圓的知識(shí)點(diǎn)概念公式大全

圓的知識(shí)點(diǎn)概念公式大全圓的知識(shí)點(diǎn)概念公式大全/NUMPAGES16圓的知識(shí)點(diǎn)概念公式大全圓的知識(shí)點(diǎn)概念公式大全圓的知識(shí)點(diǎn)概念公式大全一．圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線(xiàn)段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．2．圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形．3．確定圓的條件：⑴圓心；⑵半徑，其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大?。瑘A、同心圓、等圓1．圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2．圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3．半徑相等的圓叫做等圓．三．弦和弧1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦．經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧．以為端點(diǎn)的弧記作，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。?．圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．四．與圓有關(guān)的角及相關(guān)定理1．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，我們也稱(chēng)這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．2．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等．推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）3．頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊與圓相交的角叫圓內(nèi)角．圓內(nèi)角定理：圓內(nèi)角的度數(shù)等于圓內(nèi)角所對(duì)的兩條弧的度數(shù)和的一半．4．頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫圓外角．圓外角定理：圓外角的度數(shù)等于圓外角所對(duì)的長(zhǎng)弧的度數(shù)與短弧的度數(shù)的差的一半．5．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角．6．如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．7．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．五．垂徑定理1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．其它正確結(jié)論：⑴弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．⑶圓的兩條平行弦所夾的弧相等．3．知二推三：⑴直徑或半徑；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分優(yōu)?。陨衔鍌€(gè)條件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸時(shí)，要注意平分的弦非直徑．4．常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法：⑴過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造，用勾股，求長(zhǎng)度；⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．相關(guān)題目：1．平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓上的最大距離是6，最小距離是2，求該圓的半徑2．（08郴州）已知在中，半徑，是兩條平行弦，且，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)_________．解：．六．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置有三種：⑴點(diǎn)在圓外；⑵點(diǎn)在圓上；⑶點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的內(nèi)部.2．過(guò)已知點(diǎn)作圓⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)．⑵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓：以線(xiàn)段中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè)．⑶過(guò)三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，圓心是線(xiàn)段與的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．⑷過(guò)個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作個(gè)或個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線(xiàn)三點(diǎn)確定的圓的圓心．3．定理：不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴“不在同一直線(xiàn)上”這個(gè)條件不可忽視，換句話(huà)說(shuō)，在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)不能作圓；⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圓⑴經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.五．直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線(xiàn)與相離相切直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)，直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線(xiàn)與相切相交直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)直線(xiàn)與相交從另一個(gè)角度，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱(chēng)交點(diǎn)切點(diǎn)—直線(xiàn)名稱(chēng)割線(xiàn)切線(xiàn)—四．切線(xiàn)的性質(zhì)及判定1.切線(xiàn)的性質(zhì)：定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．2.切線(xiàn)的判定定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；距離法：和圓心距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．3.切線(xiàn)長(zhǎng)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理：⑴在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)．⑵從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角．五．三角形內(nèi)切圓1.定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．2.多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，該多邊形叫做圓的外切多邊形．六．圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定設(shè)的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．兩圓內(nèi)含說(shuō)明：圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類(lèi)：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．七．正多邊形與圓1.正多邊形的定義：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．2.正多邊形的相關(guān)概念：⑴正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．⑵正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．⑶正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．⑷正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．3.正多邊形的性質(zhì)：⑴正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個(gè)全等的直角三角形；⑵正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖