概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排公式Pn(1)排公式Pn=-^m(m-n)!Cn=洲m n!(m—n)!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方（2）加法來完成。法原理（2）加法來完成。法原理乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mXn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mXn種方法來完成。(3)重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）(3)重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）排列順序問題（4）隨（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件（5）基本事件、樣本空間和事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用⑴來表示。基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用Q表示。一個(gè)事件就是由Q中的部分點(diǎn)（基本事件^）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是q的子集。Q為必然事件，0為不可能事件。不可能事件（0）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：auB如果同時(shí)有auB，BdA，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AuB，或者A+B。(6)事件的關(guān)系與運(yùn)屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者aB，它表示A(6)事件的關(guān)系與運(yùn)算 A、B同時(shí)發(fā)生：AnB，或者AB。AAB=，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)GC=(AC)U

(BC)德摩根率:X11X11ABAB,ABAB(7)概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0<P(A)<1,2°P(Q)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件A1,A2，…有PA1 P(A1)11 11常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典概型10 1'2n，2°p(1)p(2) p(n)n。設(shè)任一事件a，它是由1'2皿組成的，則有p(a)=()() ()=p()p() p()1 2 m 1 2 mmA所包含的基本事件數(shù)n 基本事件總數(shù)(9)幾若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)

何概型有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A,P(A)=公。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L(O)(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)=0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BuA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Q時(shí)，P(B)=1-P(B)(12)條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱P(AB)為事件P(A)A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)=臭絲。P(A條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1nP(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，對(duì)事件A，A，???A，若P(AA???A)>0，則有1 2 n 12 n-1P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(AJA1A2…An-1)。①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件a、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)>0，則有P(BIA)=地=P(A)P(B)=P(B)P(A) P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、A與萬、A與B也都相互獨(dú)立。必然事件O和不可能事件0與任何事件都相互獨(dú)立。(14)獨(dú)0(14)獨(dú)0與任何事件都互斥。立性②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。(15)全設(shè)事件B],B》，Bn滿足概公式B1,B2,...,Bn兩兩互不相容,P(B)〉0(i=1,2,…,n),Au^B2°ri,(分類討論的則有P(A)=P(B1)P(AIB1)+P(B2)P(AIB2)+…+P(Bn)P(AIBn)。設(shè)事件B1,B2，…，Bn^a滿足1°B1，B2，…，Bn兩兩互不相容，P(Bi)>0，i=1,2,…，n，Au^B —2° i，P(A)>0,(已經(jīng)知道結(jié)果求原因(16)貝 i=1則葉斯公式 P(B/A)=尸電)P(A/旦)，i=1,2，???n。iUP(B)P(A/B)j jJ=1此公式即為貝葉斯公式。P(B)，(i=1，2，…，n)，通常叫先驗(yàn)概率。p(B/A)，(i=1，2，'…，n)，通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了n次試驗(yàn)，且滿足(17)伯(17)伯每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生;n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。

這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為〃重伯努利試驗(yàn)。用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則I發(fā)生的概率為1-P=q，用P*)表示n重伯努利試驗(yàn)中I出現(xiàn)k(0<k<n)次的概率，Pn(k)=Ckpkqn_k，k=0,1,2,…，n。第二章隨機(jī)變量及其分布⑴離散型隨機(jī)變量的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xk(k=1,2，…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=X⑴離散型隨機(jī)變量的分布P(X=x)=p，k=1,2,…，kk則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：律 X|%,三2,…，X，…P(X=Xk)P1,P2，…,pk,…。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件:(1)Pk20，k=1,2,…，(2)k=1⑵連續(xù)型隨⑵連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度⑶離散與連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)/⑴，對(duì)任意實(shí)數(shù)X，有F(x)=jxf(x)dx-s ，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1° f(x)>0。2° 卜f(x)dx=1-s 。P(X=x)rP(x<X<x+dx)rf(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X=xk)=pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。的關(guān)系(4)分設(shè)x為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)布函數(shù)F(x)=P(X<x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b］的概率。分布函數(shù)F(X)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8,乂］內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 0<F(X)<1, -8<X<+8；2° F(X)是單調(diào)不減的函數(shù)，即x1<X2時(shí)，有F(X1)<F(X2)；3 F(-8)=limF(x)=0， F(+8)=limF(x)=1；XT-8 XT+84° F(X+0)=F(x)，即F(x)是右連續(xù)的；5°P(X=X)=F(x)-F(X-0)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Zp；kx$x對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=Xf(x)dx。(5)八0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q大分布二項(xiàng)分布在〃重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件a發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2,...,n。二項(xiàng)分布P(X=k)=Pn(k)=Ckpkqn-k ， 其中q=1-p,0<p<1,k=0,1,2,…,n，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記為X~B(n,p)。當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pkq1-k，k=0.1當(dāng)n=1時(shí)，分布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。

泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,人k.P(X=k)=——e-人,人〉0,k=0,1,2…，k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為人的泊松分布，記為X?兀(入)或者P(人)。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np二入，nT8)。超幾何分布P(X=k)=C/C",k=0,1，2??撰Cn l=min(M,n)N隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3,...,其中P^O,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在［a,曰內(nèi)，其密度函數(shù)f⑴在［a，b］上為常數(shù)L，即均勻分布b-af⑴f⑴=<i-a

0,其他，0，x一0，x一a

b一a1,當(dāng)aWx<xWb時(shí)率為12X落在區(qū)間（氣,x2）內(nèi)的概則稱隨機(jī)變量X在［a，b］上服從均勻分布，記為X~U（a，b）。分布函數(shù)為x<a，aWxWbF(x)=jxf(x)dx=一8x>b。P(x<X<x)=—2——-i。1 2b-a指數(shù)分布0,其中人〉0,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為人的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為0,x<0。0,記住積分公式:jxne-xdx=n!

正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)= e-凄， -8<x<+8,<2kq其中日、°>0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為日、a的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為X~N(日,a2)。f(x)具有如下性質(zhì)：1°f⑴的圖形是關(guān)于x=u對(duì)稱的；2°當(dāng)X=R時(shí)，f(四)=—為最大值；v'2kc若X~N(日,g)，則x的分布函數(shù)為1 _(^2F(x)=； jxe2a2dtJ2兀a-8 。。參數(shù)H=0、a=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(0,1)，其密度函數(shù)記為1 x2中⑴=Ke2W2兀 ，一8<x<+8，分布函數(shù)為1x*0(x)=je一2dt。J2兀-8①(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。①(-x)=1-①(x)且①(0)=1。2如果XN(日,a2)，則X一—N(0,1)。aP(x<X<x)=2x^-—Vof土一^］。1 2IaJIaJ

(6)分位數(shù)下分位表：P(X<^)=a；上分位表：p(X>日)=a。(7)函數(shù)分布離散型已知X的分布列為X X1,X2,…,Xn,???，P(X=QP1，p2,…，Pn，…Y=g(X)的分布列(y=g(x)互不相等)如下：Y g(x1),g(x2),…,g(xD，…，P(Y=yi)Pl'P2,…,Pn，…若有某些g(x)相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的P相加作為gx的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)Wy)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量&(X,Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x,y)，則稱(1)聯(lián)合分布離散型設(shè)&=(X，Y)的所有可能取值為(七,七.)(i,j=1,2,..?)，且事件{&=(七,七.)}的概率為p^,稱P{(X,y)=(X，"}=p.(i,j=1,2,…)為&=(X，Y)的分布律或稱為乂和丫的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示：\y1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…:::::xipi1…Pj…:::::連續(xù)型 對(duì)于二維隨機(jī)向量&=(x,y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(尤,y)(-8c<+8,—8vyv+8)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有P{(X,Y)eD}=jjf3,y)dxdy,D則稱&為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為&=(X，Y)的分布密度或稱為乂和丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì):⑴f(x,yU0;(2) j+8j+8f(x,y)dxdy=1.-8-8(2)二&(X=x,Y=y)=&(X=xY=y)維隨機(jī)變量的本質(zhì)

(3)聯(lián)設(shè)(X,丫)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)合分布F3,y)=P{X<尤,y<y}函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量乂和丫的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件{(①，①)1-8<X(①)<"8<y(①)<y}的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：⑴0<F(x,y)<1;F(x,y)分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x>x時(shí)，有F(x,y)^F(x,y);當(dāng)y>y時(shí)，有F(x,y)2 1 2 1 2 1 2^F(x,y1);F(x,y)分別對(duì)乂和)是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)；F(-8,-8)=F(-8,y)=F(x,-8)=0,F(+8,+8)=1.對(duì)于x<x,y<y,12 12F(x,y)—F(x,y)—F(x,y)+F(x,y)>0.2 2 2 1 1 2 1 1

(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系P(X=尤，Y=y)rP(尤<X<x+dx,y<Y<y+dy)?f(x,y)dxdy(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為P.=P(X=xi)=z Pjj(i,j=1,2,…)；Y的邊緣分布為P.j=P(Y=yj)=￡ pj(i,j=1,2,..?)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為fx(x)=j+cof(x,y)dy；Y的邊緣分布密度為fY(y)=j+"f(x,y)dx.一3

(6)條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為P(Y=y.1X=x)=土；Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為jP(X=x1Y=y.)=K,p?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x1y)=^^；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y1x)=f^fx(x)(7)獨(dú)立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)離散型p-pp有零不獨(dú)立

連續(xù)型f(x,y)=fx(x).(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布1r『^)2.2p(V—11)(y—11)\-u)21,1 -\f3,y)= e2(1-p2)2兀bb"1-p2p=°:_1-k-卜\八J卜/+b1b2' 〔隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2，???Xm，X伸，???Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h(X1,X2，???X)和甘(X+1，???X)相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h以)和甘(Y)獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。

1D2維均勻分布JLy圖y設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為例如圖、圖和圖。D1O2x布，記為(X,Y)?U(D)。O1D2維均勻分布JLy圖y設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為例如圖、圖和圖。D1O2x布，記為(X,Y)?U(D)。O11Sdf3,y）=<0,（尤,y）eD其他其中SD為區(qū)域D的面積，則稱(X,Y)服從D上的均勻分1x維正態(tài)分布(9)二設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)維正態(tài)分布_—1—I(x-Pr)2_2p(x-|I])(y-|i2)(y-^2丫e2(1-p2"氣J brb2 Ib2J其中七,氣氣>0,b2>0,|p|<1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X，Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)?N(p,pb2,b2,p).1 2, 1 2由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X?N(p,b2),Y?N(pb2).但是若X?N(%,*),Y?N(p2b2)，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。

(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：F^(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)對(duì)于連續(xù)型，fz(z)=了f(x,z-x)dx-s兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(p+p,b2+b2)on個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。P=￡Cp，b2=￡C2b2i iZ=max,min(X1,X2,???X)n若X,XX相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F(x),F(x)—F(x)，則Z=max,min(X1,X2，???Xn)X1 x2 %的分布函數(shù)為：F(x)=F(x)?F(x)-F(x)maX xi x2 XnF(x)=1-[1-F(x)]?[1-F(x)]???[1-F(x)]mm xi x2 xn

Z2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量x,X,…,X相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和W=]Ex.2i=1的分布密度為1 n u一—u2-1e-2u>0,/（"）=12；r[-]〔2J|0, u<0.我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的z2分布，記為W?*2（n），其中rf-）=j+8（-1e-xdx."2J0所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。*2分布滿足可加性：設(shè)Y—*2（七）,則Z=2y~*2（n+n+—Fn）.i=1

F分布我們稱隨機(jī)變量FF分布我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為二個(gè)自由度為n2的F分布，記為F?f（n1,設(shè)X~X2（n1）,Y~X2（n2）,且X與Y獨(dú)立，可以證明f=*/ni的概率密度函數(shù)為Y/n2(\n2氣-11,n—y21+—y3JLnJ0,y<0々I+刀221七(ni,n2)=ft或

a2 1第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1離散型連續(xù)型

)一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xk)=Pk，k=1,2,…,n,E(X)=Yxpk=1(要求絕對(duì)收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),E(X)=Jxf(x)dx-s(要求絕對(duì)收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)E(Y)=況g(x^)pkk=1Y=g(X)E(Y)=fg(x)f(x)dx方差D(X)=E[X-E(X)]2,標(biāo)準(zhǔn)差。(x)=JDX，D(X)=￡[x-E(X)]2pkD(X)=丁[x—E(X)]2f(x)dx-s

矩對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為v,即vk=E(Xk)= ￡xkp,ik=1,2,???.對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為^,即Rk=E(X-E(X))k.=￡(x.-E(X))kp ,ik=1,2,….對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為v,即vk二E(Xk)=j+8xkf(x)dx,-3k=1,2,???.對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為R，即Rk=E(X-E(X))k.=j+8(x-E(X))kf(x)dx,-8k=1,2,???.

切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)二口，方差D(X)=02,則對(duì)于任意正數(shù)￡,有下列切比雪夫不等式. . b2P(X-可2切<——&2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率P(X一可我)的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。(2)期望的性質(zhì)E(C)二CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y),e^cxi)=￡ce(X)i=1 i=1⑷E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：乂和丫獨(dú)立；充要條件：乂和丫不相關(guān)。

(3)方差的性質(zhì)D(C)=0；E(C)=CD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)⑶D(aX+b)=a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X2)-E2(X)⑸D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：乂和丫獨(dú)立；充要條件：乂和丫不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。(4)常見分布的期望和期望方差0-1分布B(1,p)PP(1-P)二項(xiàng)分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(X)XX幾何分布G(p)1P1-pp2

方差超幾何分布H(n,M,N)nMNnML_MYN-n，NLN人N-1J均勻分布U(a,b)a+b(b一a)212指數(shù)分布e0)1土正態(tài)分布N(四q2)Rb2X2分布n2nt分布0二(n>2)n一2(5維隨機(jī)變量期望E(X)=^xpi=1E(Y)=Wyp.jj=1+tE(X)=JxfX(x)dxE(Y)=Jyf(y)dy-8Y函數(shù)的期望E[G(X,Y)]=ZZG(x^,yj)PjijE[G(X,Y)]=+8+8JJG(x,y)f(x,y)dxdy—8—8

的數(shù)字特征方差D(X)=￡[X-E(X)]2piD(Y)=Z[x-E(Y)]2pj ?jj+6D(X)=J[x—E(X)]2fx(x)dx-6+6D(Y)=J[y-E(Y)]2f(y)dy-6協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩R11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為a或cov(X,Y)，即bxy=匕=E[(X-E(X))(Y-E(Y))].與記號(hào)bXY相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為bXX與bYY。

相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱bXY \DX5dW)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作p藥(有時(shí)可簡記為p)。|p|W1,當(dāng)|p|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(X=aY+b)=1完全相關(guān)J正相關(guān)，當(dāng)P=1時(shí)(a>0),兀王 i負(fù)相關(guān)，當(dāng)p=-1時(shí)(av0),而當(dāng)p=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：pXY=°；cov(X,Y)=0；E(XY)=E(X)E(Y)；D(X+Y)=D(X)+D(Y)；D(X-Y)=D(X)+D(Y).

協(xié)方差矩陣bXXbxyj(b b)VYX YY7混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有E(XkYi)存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為v；k+l階混合中心矩記為：u^=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))i].(6)協(xié)方差的性質(zhì)⑴cov(X,Y)=cov(Y,X)；cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

(7)獨(dú)立和不相關(guān)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則p^^=0;反之不真。若(X，Y)?N(七,％”,p),則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律XTI!切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(Xi)<C(i=1,2,…)，則對(duì)于任意的正數(shù)￡，有l(wèi)imP\-l^X--￡e(X)<」=1.…Un n i)、i=1 i=1 /特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E(X)二口，則上式成為Ilim/l-ZX-!V」=1.n inT8VIni=i 7伯努設(shè)口是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，利大p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于數(shù)定任意的正數(shù)￡,有律lim或凹w<』=1.…Un )伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即ru \limP--p>￡=0.nT8Un )這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽設(shè)X1，X2，…，X，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)大數(shù)變量序列，且E(X)二口，則對(duì)于任意的正數(shù)n定律￡有l(wèi)imP1^X-u<e=1.n*Un i )、 i=1 /(2)中心極限定理— b2XTN(曰,——)n列維_林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=孔D(X^)=b2u0(k=1,2,)，則隨機(jī)變量UX—npk七k*b的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有〕￡Xk-沖 ir*limF(x)=limP{ _亍 <x}= Jxe2dt.nTsn ns Vnb 72冗一8[ 1此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗一拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量X為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有=limP!Xn-np<x]=2Jxe-:dt.n* ylnp(1—p) J2?！?

(3)二項(xiàng)定理若當(dāng)NT8時(shí),——tp(n,化不變)，貝JNCM°N-MTCkpk(1-p)n-k (NT8).Cn 〃『N超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理若當(dāng)nT8時(shí),npT人〉0，貝J人kCkpk(1-p)n-kT——e永 (nT8).n k!其中k二0，1,2，…，n，…。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)(或多個(gè))指標(biāo)的全體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品(或個(gè)體)。

樣本我們把從總體中抽取的部分樣品X,X,...,X稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，氣,x2,…,x表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，x1,x2,…,x表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)x,x,…,x為總體的一個(gè)樣本，稱1 2 n甲=甲 （X,X,?…，X）1 2 n為樣本函數(shù)，其中甲為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果甲中不包含任何未知參數(shù)，則稱甲（X,X,…,X）為1 2 n一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值 X=1尤］.i=1樣本方差S2=_i_丈(X-X)2.n—1 ii=1樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S=土W(Xi-X)2.樣本k階原點(diǎn)矩M= xk,k=1,2,?.?.ni=1樣本k階中心矩M'=—^(x—x)k,k=2,3,....ni=1— —b2E(X)=r，D(X)=——，nE(S2)=b2，E(S*2)=n^—1b2,n其中s*2=111(x.-X)2，為二階中心矩。ni=1

(2)正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)x,x,…,x為來自正態(tài)總體N(四q2)的一個(gè)樣1 2 n本，則樣本函數(shù)漕土七?n(0,1).b/Jnt分布設(shè)x,x,…,x為來自正態(tài)總體N(四,b2)的一個(gè)樣1 2 n本，則樣本函數(shù)廖二?t(n-1),s/n'n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。X2分布設(shè)x,x,…,x為來自正態(tài)總體N(四,b2)的一個(gè)樣1 2 n本，則樣本函數(shù)w性(n-1)52?X2(n-1),b2其中X2(n-1)表示自由度為n-1的X2分布。

F分布設(shè)X,X,…,X為來自正態(tài)總體N(四q2)的一個(gè)樣1 2 n 1本，而y,y,…,y為來自正態(tài)總體N(p,b2)的一1 2 n 2個(gè)樣本，則樣本函數(shù)爵S2/b2F虹——?F(n-1,n-1),S2/b2 1 22 2其中S2=—^-力(X-x)2, S2=1矣(y-y)2;1n—1 「 2n—1 「1 i=1 2 i=1F(n-1,n-1)表示第一自由度為n-1，第二自1 2 1由度為n-1的F分布。(3)正X與S2獨(dú)立。態(tài)總體下分布的性質(zhì)第七章參數(shù)估計(jì)(1)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)4,4，…,4，則其分布函數(shù)可以表成f(x;41,42,...,4).它的k階原點(diǎn)矩*=E(Xk)(k=1,2,…,m)中也包含了未知參數(shù)(1)4,4,,4，即v=v(4,4,.?.,4)。又設(shè)x,x,…,x為1 2 m kk1 2 m 1 2 n總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為―^xk(k=1,2,...,m).nii=1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有v⑹,4,...,。八)=L8x,112mnii=1v(b,J,…0)=-￡x2,ni=1v(4,4,…,。八)=1ILxm.ni=1由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)(4,4,0)即為參數(shù)(4,4,...,4)的矩估計(jì)量。1 2 m 1 2 m若#為4的矩估計(jì)，g(x)為連續(xù)函數(shù)，則g(4)為g(4)的矩估計(jì)。

極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(x;0,0,???,。)，其中0,0，…,。為未知參數(shù)。又設(shè)1 2 m 1 2 mx,x，…,x為總體的一個(gè)樣本，稱1 2 nL(0,0,...,0)=Hf(x;0,0,...,0)1 2 m i1 2 mi=1為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為P{X=x}=p(x;0,0,…,0)，則稱L(x,x,…,x;0,0，…,0)=Hp(x;0,0，…,0)1 2 n1 2 m i1 2 mi=1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(x,x,…,x;0,0,...,0)在"0,…#1 2 n1 2 m 12 m處取到最大值，則稱0,0,...,0分別為0,0,...,0的最1 2 m 1 2 m大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。8InL 口?19 n =0,i=1,2,…，m80i。，或若#為。的極大似然估計(jì)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g(0)為g(0)的極大似然估計(jì)。

(2)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè)。二0(七,七,...,x)為未知參數(shù)。的估計(jì)量。若E(0)=0，則稱#為。的無偏估計(jì)量。E(X)=E(X)，E(S2)=D(X)有效性設(shè)0=0(x,x,,...,x)和們=們(x，x，，…，x)是未知參1112 n 2 2 1 2 n數(shù)0的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若D(01)<D(02)，則稱。1比02有效。一致性設(shè)0是0的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)e，都n有l(wèi)im尸(10n-0|>￡)=0,nS則稱0為0的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。n若0為0的無偏估計(jì)，且D(0)r0(nT8),則0為0的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。