全國各地2016年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編(第2期)專題13-二次函數(shù)(含解析)

二次函數(shù)

選擇題

1.(2016?山東省濱州市?3分)拋物線y=2x2-2&x+l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線與

坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù).

【解答】解：拋物線y=2x?-2缶+1,

令x=0,得到y(tǒng)=l,即拋物線與y軸交點(diǎn)為(0,1)；

令y=0,得到2x2-2缶+1=0,即(心-1)2=0,

返返

解得：XI=X2=~T,即拋物線與X軸交點(diǎn)為(一了，0),

則拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是2,

故選C

【點(diǎn)評】此題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線解析式中令一個未知數(shù)為0,求出另一

個未知數(shù)的值，確定出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn).

2.(2016?山東省濱州市?3分)在平面直角坐標(biāo)系中，把一條拋物線先向上平移3個單

位長度，然后繞原點(diǎn)選擇180°得到拋物線y=x、5x+6,則原拋物線的解析式是()

5215115151

A.y=-(x-2),-4B.y=-(x+2)'-4c.y=-(x-2),-4I).y=-(x+2)+4

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】先求出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°的拋物線解析式，求出向下平移3個單位長度的解析式即

可.”

【解答】解：???拋物線的解析式為：y=x、5x+6,

5_1

繞原點(diǎn)選擇180°變?yōu)?y=-X2+5X-6,即y=-(x-2)2+4,

515^1

，向下平移3個單位長度的解析式為y=-(x-2)2+4-3=-(x-2)2-T.

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則

是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2016廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax、bx+c(a#0)和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所

2_

示，則方程ax?+(b-3)x+c=0(a#0)的兩根之和()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)ax?+bx+c=O(a#0)的兩根為Xi,x2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

_2

設(shè)方程ax?+(b-T)x+c=O(a#0)的兩根為a,b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax，bx+c=O(a￥0)的兩根為xrx2,

,由二次函數(shù)的圖象可知Xi+xz>0,a>0,

b_

/?-a>0.

「b—2

2_3b__2_

設(shè)方程ax,+(b-3)x+c=O(a#0)的兩根為a,b,則a+b=-a=-a+3a,

Va>0,

2

3a>0,

a+b>0.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2016貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)丫=@*+6(aWO)與二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a)0)在同一

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax?+bx+c

的圖象相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項(xiàng)錯誤；

b

B、由拋物線可知，a>0,x=-2a>0,得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯誤;

b

C、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確;

b

D、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯誤.

故選C.

5.（2016?福建龍巖?4分）已知拋物線y=ax'+bx+c的圖象如圖所示，則|a-b+c|+|2a+b|=

A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】觀察函數(shù)圖象找出“a>0,c=0,-2a<b<0w,由此即可得出|a-b+c|=a-b,

|2a+b|=2a+b,根據(jù)整式的加減法運(yùn)算即可得出結(jié)論.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

圖象過原點(diǎn)，c=0；

拋物線開口向上，a>0；

拋物線的對稱軸0V-金<1,-2a<b<0.

/.a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,

/.a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.

故選D.

6.（2016?廣西桂林?3分）已知直線y=-、Cx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在拋物

線y=-（x-V3）M上，能使4ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個數(shù)有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰三角形的判定.

【分析】以點(diǎn)B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點(diǎn)C、M、N點(diǎn)，連接AC、BC,由

直線y=-7丐x+3可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的解析式可得出AABC等邊三角形，再

令拋物線解析式中y=0求出拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)該兩點(diǎn)與M、N重合，結(jié)合

圖形分三種情況研究AABP為等腰三角形，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：以點(diǎn)B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點(diǎn)C、M、N點(diǎn)，連接AC、BC,

如圖所示.

令一次函數(shù)y=-VSx+3中x=0,則y=3,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3)；

令一次函數(shù)y=-煦+3中y=0,則-JEx+3,

解得：x=娟，

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(V3,0).

；.AB=2愿.

?..拋物線的對稱軸為

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2巡，3),

；.AC=2仁AB=BC,

.二△ABC為等邊三角形.

令y=-3(x-VS)'+4中y=0,則-3(x-V3)2+4=0,

解得：x=-Vs,或X=3V3.

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-炳，0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(373,0).

△ABP為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)AB=BP時，以B點(diǎn)為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N三點(diǎn)；

②當(dāng)AB=AP時，以A點(diǎn)為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點(diǎn)，；

③當(dāng)AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點(diǎn)；

.??能使4ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個數(shù)有3個.

故選A.

2

7.(2016廣西南寧3分)二次函數(shù)尸ax?+bx+c(a70)和正比例函數(shù)y=3x的圖象如圖所

2_

示，則方程ax%(b-3)x+c=0(aNO)的兩根之和()

jv=a^+bx+c

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)ax?+bx+c=O(a#0)的兩根為x”x2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

_2

設(shè)方程ax?+(b-T)x+c=O(a￥0)的兩根為a,b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax，bx+c=O(a#0)的兩根為xrx2,

;由二次函數(shù)的圖象可知Xi+x2>0,a>0,

_b

-a>0.

2

2_3_b_2_

設(shè)方程ax?+(b-3)x+c=O(a#0)的兩根為a,b,則a+b=-a=-a+3a,

Va>0,

2

3a>0,

a+b>0.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

8.(2016貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a#0)與二次函數(shù)y=ax'+bx+c(a#0)在同一

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax?+bx+c

的圖象相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，aVO,由直線可知，故本選項(xiàng)錯誤；

b

B、由拋物線可知，a>0,x=-2a>0,得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯誤;

b

C、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確；

b

D、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得bVO,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯誤.

故選C.

2_

9.(2016廣西南寧3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)和正比例函數(shù)y=9x的圖象如圖所

2_

示，則方程ax"+(b-3)x+c=O(a￥0)的兩根之和()

A.大于0B.等于0C.小于0D.不能確定

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)ax?+bx+c=O(a#0)的兩根為Xi,x2,由二次函數(shù)的圖象可知xl+x2>0,a>0,

_2

設(shè)方程ax?+(b-T)x+c=O(a#0)的兩根為a,b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)ax，bx+c=O(a￥0)的兩根為xrx2,

,由二次函數(shù)的圖象可知Xi+xz>0,a>0,

b_

/?-a>0.

「b—2

2_3b__2_

設(shè)方程ax,+(b-3)x+c=O(a#0)的兩根為a,b,則a+b=-a=-a+3a,

Va>0,

2

3a>0,

a+b>0.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的

關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2016貴州畢節(jié)3分)一次函數(shù)y=ax+b(a￥0)與二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)在同一

【分析】本題可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax?+bx+c

的圖象相比較看是否一致.

【解答】解：A、由拋物線可知，a<0,由直線可知，故本選項(xiàng)錯誤；

b

B、由拋物線可知，a>0,x=-2a>0,得b<0,由直線可知，a>0,b>0,故本選項(xiàng)錯誤;

b

C、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b<0,故本選項(xiàng)正確;

b

D、由拋物線可知，a<0,x=-2a<0,得b<0,由直線可知，a<0,b>0故本選項(xiàng)錯誤.

故選C.

11.(2016?浙江省紹興市?4分)拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點(diǎn)A(2,6),

且拋物線的對稱軸與線段y=0(1WXW3)有交點(diǎn)，則c的值不可能是()

A.4B.6C.8D.10

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)拋物線y=x?+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對稱軸與

線段y=0(1WXW3)有交點(diǎn)，可以得到c的取值范圍，從而可以解答本題.

【解答】解：I?拋物線y=x4bx+c(其中b,c是常數(shù))過點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對稱軸

與線段y=0(l<x<3)有交點(diǎn)，

'4+2b+c=6

解得6WcW14,

故選A.

12.(2016?湖北隨州?3分)二,次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的部分圖象如圖所示，圖象過

點(diǎn)(-1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)8a+7b+2c

1_工

>0；(4)若點(diǎn)A(-3,y。、點(diǎn)B(-2,y。、點(diǎn)C(2,y3)在該函數(shù)圖象上，則yi<y3

<y2；(5)若方程a(X+1)(X-5)=-3的兩根為XI和X2,且XI<X2,則XI<-1V5〈X2.其

中正確的結(jié)論有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】(1)正確.根據(jù)對稱軸公式計算即可.

(2)錯誤,利用x=-3時,y<0,即可判斷.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),列出方程組求出a、b即可判斷.

(4)錯誤.利用函數(shù)圖象即可判斷.

(5,)正確.利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問題.

b

【解答】解：(1)正確.：-云=2,

.,.4a+b=0.故正確.

(2)錯誤.?；x=-3時,y<0,

9a-3b+c<0,

9a+c<3b,故(2)錯誤.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),

"-b+cRfb="4a

??」25a+5b+c=0解得"二一5a,

8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

Va<0,

；.8a+7b=2c>0,故(3)正確.

1工

(4)錯誤，?點(diǎn)A(-3,y。、點(diǎn)B(-2,y?)、點(diǎn)C(2,y3)>

7_3_1__5

,.-7-2=7,2-(-心=2,

3__5

/.2<2

???點(diǎn)C離對稱軸的距離近，

y3>y2,

Va<0,-3<-2<2,

yi<yz

.".yi<y2<y3,故(4)錯誤.

(5)正確.Va<0,

(x+1)(x-5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故x<-l或x>5,故(5)正確.

.?.正確的有三個，

13.(2016?四川南充)拋物線y=xZ+2x+3的對稱軸是()

A.直線x=lB.直線x=-1C.直線x=-2D.直線x=2

【分析】先把一般式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定拋物線的對稱軸方程.

【解答】解：；y=x2+2x+3=(x+1)、2,

拋物線的對稱軸為直線x=-1.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：對于二次函數(shù)y=ax、bx+c(aWO),它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

b4ac-bb

(-2a,4a),對稱軸為直線x=-2a.

14.（2016?四川瀘州）已知二次函數(shù)y=ax2-bx-2（a^O）的圖象的頂點(diǎn)在

第四象限，且過點(diǎn)（-1,0）,當(dāng)a-b為整數(shù)時，ab的值為（）

3_1_3_1_13.

A.4或1B.4或1C.4或2D.4或4

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】首先根據(jù)題意確定a、b的符號，然后進(jìn)一步確定a的取值范圍，根

據(jù)a-b為整數(shù)確定a、b的值，從而確定答案.

b

【解答】解：依題意知a>0,2a>0,a+b-2=0,

故b>0,且b=2-a,a-b=a-（2-a）-2a-2,

于是0<a<2,

-2<2a-2<2,

又a-b為整數(shù)，

/?2a-2—~It0,19

1_3_

故a=2,1,2,

3.1_

b=2,1,2,

3_

ab=4或1,

故選A.

15.（2016?四川攀枝花）如圖，二次函數(shù)y=ax、bx+c（a>0）圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與

x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1和3,則下列結(jié)論正確的是（）

B.a+b+c>0

C.3a-c=0

D.當(dāng)a=2時，4ABD是等腰直角三角形

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】由于拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1,3,得到對稱軸為直線x=l,

b

則-2a=1,即2a+b=0,得出，選項(xiàng)A錯誤;

當(dāng)x=l時，y<0,得出a+b+cVO,得出選項(xiàng)B錯誤；

當(dāng)x=-l時，y=0,即a-b+c=O,而b=-2a,可得到a與c的關(guān)系，得出選項(xiàng)C錯誤；

1_3_

由a=2,則b=-l,c=-2,對稱軸x=l與x軸的交點(diǎn)為E,先求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，由三角

形邊的關(guān)系得出4ADE和4BDE都為等腰直角三角形，得出選項(xiàng)D正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：???拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1,3,

b

二拋物線的對稱軸為直線x=l,則-W=l,

2a+b=0,

；?選項(xiàng)A錯誤；

，當(dāng)自變量取1時，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，

x=l時，y<0,則a+b+cVO,

，選項(xiàng)B錯誤；

：A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,

?.a-b+c=O,ITnb=-2a,

a+2a+c=0,

3a+c=0,

選項(xiàng)C錯誤；

1__3

當(dāng)a=2,則b=-l,c=-2,對稱軸x=l與x軸的交點(diǎn)為E,如圖，

1__3

拋物線的解析式為y=7x2-x-7,

1_3_

把x=l代入得y^2-l-~2=-2,

；.D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）,

；.AE=2,BE=2,DE=2,

AADE和4BDE都為等腰直角三角形，

/.△ADB為等腰直角三角形，

...選項(xiàng)D正確.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)y=ax、bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a>0,拋物線開口向上;

b

拋物線的對稱軸為直線x=-云；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）.

16.（2016?黑龍江齊齊哈爾-3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aWO）的對稱軸為直線x=l,

與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：

?4ac<b2；

2

②方程ax+bx+c=0的兩個根是X1=-1,X2=3；

③3a+c>0

④當(dāng)y>0時，x的取值范圍是-1WXV3

⑤當(dāng)x<0時，y隨x增大而增大

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與

x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,則可對②進(jìn)行判斷；由對稱軸方程得到b=-2a,然后根據(jù)

x=-1時函數(shù)值為負(fù)數(shù)可得到3a+c<0,則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應(yīng)

的自變量的范圍可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進(jìn)行判斷.

【解答】解：???拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，

.'.b2-4ac>0,所以①正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

而點(diǎn)（-1,0）關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,

，方程ax"+bx+c=0的兩個根是xi=-1,X2=3,所以②正確；

b

Vx=-2a=l,即b=-2a,

而x=-l時，y<0,即a-b+c<0,

.'.a+2a+c<0,所以③錯誤；

:拋物線與x軸的兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,（3,0）,

，當(dāng)-l<x<3時，y>0,所以④錯誤；

?.?拋物線的對稱軸為直線x=l,

...當(dāng)x<l時，y隨x增大而增大，所以⑤正確.

故選B.

17.（2016?湖北黃石?3分）以x為自變量的二次函數(shù)y=x2-2（b-2）x+b2-1的圖象不

經(jīng)過第三象限，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A.b>nB.b2l或bW-lC.be2D.lWbW2

4

【分析】由于二次函數(shù)y=x-2（b-2）x+b2-1的圖象不經(jīng)過第三象限，所以拋物線在x

軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)知道拋物線開口方向向上，

由此可以確定拋物線與x軸有無交點(diǎn)，拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置，由此即可得出關(guān)于b

的不等式組，解不等式組即可求解.

【解答】解：???二次函數(shù)y=x?-2（b-2）x+b'-1的圖象不經(jīng)過第三象限，

.?.拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，

當(dāng)拋物線在x軸的上方時，

;二次項(xiàng)系數(shù)a=l,

.,.拋物線開口方向向上，

Ab2-1>0,A=[2（b-2）]2-4（b2-1）WO,

解得b2”;

4

當(dāng)拋物線在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限時,

設(shè)拋物線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X”X2,

2

.?.XI+X2=2(b-2)NO,b-1^0,

.,.△=[2(b-2)]2-4(b2-1)>0,①

b-2>0,②

b2-l>0,③

由①得b<$,由②得b>2,

4

，此種情況不存在,

4

故選A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會根據(jù)圖象的位置得到關(guān)于

b的不等式組解決問題.

18.(2016?湖北荊門,3分)若二次函數(shù)y=x'+mx的對稱軸是x=3,則關(guān)于x的方程x"+mx=7

的解為()

A.XFO,X2=6B.XFI,X2=7C.XFI,X2=-7D.XF-1,x2=7

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7,

求出x的值即可.

【解答】解：???二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3,

?**-2=3,解得m=-6,

，關(guān)于x的方程x、mx=7可化為x?-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解得Xi=-1,x2=7.

故選D.

19.(2016?青海西寧?3分)如圖，在△ABC中，ZB=90°,tanZC=4,AB=6cm.動點(diǎn)P

從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s

的速度移動.若P，Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時出發(fā)，在運(yùn)動過程中，△PBQ的最大面積是

()

A.18cm2B.12cm2c.9cm2D.3cm2

【考點(diǎn)】解直角三角形；二次函數(shù)的最值.

【分析】先根據(jù)己知求邊長BC,再根據(jù)點(diǎn)P和Q的速度表示BP和BQ的長，設(shè)△PBQ的面積

為S,利用直角三角形的面積公式列關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求最值即可.

3.

【解答】解：VtanZC=4,AB=6cm,

AB_63.

ABC

，BC=8,

由題意得:AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

設(shè)4PBQ的面積為S,

則S=2XBPXBQ=2X2tX(6-t),

S=-t?+6t=-(t2-6t+9-9)=-(t-3)2+9,

P：0WtW6,Q：0WtW4,

.?.當(dāng)t=3時，S有最大值為＜9,

即當(dāng)t=3時,APBQ的最大面積為9cm；

故選C.

20.(2016?陜西?3分)已知拋物線y=-X2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將這條拋物線

的頂點(diǎn)記為C,連接AC、BC,則tan/CAB的值為()

1_返275

A.2B.5C.5D.2

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；銳角三角函數(shù)的定義.

CD

【分析】先求出A、B、C坐標(biāo)，作CDLAB于D,根據(jù)tanNACD=AD即可計算.

【解答】解：令y=0,則-X。-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨設(shè)A(-3,0),B(1,0),

Vy=-x"-2x+3=-(x+1)2+4,

二頂點(diǎn)C(-1,4),

如圖所示,作CD_LAB于D.

在RTAACD中，tanZCAD=AD=2=2,

故答案為D.

21.(2016?四川眉山?3分)若拋物線y=x2-2x+3不動，將平.面直角坐標(biāo)系xOy先沿水

平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應(yīng)變

為()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x?+4

【分析】思想判定出拋物線的平移規(guī)律，根據(jù)左加右減，上加下減的規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：將平面直角坐標(biāo)系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平

移三個單位，這個相當(dāng)于把拋物線向左平移有關(guān)單位，再向下平移3個單位，

y=(x-1)~+2,

...原拋物線圖象的解析式應(yīng)變?yōu)閥=(x-1+1)2+2-3=x2-1,

故答案為C.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的平移和拋物線的平移是

反方向的，記住左加右減，上加下減的規(guī)律，屬于中考常考題型.

填空題

1.(2016?山東省荷澤市?3分)如圖，一段拋物線：y=-x(x-2)(0WxW2)記為C,

它與x軸交于兩點(diǎn)0,A,；將G繞4旋轉(zhuǎn)180。得到C2,交x軸于交；將C2繞Az旋轉(zhuǎn)180°

得到C3,交x軸于As;…如此進(jìn)行下去，直至得到Ce,若點(diǎn)P(11,m)在第6段拋物線Ce

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】規(guī)律型.

【分析】將這段拋物線G通過配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線與x軸的交點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

可以知道C與G的頂點(diǎn)到x軸的距離相等，且0Ai=A也，照此類推可以推導(dǎo)知道點(diǎn)P(11,

m)為拋物線配的頂點(diǎn)，從而得到結(jié)果.

【解答】解：：y=-x(x-2)(0WxW2),

.,.配方可得y=-(x-1)2+1(0WxW2),

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，

；.Ai坐標(biāo)為(2,0)

：心由3旋轉(zhuǎn)得到，

.,.0A1-A1A2,即G頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),A2(4,0)；

照此類推可得，C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1),A3(6,0)；

G頂點(diǎn)坐標(biāo)為(7,-1),A*(8,0)；

G頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1),As(10,0)；

Ce頂點(diǎn)坐標(biāo)為(11,-1),As(12,0)；

m=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

2.(2016?黑龍江哈爾濱?3分)二次函數(shù)y=2(x-3)2-4的最小值為-4.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.

【分析】題中所給的解析式為頂點(diǎn)式，可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出解答.

【解答】解：二次函數(shù)y=2(x-3)2-4的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),

所以最小值為-4.

故答案為：-4.

3.(2016河南)已知A(0,3),B(2,3)是拋物線y=-x?+bx+c上兩點(diǎn)，該拋物線的頂

點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】把A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可得出方程組，求出方程組的解，即可得出解

析式，化成頂點(diǎn)式即可.

【解答】解：：A（0,3）,B（2,3）是拋物線y=-x?+bx+c上兩點(diǎn)，

（c=3

...代入得：t-4+2b+c=3,

解得：b=2,c=3,

y--X2+2X+3

=-（x-1）2+4,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

故答案為：（1,4）.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的應(yīng)用，能求出函數(shù)的

解析式是解此題的關(guān)鍵.

1

4.（2016?四川南充）已知拋物線y=ax?+bx+c開口向上且經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,雙曲線y=五經(jīng)

過點(diǎn)（a,be）,給出下列結(jié)論：①bc>0；②b+c>0；③b,c是關(guān)于x的一元二次方程x2+

1

（a-1）x+京0的兩個實(shí)數(shù)根；④a-b-c23.其中正確結(jié)論是①③（填寫序號）

1

【分析】根據(jù)拋物線y=ax、bx+c開口向上且經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,雙曲線y=2逐過點(diǎn)（a,be）,

可以得到a>0,a、b、c的關(guān)系，然后對a、b、c進(jìn)行討論，從而可以判斷①②③④是否正

確，本題得以解決.

1

【解答】解：：拋物線y=ax?+bx+c開口向上且經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,雙曲線y=5遠(yuǎn)過點(diǎn)（a,be）,

'a>0

a+b+c=l

bc=^

.'.bc>0,故①正確；

時，則b、c均小于0,此時b+eVO,

當(dāng)a=l時，b+c=O,則與題意矛盾，

當(dāng)0<a<l時，則b、c均大于0,此時b+c>0,

故②錯誤；

1

x2+（a-1）x+2a=0可以轉(zhuǎn)化為：x2+（b+c）x+bc=O,得x=b或x=c,故③正確;

1

：b,c是關(guān)于x的一元二次方程x、（a-1）x+2a=0的兩個實(shí)數(shù)根，

a-b-c=a-（b+c）=a+（a-1）-2a-1,

當(dāng)a>l時，2a-1>3,

當(dāng)0<aVl時，-l<2a-l<3,

故④錯誤；

故答案為：①③.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條

件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

5.（2016?四川瀘州）若二次函數(shù)y=2x'-4x-1的圖象與x軸交于A（Xi,0）、

J-J-3.

B（X2,0）兩點(diǎn)，則X1+X2的值為-2.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】設(shè)y=0，則對應(yīng)一元二次方程的解分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，利

11

用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出*1+乂2的值.

【解答】解：

設(shè)y=0,則2x2-4x-1=0,

一元二次方程的解分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即Xi,X2,

e

Xi+X2=-2=2,xi,x2=-2,

11X1+X23

...X“X2=XJX2=_7,

2一.

原式？（一）3

-5,

3_

故答案為：-工.

6.（2016?四川內(nèi)江）二次函數(shù)尸aV+6x+c的圖象如圖11所示，且P=\2a+引+|36

—2c\,12a-b\—|3Z>+2c|,則只0的大小關(guān)系是.

［答案］/>0

［考點(diǎn)］二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。

［解析廠.?拋物線的開口向下，...aVO.：一裊=1,..">0且@=一號.

/.\2a+b\=0,\2a—b\=b—2a.

???拋物線與y軸的正半軸相交，.?.c>0.??.|36+2c|=3b+2c.

由圖象可知當(dāng)x=—1時，y<0,即a—Z?+cVO.

A—1-Z>+c<0,BP3/>-2c>0./.|36-2c|=3b~2c.

P=0+3b—2c=3b—2c>0,

Q=b-2a-（38+2。）=一（6+2。）<0.

：.P>Q.

故答案為：P>Q.

7.（2016?湖北荊州?3分）若函數(shù)y=（a-1）--4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，

則a的值為-1或2或1.

【分析】直接利用拋物線與x軸相交，b2-4ac=0,進(jìn)而解方程得出答案.

【解答】解：???函數(shù)y=（a-1）x「4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，b2-4ac=16-4（a-1）X2a=0,

解得：ar-1,a2=2,

當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，a-1=0,解得：a=l.

故答案為：-1或2或1.

【點(diǎn)評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵.

解答題

1.（2016?湖北隨州?9分）九年級（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在

第x天（1WXW90,且x為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30

元/件，設(shè)該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為P（單位：件），每天的銷售

利潤為w（單位：元）.

時間X（天）1306090

每天銷售量P（件）1981408020

（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結(jié)果.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.

【分析】（1）當(dāng)0WxW50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為丫=1?+卜，由點(diǎn)的坐

標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50<xW90時，

y=90.再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n,套入數(shù)據(jù)利

用待定系數(shù)法即可求出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤=單件利潤X銷售數(shù)量即可得

出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題.當(dāng)0Wx<50時，結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當(dāng)50<xW90時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此

范圍內(nèi)w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結(jié)論；

（3）令w25600,可得出關(guān)于.x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x

的取值范圍，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）當(dāng)0WxW50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為丫=1?+6（k、b

為常數(shù)且k#0）,

：y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0,40）、（50,90）,

fb=40fk=l

..」50k+b=90,解得：lb=40,

售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40；

當(dāng)50<xW90時,y=90.

'x+40（04x450,且x為整數(shù)）

售價y與時間X的函數(shù)關(guān)系式為y=90（50<x<90,且x為整數(shù)）.

由書記可知每天的銷售量p與時間X成一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)每天的銷售量P與時間X的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù)，且mWO),

：p=mx+n過點(diǎn)<60,80)、(30,140),

(60irrl-n=801nF-2

30nH■n=140,解得：ln=200,

.,.p=-2x+200(0Wx<90,且x為整數(shù))，

當(dāng)0WxW50時，w=(y-30)?p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；

當(dāng)50VxW90時,w=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000.

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關(guān)系式是

/-2X2+180X+2000(0<X<50,且x為整數(shù))

W=J-120x+12000(50<x<90,且x為整數(shù)).

(2)當(dāng)0WxW50時，W=-2X2+180X+2000=-2(X-45)2+6050,

：a=-2<0且04W50,

...當(dāng)x=45時，w取最大值，最大值為6050元.

當(dāng)50<x<90時，w=-120x+12000,

Vk=-120<0,w隨x增大而減小，

...當(dāng)x=50時,w取最大值,最大值為6000元.

V60506000,

.?.當(dāng)x=45時，w最大，最大值為6050元.

即銷售第45天時，當(dāng)天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元.

(3)當(dāng)0WxW50時，令w=-2x^+180x+200025600,即-2x?+180x-360020,

解得:30WxW50,

50-30+1=21(天)；

當(dāng)50VxW90時，令w=-120x+1200025600,即-120x+640020,

解得：50Vx<533,

為整數(shù)，

50<xW53,

53-50=3(天).

綜上可知：21+3=24(天)，

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.

2.(2016?湖北隨州?12分)已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(a#0),與x軸從左至右依

次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=-7%x+b與拋物線的另一個交

點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B

2對

出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒3個單位的速

度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中所用時間最少？

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點(diǎn)D的

坐標(biāo)，求出拋物線的解析式；

(2)作PII_Lx軸于II,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),分△BPAsZ\ABC和△PBAs/\ABC,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)計算即可；.

(3)作DM〃x軸交拋物線于M,作DNLx軸于N,作EFLDM于F,根據(jù)正切的定義求出Q

的運(yùn)動時間t=BE+EF時，t最小即可.

【解答】解：(1)Vy=a(x+3)(x-1),

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),

???直線y=-V3x+b經(jīng)過點(diǎn)A,

.\b=-3V3,

當(dāng)x=2時，y=-573,

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-573),

1點(diǎn)D在拋物線上，

.,.a(2+3)(2-1)=-5病，

解得，a=-V3,

則拋物線的解析式為y=-愿(x+3)(x-1)=-VSx2-2心+3J5；

(2)作PHJLx軸于H,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(用，n),

當(dāng)△BPAs/\ABC時，ZBAC=ZPBA,

pcPH

/.tanZBAC=tanZPBA,即0A=HB,

-3af

3二-/1,BPn=-a(m-1),

'n二-a（in-1）

...[n=（m+3）（m-1）,

解得，mi=-4,m2=l（不合題意，舍去），

當(dāng)m=-4時，n=5a,

VABPA^AABC,

ACAB

二AB二PB,即AB?二AC?PB,

449整+9.J25a2+25,

V15V15

解得，ai=-lF（不合題意，舍去），a2=-IT,

V15

則n=5a=-3,

逗

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,-3）；

當(dāng)△PBAs/XABC時，ZCBA=ZPBA,

OCPH

.,?tanZCBA=tanZPBA,即OB=HB,

-3a-n

1=-nri_1,即n=-3a（m-1）,

n=-3a（m-1）

n=a（nrl-3）（m-1）,

解得，nii=-6,m2=l（不合題意，舍去），

當(dāng)m=-6時，n=21a,

VAPBA^-AABC,

BCAB

,BA=PB,即AB'BOPB,

42Wl+9a2-772+（-21a）2,

VrVI

解得，a,=7（不合題意，舍去），a2=-

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6,-7）,

V15V7

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,--）和（-6,-〒）；

（3）作DM〃x軸交拋物線于M,作DN_Lx軸于N,作EF_LDM于F,

DN訴

則tanNDAN=AN=5

ZDAN=60°,

，NEDF=60°，

EF273

；.DE=sinNEDF=3EF,

DE

BE2M

，Q的運(yùn)動時間t=1+3=BE+EF,

...當(dāng)BE和EF共線時,t最小，

則BE_LDM,y=-473.

3.(2016?湖北武漢?10分)某公司計劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年

產(chǎn)銷xd牛.已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表：

產(chǎn)品每件售價(萬元)每件成本(萬元)每年其他費(fèi)用(萬元)每年最大產(chǎn)銷量(件)

甲6a20200

乙201040+0.05x80

其中a為常數(shù)，且3Wa<5.

(1)若產(chǎn)銷甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為％萬元、%萬元，直接寫出必、及與”的函

數(shù)關(guān)系式；

(2)分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤；

(3)為獲得最大年利潤，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請說明理由.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用

【答案】(1)%=(6-a)『20(0VxW200),斤-0.051+10尸40(0<xW80)；(2)產(chǎn)銷甲

種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤為440萬元；(3)當(dāng)

3Wa<3.7時，選擇甲產(chǎn)品；當(dāng)，3.7時，選擇甲乙產(chǎn)品