導(dǎo)電固體中有相當(dāng)多的自由電子，它們?cè)诰Ц裰g像氣體分子那樣運(yùn)動(dòng)，自由

電子的運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)電固體的導(dǎo)熱中起主要作用。

非導(dǎo)電固體中，導(dǎo)熱通過(guò)晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，即原子、分子在其平衡位置附近的

振動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

液體的導(dǎo)熱機(jī)理十分復(fù)雜，有待于進(jìn)步的研究。

3.傅里葉公式

對(duì)于導(dǎo)熱這種熱量傳遞的方式的研究可以追溯到19世紀(jì)初期畢歐（Boit）早期

的研究工作。他在對(duì)大量的平板導(dǎo)熱實(shí)驗(yàn)（如圖1—1所示）的數(shù)據(jù)分析中得出如下

的結(jié)論:

通過(guò)垂直于平板方向上的熱流量正比于平板兩側(cè)的溫度差和平板面積的大小,

而反比于平板的厚度。歸納如下數(shù)學(xué)關(guān)系:

Q=AA^^-,W（1-D

Ax

式中，。為單位時(shí)間導(dǎo)熱量，又稱(chēng)熱流量，單位是

w；A為導(dǎo)熱面積，單位是n?；7f2為大平板兩表面

之間的溫差，單位是℃（或K）；4為相應(yīng)的比例系

數(shù)，稱(chēng)為平板材料的導(dǎo)熱系數(shù)（或熱傳導(dǎo)率），表示

物體導(dǎo)熱能力的大小的物性量，單位是

W/（m-℃上式亦可表示為如下形式，

q仁豆，W/m1（1-2）

Ax

圖1-1通過(guò)無(wú)限大平板的導(dǎo)熱

式中q為單位面積熱流，又稱(chēng)熱流密度，單位是

2

W/mo

1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（JosephFourier）將畢歐的熱傳導(dǎo)關(guān)系歸納為

q=_漢W/m2(1-3)

dn

此式稱(chēng)為傅?立葉定律，在第二章中將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的論述。式中，%為溫度梯

度，負(fù)號(hào)表示熱流密度的方向與溫度梯度的方向相反。即熱量傳遞的方向與溫度升

高的方向相反。當(dāng)溫度t沿x方向增加時(shí)，dt/dx>0,q<0,說(shuō)明熱量沿x減小的方向傳

遞(圖1-2)；反之,dt/dx<0,q<0,說(shuō)明熱量沿x增加的方向傳遞。

t2>tltl>t2

圖1-2

圖1-3

二、熱對(duì)流與對(duì)流換熱

舉例：灼熱金屬在風(fēng)扇前比在靜止空氣中散熱更快。

1.定義及特征

流體中溫度不同的各部分流體之間，由于發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)而把熱量由一處帶到另一處

的熱現(xiàn)象稱(chēng)為熱對(duì)流，這是一利借助于流體宏觀位移而實(shí)現(xiàn)的熱量傳遞過(guò)程。宏觀

位移是大量分子集體運(yùn)動(dòng)或者說(shuō)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，這時(shí)不僅有宏觀運(yùn)動(dòng)，還有

隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，即微觀運(yùn)動(dòng)。所以實(shí)際上流體在進(jìn)行熱對(duì)流的同時(shí)熱量的傳導(dǎo)過(guò)程也同

時(shí)發(fā)生。因此，發(fā)生在流動(dòng)介質(zhì)中的熱量傳遞是熱傳導(dǎo)與熱對(duì)流的綜合過(guò)程。工程

上還經(jīng)常遇到流體與溫度不同的固體壁面接觸時(shí)的熱量交換的情況,這種熱量的傳

遞過(guò)程稱(chēng)為對(duì)流換熱。由于單一的熱對(duì)流是不存在的,因而傳熱學(xué)中討論的對(duì)流問(wèn)

題主要是對(duì)流換熱過(guò)程。

2.分類(lèi)

對(duì)流換熱按照不同的原因可分為多種類(lèi)型。按照是否相變,分為：有相變的對(duì)

流換熱和無(wú)相變的對(duì)流換熱。按照流動(dòng)原因,分為：強(qiáng)迫對(duì)流換熱和自然對(duì)流換熱。

按照流動(dòng)狀態(tài),分為：層流和紊流。強(qiáng)迫對(duì)流換熱是山外因造成的，例如風(fēng)機(jī)、水

泵或大自然中的風(fēng)。自然對(duì)流換熱是由于溫度差造成密度差，產(chǎn)生浮升力，熱流體

向上運(yùn)動(dòng)，冷流體填充空位，形成的往復(fù)過(guò)程。

例如無(wú)風(fēng)天氣，一條曬熱的路面與環(huán)境的散熱。utf

有風(fēng)時(shí)，強(qiáng)迫換熱占主導(dǎo)。一^*

3.牛頓冷卻公式Q

1701年，牛頓(IsaacNewton)首先提出了——2

計(jì)算對(duì)流換熱熱流量的基本關(guān)系式,常稱(chēng)為牛頓

冷卻定律，其形式為一

圖1-4對(duì)流換熱過(guò)程示意圖

W(1-4)

Q=c(A(twT/)=aA\t

式中，外是物體表面的溫度；僵流體的溫度；這里認(rèn)為4＞少人為約定4

取正值；a是一個(gè)定義的系數(shù)，稱(chēng)為對(duì)流換熱系數(shù)或表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，單位為

W/（m2-°C）它是一個(gè)反映對(duì)流換熱過(guò)程強(qiáng)弱的物理量。

由于對(duì)流換熱是一個(gè)復(fù)雜的熱量交換過(guò)程，影響因素很多，如：引起流動(dòng)的原

因（自然或強(qiáng)迫流動(dòng)）：流體流動(dòng)的狀態(tài)（層流或紊流）：流體的物理性質(zhì)（密度、

比熱等）：流體的相變（沸騰或冷凝）；換熱邊界的幾何因素（形狀、大小及相對(duì)位

置等）。顯然，單憑（1-4）式是不可能描述或反映這些復(fù)雜因素對(duì)換熱過(guò)程的影響，

而只是把這些因素都集中到對(duì)流換熱系數(shù)a之中。因此，針對(duì)各種對(duì)流換熱問(wèn)題

求解對(duì)流換熱系數(shù)a則是分析和研究對(duì)流換熱問(wèn)題的主要任務(wù)。

表1-1給出了幾種對(duì)流換熱表面的換熱系數(shù)值。就換熱方式而言，自然對(duì)流換

熱系數(shù)最?。諝鉃?-10,水為200-1000）,有相變時(shí)最大（城-廿量級(jí)）,強(qiáng)迫對(duì)

流居中。就介質(zhì)而言，水比空氣強(qiáng)烈。

三、熱輻射

1.定義

物質(zhì)的微觀離子（分子、原子和電子等）的運(yùn)動(dòng)會(huì)以光的形式向外輻射能量，

我們稱(chēng)之為電磁輻射。電磁輻射的波長(zhǎng)范圍很廣，從長(zhǎng)達(dá)數(shù)百米的無(wú)線電波到小于

IO4米的宇宙射線。這些射線不僅產(chǎn)生的原因各不相同，而且性質(zhì)也各異，由此也

構(gòu)成了圍繞輻射過(guò)程的廣泛的科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域。這里我們無(wú)意去討論各種輻射過(guò)

程，僅僅對(duì)由物質(zhì)的熱運(yùn)動(dòng)（即無(wú)序運(yùn)動(dòng)）而產(chǎn)生的電磁輻射，以及因這些電磁輻

射投射到物體卜.而引起的熱效應(yīng)感興趣。我們把物體通過(guò)電磁波來(lái)傳遞熱量的方式

稱(chēng)為熱輻射。凡是溫度高于0[K]的物體都有向外發(fā)射熱射線的能力。熱輻射的波長(zhǎng)

大多集中在紅外線區(qū)，在可見(jiàn)光區(qū)占比重不大。面勿夜期衣9物體的溫度越高，

輻射能力越強(qiáng)。溫度相同，但物體的性質(zhì)和表面狀況不同，輻射能力也不同。

2.特點(diǎn)

熱輻射是熱量傳遞的基本方式之一。與熱傳導(dǎo)和熱對(duì)流不同，熱輻射是通過(guò)電

磁波（或光子流）的方式傳播能量的過(guò)程，它不需要物體之間的直接接觸，也不需

要任何中間介質(zhì)。當(dāng)兩個(gè)物體被真空隔開(kāi)時(shí)，導(dǎo)熱和對(duì)流均不會(huì)發(fā)生，只有熱輻射。

太陽(yáng)將大量的熱量傳給地球，就是靠熱輻射的作用。

熱輻射的另一個(gè)特點(diǎn)是：它不僅產(chǎn)生能量的轉(zhuǎn)移，而且還伴隨著能量的轉(zhuǎn)換。

即發(fā)射時(shí)從熱能轉(zhuǎn)化為輻射能，吸收時(shí)又從輻射能轉(zhuǎn)化為熱能。

3.斯蒂芬-玻爾茲曼（Stefen-Boltzmann）定律

一個(gè)理想的輻射和吸收能量的物體被稱(chēng)為黑體。黑體的輻射和吸收本領(lǐng)在同溫

度物體中是最大的。黑體向周?chē)臻g發(fā)射出去的輻射能由下式給出

。=46尸，(1-5)

式中，。為黑體發(fā)射的輻射能；A為物體的輻射表面積，T為絕對(duì)溫度，K；。。為斯

4

蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，其值為5.67X10-8W/(〃?2-K)O

(1-5)式稱(chēng)為斯蒂芬-玻爾茲曼(Stefen-Boltzmann)定律，它是從熱力學(xué)理論

導(dǎo)出并由實(shí)驗(yàn)證實(shí)的黑體輻射規(guī)律，又稱(chēng)為輻射四次方定律，是計(jì)算熱輻射的基礎(chǔ)。

一切實(shí)際物體的輻射能力都小于同溫度下黑體的輻射能力。實(shí)際物體發(fā)射的輻射能

可以用輻射四次方定律的經(jīng)驗(yàn)修正來(lái)計(jì)算

Q=EAOT4W(1-6)

式中，￡為該物體的發(fā)射率(又稱(chēng)黑度),其值小于1。一個(gè)物體的發(fā)射率與物體的

溫度、種類(lèi)及表面狀態(tài)有關(guān)。物體的￡值越大，則表明它越接近理想的黑體。

自然界中的所有物體都在不斷的向周?chē)臻g人T,

發(fā)射輻射能，與此同時(shí)，又在不斷地吸收來(lái)自周----------欣---------

圍空間其它物體的輻射能，兩者之間的差額就是----------0------------

T,

物體之間的輻射換熱量。物體表面之間以輻射方

式進(jìn)行的熱交換過(guò)程我們稱(chēng)之為輻射換熱。對(duì)于圖L5兩平行黑平板間的輻射

兩個(gè)相距很近的黑體表面，由于一個(gè)表面發(fā)射出

來(lái)的能量幾乎完全落到另一個(gè)表面上，那么它們之間的輻射換熱量為

Q=Aa(T^-T^).(1-7)

當(dāng)時(shí)，也就是物體和周?chē)h(huán)境處于熱平衡時(shí)，輻射換熱量等于零。但此時(shí)

是動(dòng)態(tài)平衡，輻射和吸收仍在不斷進(jìn)行。此時(shí)物體的溫度保持不變。

溫度不隨時(shí)間變化的換熱過(guò)程稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)過(guò)程。

溫度隨時(shí)間改變的換熱過(guò)程稱(chēng)為非穩(wěn)態(tài)過(guò)程。一般是機(jī)器的啟動(dòng)、停機(jī)或變工

況運(yùn)行時(shí)，

1-3傳熱過(guò)程與熱阻

工業(yè)生產(chǎn)中所遇到的許多實(shí)際熱交換過(guò)程常常是熱介質(zhì)將熱量傳給換熱面，然

后由換熱面?zhèn)鹘o冷介質(zhì)。這種熱量由熱流體通過(guò)間壁傳給冷流體的過(guò)程稱(chēng)為傳熱過(guò)

程。傳熱過(guò)程中由熱流體傳給冷流體的熱量通常表示為：

Q=kAAt，(1-8)

式中，4為熱流體與冷流體間的平均溫差；蚣唯熱

系數(shù),W/（m2-℃）。在數(shù)值上，傳熱系數(shù)等于冷、熱

流體間溫差4=1℃、傳熱面積A=1n?時(shí)的熱流量對(duì)流

值，是一個(gè)表征傳熱過(guò)程強(qiáng)烈程度的物理量。傳熱過(guò)口導(dǎo)熱對(duì)流

輻射「匚?匚n

程越強(qiáng)，傳熱系數(shù)越大，反之則越弱。

以如圖1-6所示的墻壁為例：屋內(nèi)熱空氣的熱量通

過(guò)墻壁和保溫層傳遞給屋外冷空氣，這個(gè)過(guò)程就屬于

傳熱過(guò)程。若屋內(nèi)空氣溫度為tfi，屋外的空氣溫度為圖1-6墻壁傳熱圖

t僅，傳熱溫差4=tf|-tf2。若屋內(nèi)對(duì)流和輻射總換熱系

數(shù)為四，屋外側(cè)的對(duì)流換熱系數(shù)為a2,墻壁、保溫層的厚度分別為用和鄉(xiāng),墻壁、

保溫層的導(dǎo)熱系數(shù)分別為4和4。

從熱流體tfI到tw1:

Q=A%（tfl-twi）則-tw]=。

Aax

tw倒tw2：

Q=A4（?！?2）/司則%—&2=鳥(niǎo)

/k

T

tw2到tw3：

Q=A42（。2—/w3）/一則tw2-tw3=號(hào)

酸

tw3到冷流體：

Q=A%（43_，/2）則=P

Aa2

相加整理得：

AtatA/4a2AA

將（1-9）式表示成熱阻的形式，有

△t_X

(1-10)

R]+R、+Z?3+R&R,

式中，e(i=1,2,3,4)為傳熱過(guò)程的各個(gè)分熱阻，℃/W,凡為傳熱過(guò)程的總熱阻。

式(1-9)相當(dāng)于電學(xué)中的歐姆定律(電流=電壓/電阻：I=AU/R)，且式中總熱

阻和分熱阻的關(guān)系也具有電學(xué)中串聯(lián)電路的電阻疊加特性：總電阻等于各串聯(lián)分電

阻之和。

導(dǎo)熱現(xiàn)象的比擬(流量=動(dòng)力/阻力)(圖

1-7)

熱阻是傳熱學(xué)的基本概念之一。用熱阻的

概念分析各種傳熱現(xiàn)象，不僅可使問(wèn)題的物理

概念更加清晰，而且推導(dǎo)和計(jì)算也來(lái)得簡(jiǎn)便。

對(duì)于某一傳熱問(wèn)題，如果要增強(qiáng)傳熱，就應(yīng)設(shè)

法減少所有熱阻中最大的那個(gè)熱阻；若要減弱傳熱，就應(yīng)該加大所有熱阻中最小的

那個(gè)熱阻，或者再增加額外的熱阻，即增加保溫層。

思考題

1試以日常生活或生產(chǎn)實(shí)踐中的例子說(shuō)明熱傳導(dǎo)、對(duì)流換熱和輻射換熱現(xiàn)象。

2夏季在溫度為20°C的室內(nèi)，穿單衣感到舒適，而冬季在同樣溫度的室內(nèi)卻要穿絨衣，試

從傳熱的觀點(diǎn)解釋其原因。

3冬天，上午曬棉被，晚上睡覺(jué)為什么會(huì)覺(jué)得很暖和？

4暖水瓶瓶膽為鍍銀真空夾層玻璃，簡(jiǎn)述暖水瓶的保溫原理。

5何為熱阻，單位面積熱阻和總面積熱阻有何區(qū)別？

0.02Kcal/(m-h?℃)?

第二章導(dǎo)熱的基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱..........................................9

2-1導(dǎo)熱的基本概念和定律................................................9

1溫度場(chǎng)和溫度梯度...................................................9

2傅里葉定律的嚴(yán)格表述................................................11

2-2導(dǎo)熱微分方程式......................................................12

2—3—維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析......................................................17

1通過(guò)平壁的導(dǎo)熱......................................................17

2通過(guò)圓筒壁的導(dǎo)熱....................................................22

2-4通過(guò)肋片的導(dǎo)熱分析..................................................27

1肋片導(dǎo)熱(散熱)微分方程及其求解.................................27

2肋片效率與肋片的工程計(jì)算...........................................29

4幾點(diǎn)注釋............................................................31

2-5復(fù)雜情況的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱..................................................33

第二章導(dǎo)熱的基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

從本章開(kāi)始將深入的討論三種熱量傳遞方式的基本規(guī)律.研究工作基本遵循經(jīng)

典力學(xué)的研究方法，即提出物理現(xiàn)象、建立數(shù)學(xué)模型而后分析求解的處理方法，對(duì)

于復(fù)雜問(wèn)題亦可在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)值求解或試驗(yàn)求解。采用這種方法，我

們就能夠達(dá)到預(yù)測(cè)傳熱系統(tǒng)的溫度分布和計(jì)算傳遞的熱流量的目的。

導(dǎo)熱問(wèn)題是傳熱學(xué)中最易于用數(shù)學(xué)方法處理的熱傳遞方式。因而我們能夠在選

定的研究系統(tǒng)中利用能量守恒定律和傅立葉定律建立起導(dǎo)熱微分方程式，然后針對(duì)

具體的導(dǎo)熱問(wèn)題求解其溫度分布和熱流量。最后達(dá)到解決工程實(shí)際問(wèn)題的目的。

2-1導(dǎo)熱的基本概念和定律

1溫度場(chǎng)和溫度梯度

1」溫度場(chǎng)

由于熱量傳遞是物質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)部或其與環(huán)境之間能量分布不平衡條件下發(fā)生的

無(wú)序能量的遷移過(guò)程，而這種能量不平衡特征，對(duì)于不可壓縮系統(tǒng)而言，可以用物

質(zhì)系統(tǒng)的溫度來(lái)表征。于是就有“凡是有溫差的地方就有熱量傳遞”的通俗說(shuō)法。

因此，研究系統(tǒng)中溫度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律對(duì)于研究傳熱問(wèn)題是卜分重要的工

作。按照物理上的提法，物質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)點(diǎn)上溫度的集合稱(chēng)為溫度場(chǎng)，它是時(shí)間和

空間坐標(biāo)的函數(shù)，記為

f=/(x,y,z,r)2-1

式中,，一為溫度;x,y,z—為空間坐標(biāo)；一為時(shí)間坐標(biāo)。

如果溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化，即為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，于是有

f=/(x,y,z)2—2

穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)僅在一個(gè)空間方向上變化時(shí)為一維溫度場(chǎng),

t=f(x)2-3

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程具有穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，而非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程具有非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。

1.2等溫面

溫度場(chǎng)中溫度相同點(diǎn)的集合稱(chēng)為等溫面,二維溫

度場(chǎng)中則為等溫線,一維則為點(diǎn).取相同溫度差而繪

制的等溫線(對(duì)于二維溫度場(chǎng))如圖2-1所示,其疏密

程度可反映溫度場(chǎng)在空間中的變化情況。

等溫面不會(huì)與另一個(gè)等溫面相交,但不排除十分

地靠近，也不排除它可以消失在系統(tǒng)的邊界上或者自

行封閉。這就是等溫面的特性。

1.3溫度梯度

溫度梯度是用以反映溫度場(chǎng)在空間的變化

特征的物理量，按照存在溫差就有熱傳的概念,

沿著等溫面方向不存在熱量的傳遞。因此，熱量

傳遞只能在等溫面之間進(jìn)行。熱量從一個(gè)等溫面

到另一個(gè)等溫面，其最短距離在該等溫面的法線

方向。對(duì)于均質(zhì)系統(tǒng)而言,在這個(gè)方向上應(yīng)該有

最大的熱量通過(guò)。因而定義，系統(tǒng)中某一點(diǎn)所在

的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間

的距離之比的極限為該點(diǎn)的溫度梯度，記為grad

to它是一個(gè)矢量，其正方向指向溫度升高的方向。

結(jié)合圖2—2所示,我們有

圖2-2溫度梯度與熱流密度

..Azdt

graat=Lrim——=—。

△〃dn

2—4

顯然,溫度梯度表明了溫度在空間上的最大變化率及其方向。對(duì)于連續(xù)可導(dǎo)的溫度

場(chǎng)也就存在連續(xù)的溫度梯度場(chǎng)。

1.4熱流密度

在緒論中業(yè)已提及，熱流密度是定義為單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)由單位面積所傳遞的熱量，可以

一般性地表示為

式中,dQ為垂直通過(guò)面積dA的熱流量,因而熱流密度q也是一個(gè)矢量，其方向與所通

過(guò)面的方向一致。注意一下關(guān)于溫度梯度的定義，不難發(fā)現(xiàn)熱流密度通過(guò)的面就是

等溫面。那么,溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是

從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。在圖2-2中顯示

了這一特征。

2傅里葉定律的嚴(yán)格表述

傅里葉定律是在畢歐(Boit)進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)后所得結(jié)果的基礎(chǔ)上由傅立葉

(Fourier)歸納得出的。畢歐的平板導(dǎo)熱實(shí)驗(yàn)可以認(rèn)為是在兩個(gè)等溫面之間進(jìn)行的,

如圖2—3所示。那么，通過(guò)平板上微元等溫面的熱流

量可寫(xiě)成如下形式

dQ=-AdA”,

A/2

經(jīng)整理并取極限得出

q=-Agradt。2—6

這就是傅里葉定律嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式。式中的負(fù)號(hào)是

因?yàn)闊崃髅芏扰c溫度梯度的方向不一致而加上的。于

是,傅里葉定律可表述為系統(tǒng)中任一點(diǎn)的熱流密度與

該點(diǎn)的溫度梯度成正比而方向相反。對(duì)于連續(xù)可導(dǎo)的

圖2-3平壁導(dǎo)熱實(shí)驗(yàn)與傅里葉定律

溫度場(chǎng)，顯然存在著連續(xù)的溫度梯度場(chǎng)，也就存在連

續(xù)的熱流密度場(chǎng)。

式(2—6)中的比例系數(shù)九稱(chēng)為導(dǎo)熱系數(shù),它應(yīng)該是一個(gè)與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切

相關(guān)的物理性質(zhì)參數(shù)，常簡(jiǎn)稱(chēng)為物性量或物性參數(shù)，其量綱為W/(m℃),它反映了物

質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。

?般而言，不同物質(zhì)的導(dǎo)熱機(jī)理是不同的。氣體是依靠其分子無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)

而造成分子間碰撞和遷移來(lái)實(shí)現(xiàn)熱量傳遞的。固體物質(zhì)則是依靠其晶格振動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)

熱量傳遞的(即所謂的“彈性波”傳遞)。對(duì)于金屬物質(zhì)，由于晶格間自由電子的

存在，其在熱運(yùn)動(dòng)下的漂移就構(gòu)成傳遞熱量的主要機(jī)制。液體物質(zhì)的導(dǎo)熱機(jī)理更類(lèi)

似于氣體，而分子的密集程度類(lèi)似于固體，分子間的引力會(huì)對(duì)導(dǎo)熱過(guò)程產(chǎn)生較大影

響，因而液體導(dǎo)熱的機(jī)制是一種綜合的作用，因而是以碰撞漂移為主還是“彈性波”

效應(yīng)，至今尚無(wú)定論。

因而導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)

溫度和壓力的函數(shù)。由于物質(zhì)溫度和壓力的高

低直接反映物質(zhì)分子的密集程度和熱運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)

弱程度，直接影響著分子的碰撞、晶格的振動(dòng)

和電子的漂移，故物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)與溫度和壓

0

力密切相關(guān)。但是由于固體和液體的不可壓縮)

、

性，以及氣體導(dǎo)熱系數(shù)在較大壓力范圍變化不邑

大，因而一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù),Y、

而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關(guān)系來(lái)

描述，即

/L=4)(1+/?T)2—7

式中，九°為參考溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)，b為一實(shí)

驗(yàn)常數(shù)。

各種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值均由實(shí)驗(yàn)確定。0.02

各類(lèi)物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值的大致范圍及隨溫度0.01

0.006

變化的情況示于圖2—4中。-ISO-50020060010001500

//?C

圖2—4各種物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值的大致范圍

2-2導(dǎo)熱微分方程式

導(dǎo)熱系統(tǒng)

傅里葉定律確定了溫度梯度和

熱流密度之間的關(guān)系，而要確定物

體的溫度梯度就必須知道物體的溫

度場(chǎng)，即溫度分布。因此，導(dǎo)熱分

析的首要任務(wù)就是確定物體內(nèi)部的

溫度場(chǎng)。在這里我們以能量守恒定

律和傅里葉定律為基礎(chǔ)，分析物體

（系統(tǒng)）中的微元體，得出反映導(dǎo)

熱現(xiàn)象基本規(guī)律的導(dǎo)熱微分方程

式。圖2—5給出了一個(gè)導(dǎo)熱系統(tǒng)及

其在直角坐標(biāo)系中的一個(gè)微元體

dxdydz,為分析問(wèn)題的方便，取系統(tǒng)

的物性量,密度"比熱c和導(dǎo)熱系數(shù)

九均為常數(shù)。圖2—5直角坐標(biāo)中導(dǎo)熱系統(tǒng)與其微元體

根據(jù)能量守恒定律，單位時(shí)間

凈導(dǎo)入微元體的熱量/Qd加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量/以應(yīng)等于微元體焰的增加

量AE,即

△Q.+A2,=AE?2—8

根據(jù)傅里葉定律，在“出寸間內(nèi)，在x方向上導(dǎo)入的熱量為-/l史dMzdr,而

dx'

導(dǎo)出的熱量為-4金。+包。因此，在x方向上凈導(dǎo)入的熱量為

dxdx

A^dxdydzdr。

dx

同理可導(dǎo)出，在y方向上凈導(dǎo)入的熱量為/1々公辦以47,

Sy

o2.

而在Z方向上凈導(dǎo)入的熱量為/lTdxdydzdr。于是有

及

ACd~td-t..,,,

△Qd=%(W+3TT+—y}dxdydzdT。

dxdydz

微元體內(nèi)熱源在ch時(shí)間內(nèi)生成的熱量為

△Q=，

vqvdxdydzdr(b)

式中，名為單位時(shí)間單位體積的內(nèi)熱源發(fā)熱量，單位為W/，/。

微元體在“樹(shù)間內(nèi)焰的增加量為

dt

AE8瓦dxdydzdr。

將式(a),(b),⑹代入(2—8)中，并且兩邊同時(shí)除以dxdy/zdr，則可以得到

dt,.d2td2td2t..

2—9a

上式亦可寫(xiě)為

dt.d2td2td2t.q口，q

vv2—9b

drdx"dydz"pcpc

式中，力為拉普拉斯算子；稱(chēng)熱擴(kuò)散系數(shù)，單位為〃//5。

熱擴(kuò)散系數(shù)。也是一個(gè)物性參數(shù)，從其物理量的組成表明了物質(zhì)導(dǎo)熱特性與其

貯存熱能特性的對(duì)比關(guān)系，因而反映了物質(zhì)導(dǎo)熱的動(dòng)態(tài)特征。對(duì)于相同大小的物質(zhì)

系統(tǒng)，在加熱或冷卻的過(guò)程中，熱擴(kuò)散系數(shù)越大的物質(zhì)，其內(nèi)部溫度趨于一致的能

力越大。由此也可將熱擴(kuò)散系數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)溫系數(shù)。

式(2-9)為導(dǎo)熱系統(tǒng)的導(dǎo)熱微分方程式。它表述了導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間

和空間的變化規(guī)律，是導(dǎo)熱溫度場(chǎng)的場(chǎng)方程。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，包=0,則式(2-9)變?yōu)?/p>

dr

V2/+生=0..dtdtdtq

或—+—r+—+^-v0,2—10

2dx-dy-dz'2

此式常稱(chēng)為泊桑方程。如果無(wú)內(nèi)熱源存在，則方程變?yōu)?/p>

駕+空+駕=0

V2r+=0或2-11

dx'dy~dz'

此式則稱(chēng)為拉普拉斯方程。它是研究穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)最基本的微分方程式。

由于我們是在?般意義下從能量守恒定律推導(dǎo)出來(lái)的導(dǎo)熱微分方程式，因而反

映系統(tǒng)內(nèi)能變化的一切導(dǎo)熱問(wèn)題的溫度場(chǎng)都是可以用導(dǎo)熱微分方程式來(lái)加以描述

的。這也就是說(shuō)，導(dǎo)熱微分方程是導(dǎo)熱問(wèn)題的普適性方程，也常常稱(chēng)之為支配方程

或主導(dǎo)方程，一切導(dǎo)熱問(wèn)題的溫度場(chǎng)都必須滿足導(dǎo)熱微分方程式。但對(duì)于具體的導(dǎo)

熱問(wèn)題，還必須給出反映該問(wèn)題特征的單值性條件，最后才能通過(guò)分析求解而得出

滿足該導(dǎo)熱問(wèn)題的特定溫度場(chǎng)。導(dǎo)熱問(wèn)題的單值性條件通常包括如下四項(xiàng)：

幾何條件一一表征導(dǎo)熱系統(tǒng)的幾何形狀和大?。▽儆谌S，二維或一維問(wèn)題）;

物理?xiàng)l件一一說(shuō)明導(dǎo)熱系統(tǒng)的物理特性（即物性量和內(nèi)熱源的情況）；

初始條件一一（又稱(chēng)時(shí)間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)）和

邊界條件一一反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間

的關(guān)系。

由于幾何條件和物理?xiàng)l件可以在導(dǎo)熱微分方程式以及初始條件和邊界條件中

反映出來(lái)。因此，從數(shù)學(xué)求解的層面上講，微分方程式加上初始條件和邊界條件就

構(gòu)成?個(gè)微分方程的定解問(wèn)題。下面我們著重討論一下導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始條件和邊界

條件。

微分方程的初始條件就是給出導(dǎo)熱過(guò)程初始瞬間系統(tǒng)內(nèi)的溫度分布。數(shù)學(xué)表達(dá)

式為

f=/（x,y,z,O）o

如果初始溫度分布是均勻恒定時(shí)，則有f=「常數(shù)。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題則不需要初始條件。

微分方程的邊界條件是用來(lái)描述導(dǎo)熱系統(tǒng)在邊界上的熱量傳遞特征的。常見(jiàn)的

有如下三類(lèi)：

?

a.第一類(lèi)邊界條件b.第二類(lèi)邊界條件c.第三類(lèi)邊界條件

圖2—6三類(lèi)邊界條件的給定

（1）第一類(lèi)邊界條件一該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時(shí)間和空

間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值，如圖2-6a所示的

X=.時(shí)f=/,(y,z,r)；

(2)第二類(lèi)邊界條件一該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當(dāng)于給定邊界

上的熱流密度，它可以是時(shí)間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值，

如圖2-6b所示的x=x^Sdt/dx-f2(y,Z,t)；

(3)第三類(lèi)邊界條件一該條件是第一類(lèi)和第二類(lèi)邊界條件的線性組合，常為給定

系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個(gè)量可以是時(shí)間和空間

的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值，如圖2-6c所示的

x=X1時(shí)一2%/3x=a(t-J)。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題則不需要初始條件。

利用坐標(biāo)變換，我們可以把直角坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程式變換為圓柱坐標(biāo)系

或球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程式，這兩種坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微元體如圖2—7所示。

各自的微分方程形式為：

對(duì)于圓柱坐標(biāo)系

dt.d2t1dt1d2td2t.qc

丁=a(r+-k+r-r+r)+-v2—12

drdr"rdrr'd(p-dz"pc

對(duì)于球坐標(biāo)系

2

dtr1d,2.1d..adt.1dtqv

drdrdrr~sin^d3dOr~sin-0d(p~pc

2—13

這兩種坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程式也有其在空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)上的相應(yīng)的

簡(jiǎn)化形式，這里不再列出。

a.圓柱坐標(biāo)系b.球坐標(biāo)系

圖2—7兩種坐標(biāo)微元體示意圖

2-3一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析

在穩(wěn)態(tài)情況下，利用導(dǎo)熱微分方程式加上邊界條件就可以求解微分方程式而得

出相應(yīng)系統(tǒng)的溫度場(chǎng)，進(jìn)而利用傅里葉定律求出熱流場(chǎng)。在這一節(jié)里，我們將就工

程實(shí)際中常用的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，如通過(guò)平壁的導(dǎo)熱，通過(guò)圓筒壁的導(dǎo)熱，進(jìn)行

分析。

1通過(guò)平壁的導(dǎo)熱

所謂平壁，就是板狀物體，也可以俗稱(chēng)為大平板。它的長(zhǎng)度和寬度都遠(yuǎn)大于其

厚度，因而平板兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱就可以歸納為維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)

題。從平板的結(jié)構(gòu)可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁等類(lèi)型，如圖2—8所示。

a.單層壁導(dǎo)熱b.多層壁導(dǎo)熱c.復(fù)合壁導(dǎo)熱

圖2—8—維平壁導(dǎo)熱示意圖

I」通過(guò)單層平壁的導(dǎo)熱

單層壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的物理模型如圖2—9所示，其導(dǎo)熱微分方程式為

=02—14

在不同的邊界條件下可求出不同的溫度分布和熱流量。

最簡(jiǎn)單的求解情況是在第一類(lèi)邊界條件下且無(wú)內(nèi)

熱源，同時(shí)平壁材料的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的導(dǎo)熱問(wèn)題

此時(shí)微分方程和邊界條件可寫(xiě)為X=X0(]+bt)2^)

X—t~)o

積分（a）式得到t=ctx+C2，并代入邊界條件（b）,圖2-9通過(guò)單層壁導(dǎo)熱

（c），即可得到平壁中的溫度分布

x+八或

可見(jiàn)，在無(wú)內(nèi)熱源而導(dǎo)熱系數(shù)又為常數(shù)的情況下，平壁的溫度分布是線性的，即為

一條直線，如圖2—9所示。

由傅里葉定律q=-/l包在對(duì)上式求導(dǎo)后代入可得，

。中…）或q

這就是計(jì)算通過(guò)平壁的導(dǎo)熱熱流密度的公式，后一種形式是熱阻表達(dá)式。那么，通

過(guò)整個(gè)平壁表面的熱流量的計(jì)算式則為

2=4^1~12)A或Q=

OO

24

上式中的后?種形式也是熱阻表達(dá)式。應(yīng)注意到，2—16式中的%為單位面積的

導(dǎo)熱熱阻m2℃AV,而2—17式中的%/達(dá)）則為平壁的導(dǎo)熱熱阻。C/W。

如果平壁的導(dǎo)熱系數(shù)不為常數(shù)，在設(shè)定導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)，即

2=2（1+^）的情況下，微分方程和邊界條件變?yōu)?/p>

—U0(l+/>/)—)=0(a)

dxdx

x=0,/=G(b)

X—5,t—12(C)

最后可求得其溫度分布為

G

12+」G)「

2-18

(f2Tl[l+,G+乙)S

而熱流密度計(jì)算式為

q=A)1+1(z2+ti)，才?

或4=2—19

式中4"=(4+4)/2=4)[1+比1+?2)/2]=4)(1+9,“)，從中不難看出，Am

為平壁兩表面溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值的算術(shù)平均值，亦為平壁兩表面溫度算術(shù)平均值

下的導(dǎo)熱系數(shù)值。

從溫度分布函數(shù)的形式可以看出，在無(wú)內(nèi)熱源但導(dǎo)熱系數(shù)線性變化的情況下，

溫度分布為拋物線分布，如圖2—9所示，其拋物線的凹向取決于系數(shù)b的正負(fù)。

如果平壁內(nèi)有均勻的內(nèi)熱源外,且認(rèn)為導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)幾=const.和平壁兩邊

圖2—10含源平壁導(dǎo)熱問(wèn)題

積分該微分方程可以得到f=-出1++再代入上述邊界條件得到相應(yīng)溫

22'

度分布

t=Z.+—(<^2-X2)?2—20

w22

溫度分布曲線示于圖2—10中。它也是一條拋物線，其頂點(diǎn)在平板的中心。

2

可以求得中心溫度為tc=tw+qv8/(22)?2-21

也可以求出平壁中的熱流密度為q=qvx，而壁面上則為qK=qv3。

例2—1有一磚砌墻壁，厚為0.25m。已知內(nèi)外壁面的溫度分別為25℃和30七。試計(jì)算墻壁

內(nèi)的溫度分布和通過(guò)的熱流密度。

解：由平壁導(dǎo)熱的溫度分布上工~=:代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)t=25+20x的溫度分布

<2~h6

表達(dá)式。再?gòu)母戒洸榈眉t磚的入=0.87W/(m℃),于是可以計(jì)算出通過(guò)墻壁的熱流密度

q--/)=-17.4IV/W2。

62

例2—2某一維導(dǎo)熱平板，平板兩表面穩(wěn)定分布為力和t2。在這個(gè)溫度范圍內(nèi)導(dǎo)熱系數(shù)與溫

度的關(guān)系為入=1/(伙)。求平板內(nèi)的溫度分布。

解：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程為色心包]=0,將大=1/(供)代入后積分得出:

dx\dx)

匕二=q,分離變量為蟲(chóng)=為；小，積分得到Int邛JX+C2

\pt)dxt

代入邊界條件當(dāng)x=0時(shí)1=1[c2=Int|；

而當(dāng)x=3時(shí)t=b有In匕邛cR+Int],得出q=—In—；

于是溫度分布為Int=—/w-x+或?qū)憺閠=exp|—+Int1

b八W八

1.2通過(guò)多層壁的導(dǎo)熱

由不同材料的平板組成的壁面稱(chēng)為多層壁，建筑物的墻壁和工業(yè)爐的爐墻都可

以看著是多層壁的結(jié)構(gòu)，這也是多層壁導(dǎo)熱問(wèn)題的實(shí)際例子。

多層壁的導(dǎo)熱分析是通過(guò)對(duì)每一層的導(dǎo)熱分析而得到其相應(yīng)的溫度分布的。對(duì)

于導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的多層壁，其溫度分布應(yīng)為一條折線。圖2—11顯示一個(gè)三層壁

導(dǎo)熱問(wèn)題。

在穩(wěn)態(tài)情況下由熱流平衡原則可知，通過(guò)多層壁的熱流密度亦為通過(guò)每一層的

熱流密度，即4=工1夕=與二夕=與二工

O,/，/，/

由和分比關(guān)系，上式可以寫(xiě)為

2—22a

推廣到n層壁的情況，則有

2—22b

圖2-11通過(guò)多層壁的導(dǎo)熱

這里應(yīng)該注意到，在推導(dǎo)多層壁導(dǎo)熱的公式時(shí)，假定了兩層壁面之間是保持了

良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實(shí)際中這個(gè)假定并不存在。因?yàn)槿?/p>

何固體表面之間的接觸都不可能是緊密的，見(jiàn)圖2—12。在這種情況下，兩壁面之

間只有接觸的地方才直接導(dǎo)熱，在不接觸處存在空隙，熱量是通過(guò)充滿空隙的流體

的導(dǎo)熱、對(duì)流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱

阻力，稱(chēng)為接觸熱阻。有時(shí)接觸熱阻遠(yuǎn)大于導(dǎo)熱熱X,

阻，這是因?yàn)榭障吨刑畛渲涣鲃?dòng)的空氣，而空氣

的導(dǎo)熱性能又遠(yuǎn)低于固體的原故。接觸熱阻是普遍t2[pt

存在的，而目前對(duì)其研究又不充分，往往采用一些一\rL

實(shí)際測(cè)定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通常，對(duì)于導(dǎo)熱系數(shù)較小的

多層壁導(dǎo)熱問(wèn)題接觸熱阻多不予考慮；但是對(duì)于金-------、--------At

屬材料之間的接觸熱阻就是不容忽視的問(wèn)題。"

圖2—12表面接觸熱阻示意圖

例2-3由三層材料組成的加熱爐爐墻。第一層為耐火

磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的厚度及導(dǎo)熱系數(shù)分別為京=240mm,

X|=1.04W/(m℃),b2=50mm,瓦=0.15W/(m，C),8,=115mm,X3=0.63W/(m℃)o爐墻內(nèi)側(cè)耐

火磚的表面溫度為1000-C,爐墻外側(cè)紅磚的表面溫度為60℃。試計(jì)算硅藻土層的平均溫度

及通過(guò)爐墻的導(dǎo)熱熱流密度。

解：已知51=0.24m,均=1.04W/(m，C)

§2=0.0501,X2=0.15W/(m-r)

83=0.115m,九3=0.63W/(m，C)

t|=KXXTCt2=60℃

q=,q=1259W/，”2

疝+卷+%

44%

t2=,1?■疤=7(xrc

4

t3=h_g"=289'C

硅藻土層的平均溫度M空=49%

2通過(guò)圓筒壁的導(dǎo)熱

圓筒壁就是圓管的壁面。當(dāng)管子的壁面相對(duì)于管長(zhǎng)而言非常小，且管子的內(nèi)外

壁面又保持均勻的溫度是時(shí)，通過(guò)管壁的導(dǎo)熱就是圓柱坐標(biāo)系上的一維導(dǎo)熱問(wèn)題。

這里僅討論穩(wěn)態(tài)的情況。

2.1通過(guò)單層圓筒壁的導(dǎo)熱

山單一材料制成的圓管管壁中的導(dǎo)熱是典型的通過(guò)單層圓筒壁導(dǎo)熱的例

子。圖2—13給出一圓筒，其內(nèi)外半徑分別為r,和口,長(zhǎng)為L(zhǎng),內(nèi)外表面分別維持均

勻不變的溫度L和t2,材料的導(dǎo)熱系數(shù)為大，且為常數(shù)。那么在圓柱坐標(biāo)中，微分方

程和邊界條件可寫(xiě)為

7=1

積分上面的微分方程兩次得到其通解為

t=cxf.nr+c2。

代入邊界條件后得到積分常數(shù)圖2—13單層圓筒壁的導(dǎo)熱問(wèn)題

C1=仁殳；，2=。-仁豆0〃八。于是得出圓筒壁的溫度分布為

In—f.n—

r2rz

dn-

?"Z|=—。2—23

L'勿豆

r\

不難看出圓筒壁內(nèi)的溫度分布是一條對(duì)數(shù)曲線，示于圖2—13中。

利用傅里葉定律Q=-4包(2勿2),又因包=幺,故而通過(guò)圓筒壁的導(dǎo)熱量

drdrr

為：

Q=-2)=/l。2-24

￡n2tn-

八ITCAL4

如果上述導(dǎo)熱問(wèn)題中，材料的導(dǎo)熱系數(shù)不為常數(shù)，且有九=%(1+切)。此時(shí),

通過(guò)圓筒壁的導(dǎo)熱量由傅立葉定律可以表示為Q=-4(1+bt)—{17rrL)。由于在

dr

穩(wěn)態(tài)條件下Q=常數(shù)，因而可以用分離變量積分的辦法得到其溫度分布，即

L2」二_1\_

力+?伍+。)￡〃殳2—25

L/」八

不難看出變導(dǎo)熱系數(shù)的溫度分布仍然是一條對(duì)數(shù)曲線。進(jìn)而也就可以得到通過(guò)圓筒

壁的熱流量

。72

Q=2-26

2二“id

式中，4.=4)1+](6+%)=4)(1+初〃J，為圓筒壁的平均導(dǎo)熱系

數(shù)=4上殳為內(nèi)外壁面溫度的算術(shù)平均值。

2.2通過(guò)含內(nèi)熱源圓柱體的導(dǎo)熱

含源圓柱體的導(dǎo)熱問(wèn)題在工程上是常常會(huì)遇到的，如求通電圓柱體內(nèi)的溫度分

布問(wèn)題。在導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的情況下，其方程和邊界條

件為

、dt八

r=0,-=0;

dr

圖2-14含內(nèi)熱血圓柱體的導(dǎo)熱

(第二個(gè)邊界條件也可以用第三類(lèi)邊界條件，其結(jié)果一

樣。)

積分上面的微分方程兩次有r="+cr+q，代入邊界條件后得到

4/1

c,=0,c2=九+磐.于是可以整理得出圓柱體內(nèi)的溫度分為:

它是一條拋物線，示于圖2—14中。圓柱體中溫度最高點(diǎn)在圓柱體的中心溫度為:

2—28

由傅里葉定律q=-Adt/dr可以得出圓柱體內(nèi)的熱流密度分布q:，而通

2A

過(guò)壁面的熱流量是。=的￡/。2—29

例2—4有一圓管外徑為50mm,內(nèi)徑為30mm,其導(dǎo)熱系數(shù)為25W/(m℃),內(nèi)壁面溫度為40

°C外壁面溫度為20℃。試求通過(guò)壁面的單位管長(zhǎng)的熱流量和管壁內(nèi)溫度分布的表達(dá)式。

解：由通過(guò)圓筒壁的熱流計(jì)算公式求得%=T*=12025=6150.0295W/,”。

------^n-------tn—

2祖I]50萬(wàn)15

tn—

再由圓筒壁的溫度分布，二生=一工代入已知數(shù)據(jù)有—=""暇5，最后得出

加立20