小升初 幾何專項(xiàng)

小升初幾何專項(xiàng)小升初幾何專項(xiàng)/NUMPAGES92小升初幾何專項(xiàng)小升初幾何專項(xiàng)小升初幾何專題幾何（一）平面圖形知識地圖基礎(chǔ)知識小學(xué)奧數(shù)的平面幾何問題，是以等積變形為主導(dǎo)思想，結(jié)合五大模型的變化應(yīng)用，交織而成。攻克奧數(shù)平面幾何，一定要從等積變形開始。1、等積變形。等積變形，它的特點(diǎn)是利用面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，面積相等的兩個(gè)圖形我們就稱之為等積形。我們所研究的等積變形，更多的是三角形的等積變形，三角形等積變形的中心思想是等底等高，因?yàn)槿切蔚拿娣e=底×高÷2，所以說等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。另外，等底等高的平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積也相等。在實(shí)際中，我們經(jīng)常用到的與等積變形相關(guān)的性質(zhì)主要有以下幾點(diǎn)：﹙1﹚直線平行于，可知；反之，如果，則可知直線平行于。（因?yàn)槠叫芯€間的距離是處處相等的哦！，聰明的你想到了嗎？）﹙2﹚兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；特別地，我們有等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積。平行四邊形的對角線平分它的面積﹙3﹚共邊定理：若△和△的公共邊所在直線與直線交于，則；﹙4﹚共角定理：在△和△中，若或，則。﹙5﹚過矩形內(nèi)部的一點(diǎn)引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個(gè)小矩形，其面積滿足：。﹙6﹚E為矩形ABCD內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則；當(dāng)E落在矩形的某條邊上時(shí)，也成立。特別地，（5）（6）兩條性質(zhì)對于平行四邊形同樣成立。2、五大模型。我們把學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的問題歸納為五個(gè)基本的模型，總的來說，這五個(gè)基本模型都是用來解決三角形邊與面積之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的問題。讓我們一起來感受一下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相應(yīng)面積與底成正比關(guān)系： 即：兩個(gè)三角形高相等，面積之比等于對應(yīng)底邊之比?；颍簝蓚€(gè)三角形底相等，面積之比等于對應(yīng)的高之比。S1︰S2=a︰b；拓展：等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”） 如圖，三角形AED占三角形ABC面積的×=鳥頭定理是對模型一的一個(gè)拓展，有興趣的話，你可以試著證明一下哦！模型二：任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。構(gòu)造模型，一方面我們可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系，另一方面，我們也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。模型三：梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab；③S的對應(yīng)份數(shù)為（a+b）2梯形蝴蝶定理，給我們提供了解決梯形面積與上下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道。構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性質(zhì)__h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A_S1_S2①；②S1︰S2=a2︰A2所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形，（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變他們都相似），與相似三角形相關(guān)，常用的性質(zhì)及定理如下：﹙1﹚相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。﹙2﹚相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于它們的相似比。﹙3﹚相似三角形周長的比等于它們的相似比。﹙4﹚相似三角形面積的比等于它們相似比的平方。

﹙5﹚特別的，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段我們叫做三角形的中位線。關(guān)于三角形的中位線我們有這樣一個(gè)結(jié)論：三角形中位線定理：三角形的中位線長等于他所對應(yīng)的底邊長的一半。對于梯形，我們也有類似的結(jié)論。連接梯形兩腰得到的線段我們叫做梯形的中位線。梯形的中位線長等于它上下底邊之和的一半。﹙6﹚那么如何判斷三角形是不是相似呢？我們一般有三種方法：a：三個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似，（事實(shí)上只要有兩個(gè)角相等就可以了）。

b：有兩邊對應(yīng)成比例且其兩條邊的夾角相等的三角形相似。

c：三邊分別對應(yīng)成比例的三角形相似。注意：在小學(xué)奧數(shù)里，最多出現(xiàn)的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)相似三角形，如模型四。相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△EGC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△FGC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；燕尾定理因?yàn)閳D形類似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑。3、計(jì)算過程中連接輔助線的四個(gè)原則。幾何作為數(shù)形結(jié)合的學(xué)科，圖形的運(yùn)用往往在解題過程中起到至關(guān)重要的作用。在小學(xué)階段的平面幾何學(xué)習(xí)中，我們在運(yùn)用圖形連接輔助線時(shí)一般遵循以下四個(gè)原則：把四邊形或者多邊形變?yōu)槿切?，例如：連接等分點(diǎn)，例如：構(gòu)造模型，例如：﹙4﹚做高線，構(gòu)造直角三角形三、經(jīng)典透析【例1】（☆☆☆）如下左圖。將三角形ABC的BA邊延長1倍到D，CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是_____。審題要點(diǎn)：題目中給出的已知條件都是邊的倍比關(guān)系，其余的條件中只有一個(gè)三角形ABC的面積是已知，要想辦法使已知條件能夠相互關(guān)聯(lián)，使邊的倍比關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為面積之比，可以選擇模型一應(yīng)用。詳解過程：解：連結(jié)AE、BF、CD（如上右圖）由EB=2BC，得S△ABE=2。同理可得S△AED=2S△BEF=2×S△CBF=6。S△CFD=3×S△ACD=3。所以S△DEF=1+2+3+1+2+6+3=18。專家點(diǎn)評：這是北京市第一屆“迎春杯”刊賽第32題，非常經(jīng)典。解題過程中通過連接AE、BF、CD，使題目中所給的邊的倍比關(guān)系可以構(gòu)造模型一相互關(guān)聯(lián)，再通過共高三角形面積與相應(yīng)底邊之間的對應(yīng)比例關(guān)系求解。【例2】（☆☆☆）設(shè)，，，如果三角形的面積為19平方厘米，那么三角形的面積是_________平方厘米。審題要點(diǎn)：和【例1】類似，題目已知條件中邊的倍比關(guān)系比較多，可以考慮應(yīng)用模型一。解：S△ABC=(++)S△ABC+19∴專家點(diǎn)評：這是2004年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克A卷的，其實(shí)競賽題不一定都是很難，尤其是平面幾何部分，但他們十之八九都是很巧妙的，拿這道題來說，圖形長得很普通，而題目當(dāng)中又給了那么多的倍比關(guān)系，那我們是不是可以考慮構(gòu)造模型一呢？整體看，，除了，其余三個(gè)我們可以直接用“鳥頭定理”。鳥頭定理也是本題的一個(gè)中心考點(diǎn)?！纠?】（☆☆☆）四邊形的對角線與交于點(diǎn)（如圖）所示。如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長度是的長度的_________倍。審題要點(diǎn)：在本題中四邊形ABCD為任意四邊形，且出現(xiàn)S△ABD：S△BCD=1：3。聯(lián)想模型二蝴蝶定理結(jié)論。詳解過程：解法一：∴∴解法二：∵∴∴∴∴∴專家點(diǎn)評：本題是2003北京市第十九屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽的試題。在本題中，三角形和三角形的面積之比如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。方法一直接應(yīng)用模型二蝴蝶定理的結(jié)論，而我們也可以不應(yīng)用蝴蝶定理，那么觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，我們需要一個(gè)中介，于是做垂直于H，于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用模型一的結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出AO=CO?！纠?】：（☆☆☆☆）如下圖所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，三角形ABC的面積等于1，那么四邊形AFHG的面積是__________。審題要點(diǎn)：四邊形AFHG的面積可以看作是三角形ABC的面積減去三角形BEC的面積再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積得到的。如何把三角形邊的倍比關(guān)系和要求的面積相聯(lián)系，是這道題的重點(diǎn)問題。詳解過程：以下各圖為了強(qiáng)調(diào)相關(guān)部分，暫去掉另外線條。解：如下圖所示，我們分別求出BFH、AGE的面積問題也就解決。如上圖，我們設(shè)BFH＝x，則AFH＝3x；設(shè)AHE＝y(tǒng)，則CEH＝2y；于是有ABE＝4x+y＝ACF＝3y+3x＝有，則9x＝，所以x＝；如下圖，我們設(shè)AEG＝a，則CEG＝2a；設(shè)CDG＝b，則BDG＝4b；于是有ACD＝3a+b＝BCE＝2a+5b＝有，則13a＝，所以a＝；這樣，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝－－＝。專家點(diǎn)評：求四邊形，可由三角形的面積減去三角形的面積，再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積。而三角形的面積可從三角形面積與底邊的比例關(guān)系得到，于是問題轉(zhuǎn)化為如何求及。與可由二元一次方程組分別解得。解法二：BH：HE=S△BFC：S△EFC=︰（×）=1︰2所以S△BFH=S△ABE×（×）=×（×）=同理：AG︰GD=S△ABE︰S△BDE=︰（×）=5︰8所以，S△AGE=S△ADC×（×）=×（×）=AG︰AD=5︰（5+8）=5︰13所以，S四邊形AFHG＝S△ABE－S△BFH－S△AEG＝－－=專家點(diǎn)評：本題解法二應(yīng)用的考點(diǎn)比較多，基本解題思路和解法一差不多，都是由S△FHG=S△ABE-S△BFH-S△AEG得出，而解法二首先應(yīng)用蝴蝶定理，先求線段BH與HE的比例關(guān)系，再利用鳥頭定理解出及，最后求出S四邊形AFHG。比解法一略顯簡潔，而且計(jì)算上也比較方便。注意考點(diǎn)：鳥頭定理和蝴蝶定理的應(yīng)用【例5】（☆☆☆）設(shè)正方形的面積為1，下圖中E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，GC=FC。求陰影部分面積。審題要點(diǎn)：陰影部分為三角形，知道底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可解出面積。解：作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I根據(jù)相似三角形定理CG︰CF=CI︰CH=1︰3又∵CH=HB∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=（6-1）︰6=5︰6S△BGE=××=。專家點(diǎn)評：本題考查模型四，利用三角形相似的性質(zhì)，求出三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系及長度，從而確定陰影部分的面積。【例6】（☆☆☆☆）ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為＿＿平方厘米。審題要點(diǎn)：題目中出現(xiàn)E、F分別為邊的中點(diǎn)，可以考慮應(yīng)用中位線定理。解：設(shè)G、H分別為AD、DC的中點(diǎn)，連接GH、EF、BD。可得S△AED=S平行四邊形ABCD對角線BD被EF、AC、GH平均分成四段，DO︰ED=BD︰BD=2︰3OE︰ED=（ED-OD）︰ED=（3-2）︰3=1︰3所以S△AE0=×S平行四邊形ABCD=××72=6S△ADO=2×S△AEO=12。同理可得S△CFM=6，S△CDM=12。所以S△ABC-S△AEO-S△CFM=24于是陰影部分的面積=24+12+12=48專家點(diǎn)評：這道題是2000年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽A卷中的一道題。連接EF，BD，根據(jù)模型4以及三角形的中位線定理，判斷出O，M分別是其所在線段的三等分點(diǎn)，由此求出S△AEO及S△CFM，最后得出陰影部分的面積。注意：本題應(yīng)用了三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì)?！纠?】（☆☆☆）如圖，矩形ABCD被分成9個(gè)小矩形，其中5個(gè)小矩形的面積如圖所示，矩形ABCD的面積為＿＿。審題要點(diǎn)：矩形被分割成9個(gè)小矩形，馬上可以聯(lián)想到矩形等積變形的兩個(gè)重要結(jié)論。解：矩形PFMD中，矩形OHND的面積等于2×4÷3=8/3矩形ABCD中，矩形IBLH的面積等于（1+2）×（16+4）÷（8/3）=45/2所以矩形ABCD的面積=1+2+4+16+（8/3）+（45/2）=289/6專家點(diǎn)評：本題是南京市第三屆興趣杯的原題，難度不大，主要是考察對矩形等積變形兩個(gè)重要結(jié)論之一：“過矩形內(nèi)部的一點(diǎn)引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個(gè)小矩形，其面積滿足：?！钡膽?yīng)用。先求出矩形OHND的面積，再求出矩形IBLA的面積，而矩形ABCD的面積由矩形OHND和矩形IBLA以及題目中所給的其他4個(gè)已知矩形的面積和求得。讀者可以自行通過求各邊比例方法進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)一步加深對定理的理解。【例8】（☆☆☆）如圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，且CD=2AB，點(diǎn)E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)，已知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是平方厘米。審題要點(diǎn)：陰影部分的面積可以分解為兩個(gè)三角形的面積之和，而E、F又是梯形兩腰的中點(diǎn)，連接EF，對上下兩個(gè)梯形分別應(yīng)用蝴蝶定理。解法一：如圖，設(shè)上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，連接EF，則EF=（a+2a）=a；所以AB︰EF=a︰a=2︰3，EF︰DC=a︰2a=3︰4；所以 h1=×h=h； h2=×h=h；陰影部分=S△EFM+S△EFN=×a×h+×a×h=ah即ah=54，ah=140梯形ABCD的面積=×（1+2）ah=ah=×140=210（平方厘米）專家點(diǎn)評：陰影部分可以看為兩個(gè)同底三角形的面積之和，根據(jù)梯形的面積公式，求出兩個(gè)三角形的高和底，進(jìn)一步求出梯形面積，思考方法很簡單，但要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性。解法二：如圖，設(shè)上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，連接EF，則EF=（a+2a）=a；所以AB︰EF=a︰a=2︰3，EF︰DC=a︰2a=3︰4；所以 h1=×h=h； h1=×h=h；所以S△EFM︰S△EFN=h1︰h1=h︰h=7︰5根據(jù)梯形中的面積關(guān)系，得下圖。因?yàn)?x︰9y=x︰y=7︰5且x+y=54÷9=6（平方厘米）所以x=6×=3.5（平方厘米），y=6-3.5=2.5（平方厘米）；所以梯形ABCD的面積=3.5×25+2.5×49=210（平方厘米）。專家點(diǎn)評：連接EF以后，我們也可以把它看成是兩個(gè)梯形疊放在在一起，應(yīng)用模型三梯形蝴蝶定理，可以確定各個(gè)小的三角形之中的比例關(guān)系，應(yīng)用比例即可求出梯形ABCD面積。注意：應(yīng)用梯形蝴蝶定理時(shí)注意比的運(yùn)算。【例9】（☆☆☆）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。求陰影面積與空白面積的比。審題要點(diǎn)：題目中陰影部分不規(guī)則，但是有邊的倍比關(guān)系，BE=EC，CF=2FD可以考慮將邊的倍比關(guān)系轉(zhuǎn)化為為面積之間的關(guān)系。解法：連接CG，CH，AC交BD于O，設(shè)S△BEG=a，根據(jù)燕尾定理S△BEG=S△EGC=S△ABG=S△AGCS△DHF=S△CFH=S△AHD=S△ACH又因?yàn)镾△AGC=S△ACH所以S△BEG=3S△DHFS△AGO=S△CGO=S△ABGS△AOH=S△HOC=S△AHD所以S□ABCD=4S△ABO=4×（a+2a）=12a陰影面積：S△BEG+S△AGH+S△DFH=a+2.5a+0.5a=4a空白面積：12a-4a=8a所以陰影面積與空白面積的比4a︰8a=1︰2另解：設(shè)S△BEG=a，則S△ECG=S△GCO=S△AGO=a,S△ABG=2a設(shè)S△HFD=b,則S△HFC=2b,設(shè)S△HCO=x,則S△AHO=S△HCO=x==專家點(diǎn)評：連接CG，CA，CH，構(gòu)造模型五，應(yīng)用燕尾定理，分別求出三個(gè)陰影三角形面積，再求出平行四邊形ABCD的面積，用四邊形面積減去三個(gè)陰影三角形面積即為空白面積。亦可得到陰影面積與空白部分的面積之比。注意：本題考點(diǎn)：燕尾定理的應(yīng)用。拓展訓(xùn)練：1、（寧波小學(xué)數(shù)學(xué)競賽1999），如圖所示，已知三角形中，，，，連結(jié)、BZ和，三條線段分別交于，，。若（面積是1平方米，那么陰影的面積是多少平方米？初級提示：連接AM2，BM3，CM1。深度點(diǎn)撥：設(shè)、的面積分別為，，，分別解出，，全解過程：連結(jié)，，。設(shè)、、的面積分別為，，，得所以有同理有AEB=+=+4==+=3+3=∴陰影部分面積為2、如圖，四邊形的面積是66平方米，，，，，求四邊形的面積。初級提示：連接DB、AC，構(gòu)造模型一。深度點(diǎn)撥：找出四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積關(guān)系。全解過程：連接。設(shè)∵，∴，又∵，∴，同理，∴連接AC，同理∴，（平方米）。3、如圖，在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，且△BOE的面積比△AOD的面積小10平方厘米。梯形ABCD的面積是平方厘米。初級提示：應(yīng)用模型一求出三角形ABD的面積深度點(diǎn)撥：求出三角形BCD的面積全解過程：AD︰BE︰EC=8︰6︰9， -=-=10， =10，=40。 4、如圖，在一個(gè)邊長為6正方形中，放入一個(gè)邊長為2的正方形，保持與原長正形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為。 初級提示：將小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別與大正方形的四個(gè)頂點(diǎn)連接深度點(diǎn)撥：應(yīng)用梯形蝴蝶定理求出空白部分面積全解過程：解法一：設(shè)任意一個(gè)梯形（如圖），上底為a，下底為b，則陰影部分的面積可以表示為S1、S2、S3的和，而S3︰S4=S1︰S2=（S1+S3）︰（S2+S4）=a︰b，同理S1︰S3=S2︰S4=a︰b，所以：S1︰S2︰S3︰S4=a2︰ab︰ab︰b2，所以陰影部分的面積等于。連接兩個(gè)正方形的對應(yīng)頂點(diǎn)，則可以得到四個(gè)梯形，運(yùn)用這條結(jié)論，每個(gè)梯形中陰影部分的面積都占到了，所以陰影部分面積是兩個(gè)正方形之間的面積的，陰影部分的面積為，解法二：取特殊值，使得兩個(gè)正方形中心相重合，由上右圖可知，A、B、C、D均為相鄰兩格點(diǎn)的中點(diǎn)，則圖中四個(gè)空白處的三角形的高為1.5，因此空白處的總面積為，陰影部分的面積是。5、如圖所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面積分別是2、3、4，問四邊形ADFE的面積是多少？初級提示：連接AF，構(gòu)造模型一深度點(diǎn)撥：應(yīng)用三角形面積之比等于底邊之比求出三角形AFD和三角形AFE的面積全解過程：設(shè)S△AFD=a，S△AFE=b2a=3+b4b=3（2+a）a=b=S四邊形ADFE=a+b=6、如圖，在△ABC中，延長BD=AB，CE=BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積是2，則△DEF的面積是多少？初級提示：連接CD，構(gòu)造模型一深度點(diǎn)撥：S△DCF=S△DCA=2S△FCE=S△BCF=S△DEC=S△DCB=1全解過程：解法一：S△DCF=S△DCA=2S△FCE=S△BCF=S△DEC=S△DCB=1S△DEF=S△DCF+S△FCE+S△DEC=解法二：本題還可以用共角定理“當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長度的乘積比”?！咴凇鰽BC和△CFE中，∠ACB與∠FCE互補(bǔ)，∴又；∴同理可得：∴7.如圖，長方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。初級提示：三角形AHB和三角形DHF相似深度點(diǎn)撥：作OE垂直AD，交AF于O全解過程：根據(jù)三角形相似的性質(zhì)AB︰DF=AH︰HF=5︰3又因?yàn)镋為AD中點(diǎn)OE︰DF=1︰2所以AB︰OE=10︰3AG︰GO=10︰3所以AG=AO=8.在邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；求四邊形ABGD的面積。初級提示：連接EF、BD深度點(diǎn)撥：應(yīng)用梯形蝴蝶定理全解過程：等腰梯形四部分面積比為1︰3︰3︰9所以等腰梯形的面積=所以得9、如圖，正方形ABCD面積為1，M是AD邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。初級提示：構(gòu)造梯形蝴蝶定理。深度點(diǎn)撥：S△AMG：S△AGB：S△MCG：S△GCB=1︰2︰2︰4全解過程：∵梯形AMCB中各個(gè)三角形面積比1︰2︰2︰4∴陰影面積占梯形面積（2+2）/（1+2+2+4）=∴本題還可有其他解法（如下）解法二：連結(jié)、，設(shè)與交于，?！摺嘤帧摺?=x∴∴得，又，所以，?！唷＝夥ㄈ鹤鰟t，，，連接∵∴又∵∴∴解法四：∵與等底等高∴∴作，設(shè)∴解法五：∵∴∴∵∴==∴+=+=10：（07年仁華學(xué)校試題）已知四邊形ABCD，CHFG為正方形，S甲︰S乙=1︰8，a與b是兩個(gè)正方形的邊長，求a︰b=？初級提示：連接EO，AF，應(yīng)用燕尾定理。深度點(diǎn)撥：做OM⊥AE，ON⊥EF，全解過程：如圖，根據(jù)燕尾定理：S△AOF︰S△AOE=b︰a（1）， S△AOF︰S△FOE=a︰b（2）所以S△AOE︰S△FOE=a2︰b2 作OM⊥AE，ON⊥EF， ∵AE=EF， ∴OM︰ON=a2︰b2 ∴S△AOD︰S△HOF=a3︰b3=1︰8∴a︰b=1︰2

幾何（二）曲線圖形知識地圖基礎(chǔ)知識小學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了一些簡單的幾何圖形，充分掌握這些圖形的性質(zhì)特點(diǎn)及周長和面積的計(jì)算方法是我們解決奧數(shù)平面幾何問題的重要前提。﹙1﹚組合圖形的面積在求解組合圖形的面積時(shí)，中心思想只有一個(gè)：把不規(guī)則的變?yōu)橐?guī)則的，把不可求的變?yōu)榭梢郧蟮模巡皇煜さ淖優(yōu)槲覀兪煜さ?。在小學(xué)奧數(shù)的幾何問題中，這個(gè)思想不單單可以在求組合圖形面積的時(shí)候應(yīng)用，求解立體圖形的表面積和體積問題時(shí)候一樣也是解決問題的法寶，甚至可以說是全部小學(xué)奧數(shù)幾何問題的思想精髓。在求解組合圖形的面積時(shí)，我們通常可以通過以下思考方法把圖形轉(zhuǎn)化我們所熟知的圖形。加減法把要求的圖形轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形相加或者相減的形式，這種解決圖形補(bǔ)問題的方法，稱為加減法。割補(bǔ)法把要求的圖形通過切割再拼補(bǔ)成規(guī)則圖形，這種方法稱為割補(bǔ)法。旋轉(zhuǎn)平移法。圖形的一部分通過旋轉(zhuǎn)或者平移，正好可以和圖形的其他部分拼成規(guī)則圖形，這種方法稱為旋轉(zhuǎn)平移法。重疊法要求的組合圖形可以看作是幾個(gè)規(guī)則圖形的重疊部分，可以應(yīng)用容斥原理求得圖形的面積，這種方法稱為重疊法。比例法把要求的圖形分成幾個(gè)部分，通過尋找各個(gè)部分之間的比例關(guān)系求解的方法稱為比例法。﹙2﹚圖形旋轉(zhuǎn)的問題在這里，我們主要研究的是平面圖形在平面旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的問題。一般情況下，我們所能遇到的有以下兩種問題：1、求圖形一邊掃過的面積在遇到這類問題時(shí)，我們只要先找到要求的是哪條邊掃過的面積，再看這條邊是以哪個(gè)點(diǎn)為圓心運(yùn)動(dòng)，首先你讓這條邊以這個(gè)點(diǎn)為圓心按照題目的要求轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)停止后，這條邊旋轉(zhuǎn)所得的面積就是你要求的圖形一邊掃過的面積。2、求圖形掃過的面積在求圖形一邊掃過的面積的基礎(chǔ)之上，要注意，圖形中最長處旋轉(zhuǎn)時(shí)所成圖形，我們在旋轉(zhuǎn)的圖形一邊停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，在相應(yīng)的位置補(bǔ)上圖形的其他部分就可以很容易的找到整個(gè)圖形掃過的部分。﹙3﹚幾個(gè)特殊問題1、活動(dòng)范圍的問題讓我們先來看看下面幾個(gè)問題：A、假設(shè)茫茫的草原上有一個(gè)木樁，樁子上用一根30米的繩子栓著一只羊，問羊能吃到的草的面積是多大？B、草場的主人因?yàn)闃I(yè)務(wù)發(fā)展，準(zhǔn)備建羊圈，但是因?yàn)橘Y金短缺，所以只先建了一道墻，于是把羊還是用30米的繩子栓在了墻角邊，問羊這個(gè)時(shí)候能吃到草的面積是多大？C、羊圈建成了，羊在平時(shí)被栓在羊圈的西北角，羊圈長20米，寬10米，問羊這個(gè)時(shí)候能吃到的草的面積是多大？你注意到了嗎？栓著羊的繩子在碰到墻拐角的地方運(yùn)動(dòng)的圓心在變化，羊所能吃到草的范圍活動(dòng)的半徑也在跟著變化。那么，我們說看變化，找規(guī)律，是解決羊吃草一類問題重要思想。另外，數(shù)學(xué)源自生活，通過想象生活中的情景，比照數(shù)學(xué)題，尋找變化的規(guī)律也是一種不錯(cuò)的方法。2、滾硬幣的問題請你一起動(dòng)手來做一做：把兩個(gè)一角錢的硬幣挨放在一起，固定其中一個(gè)，把另一個(gè)延著其周圍滾動(dòng)。當(dāng)滾動(dòng)回到硬幣原來的位置時(shí)，想一想滾動(dòng)的那個(gè)硬幣它自己自轉(zhuǎn)了多少周？注意觀察，滾動(dòng)的硬幣繞著不動(dòng)的硬幣走一周的距離實(shí)際上是以兩個(gè)硬幣的半徑為半徑的一個(gè)圓周長，而硬幣自轉(zhuǎn)的周長是以自身為半徑，前者是后者的幾倍，即是硬幣自轉(zhuǎn)了幾周。這也是一切硬幣滾動(dòng)類問題的特點(diǎn)。常見的還有齒輪，滑輪等。經(jīng)典回顧【例1】（☆☆☆）圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn)。已知正方形的邊長為10，那么陰影部分面積是多少？（π取3.14。）審題要點(diǎn)：整個(gè)圖形由正方形和半圓組成。P為中點(diǎn)，則PD=PC，要求陰影部分的面積，可以考慮我們前面講的幾種方法。解法一：陰影面積=整個(gè)面積-空白面積=（正方形ABCD+半圓）—（三角形+梯形）=（10×10+π×5×5÷2）-[15×5÷2+（5+15）×5÷2]=51.75專家點(diǎn)評：陰影面積的“加減法”。因?yàn)殛幱安糠置娣e不是正規(guī)圖形，所以通過整個(gè)面積減去空白部分面積來求解。過P點(diǎn)向AB作垂線，這樣空白部分面積分成上面的三角形和下面的梯形。解法二：S1=小正方形-圓=5×5-×π×5×5上面陰影面積=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5+×π×5×5下面陰影面積=三角形QPF-S2=10×5÷2-（5×5-×π×5×5）所以陰影面積=（15×5÷2-5×5+×π×5×5）+（10×5÷2-5×5+×π×5×5）=51.75專家點(diǎn)評：面積的“加減法”和“切割法”綜合運(yùn)用，思路出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時(shí)，注意兩個(gè)考點(diǎn)：1.半葉形2、圓，所以我們可以先把面積補(bǔ)上再減去補(bǔ)上的面積。解法三：半葉形S1=圓-小正方形=×π×5×5-×5×5上面陰影面積=三角形ADP+S1=10×5÷2+×π×5×5-×5×5下面陰影面積=三角形QPC+S2=5×5÷2+×π×5×5-×5×5陰影面積=（10×5÷2+×π×5×5-×5×5）+（5×5÷2+×π×5×5-×5×5）=51.75專家點(diǎn)評：面積的“切割法”出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時(shí)，注意兩個(gè)考點(diǎn)：1.半葉形2.圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾個(gè)我們會算的規(guī)則圖形。這道題是迎春杯真題。【例2】（☆☆☆）如圖，ABCG是4×7的長方形，DEFG是2×10的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？審題要點(diǎn)：要求兩個(gè)三角形的面積之差，題目沒有給出可以直接求出兩個(gè)三角形面積的條件，那么我們只能考慮應(yīng)用差不變原理。解法一：GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2陰影BCM面積-陰影MDE面積=（BCM面積+空白面積）-（MDE面積+空白面積）=三角形BHE面積-長方形CDEH面積=3×6÷2-3×2=3。專家點(diǎn)評：加減思想的應(yīng)用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本題的解題關(guān)鍵。公共部分要與兩個(gè)三角形都可以構(gòu)成規(guī)則可求的圖形才可以。解法二：GC=7，GD=10知道CD=3；BC=4，DE=2知道BC︰DE=CM︰DM所以CM=2，MD=1。陰影面積差為：4×2÷2-1×2÷2=3專家點(diǎn)評：畫陰影的兩個(gè)三角形都是直角三角形，而BC和DE均為已知的，所以關(guān)鍵問題在于求CM和DM。這兩條線段之和CD的長是易求的，所以只要知道它們的長度比就可以了，這恰好可以利用平行線BC與DE截成的比例線段求得。另外本題還可以構(gòu)造如下解法，如圖：解法三：連接BD【例3】（☆☆☆）求右圖中陰影部分的面積。（取3）審題要點(diǎn)：△ABC可以看出為等腰直角三角形。解法一：我們只用將兩個(gè)半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積和即可，其中①、②面積相等。易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊AB的長度未知。單獨(dú)求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如下右圖所示，則①、②部分變?yōu)橐粋€(gè)以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC=10。兩個(gè)四分之一圓的面積和為150，而①、②部分的面積和為1/2×10×10=50，所以陰影部分的面積為150-50=100（平方厘米）。解法二：欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積。專家點(diǎn)評：本題考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)平移法。圖形通過旋轉(zhuǎn)，得到陰影部分的面積=半圓的面積-等腰直角三角形的面積。【例4】（☆☆☆）如圖，已知三角形GHI是邊長為26厘米的正三角形，圓O的半徑為15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求陰影部分的面積。審題要點(diǎn)：題中每一條陰影部分面積可以看做是兩個(gè)大小弓形的面積之差。解法： 設(shè)J為弧GI的中點(diǎn)，則可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形， 所以，三角形GOI的面積= 所以大弓形的面積：SGJI 小弓形的面積：SFJE 所以，總陰影面積=（138-64.125）×3=221.625（平方厘米）專家點(diǎn)評：本題難度在于判斷四邊形GJIO為菱形，圓中等長的弧所對的弦也是相等的，所以三角形GOJ為正三角形，其實(shí)三個(gè)陰影部分選擇哪一個(gè)作為解題的模型都可以?；旧线€是加減思想的應(yīng)用?？傟幱懊娣e=每塊陰影面積×3=（大弓形－小弓形）×3關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積?？偨Y(jié)：本題考點(diǎn)加減法。【例5】（☆☆☆）如圖，ABCD是一個(gè)長為4，寬為3。對角線長為5的正方形，它繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，分別求出四邊掃過圖形的面積。（取3）審題要點(diǎn)：要求邊掃過的面積，只需分別看一邊旋轉(zhuǎn)所得圖形。分析：1、容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的，如右圖：因此DC邊掃過圖形的面積為4平方厘米，BC邊掃過圖形的面積為平方厘米。2、研究AB邊的情況。在整個(gè)AB邊上，距離C點(diǎn)最近的點(diǎn)是B點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A點(diǎn)，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該介于這兩個(gè)點(diǎn)所掃過弧線之間，見右圖中陰影部分：下面來求這部分的面積。觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實(shí)際上是：扇形ACA,面積+三角形ABC面積-三角形ABC面積-扇形BCB,面積+三角形A,B,C,面積＝扇形ACA,面積一扇形BCB,面積；3、研究AD邊掃過的圖形。由于在整條線段上距離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A，最近的點(diǎn)是D，所以我們可以畫出AD邊掃過的圖形，如下圖陰影部分所示：用與前面同樣的方法可以求出面積為：專家點(diǎn)評：本題是祖沖之杯競賽的一道試題。旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下“變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的。先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚。最后你會發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直接告訴你，要么就“藏”在那兒，一定會有。 我們可以作進(jìn)一步的思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解決對提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的?！纠?】（☆☆☆）求圓中陰影部分與大圓的面積之比和周長之比。審題要點(diǎn)：陰影部分可以看作一個(gè)整體，那么大圓由四個(gè)陰影部分組成。解法：把陰影看作一個(gè)特殊圖形，而大圓的面積恰好是4個(gè)這種特殊圖形所以陰影面積︰大圓面積=1︰4設(shè)小圓半徑為x，則大圓半徑為2x陰影周長=小圓周長+小圓周長+小圓周長+大圓周長=小圓周長+大圓周長=×2x+×2×2x=x大圓周長=2×2x=4x所以周長之比=x︰4x=7︰8專家點(diǎn)評：應(yīng)用圖形比例關(guān)系求解圖形，也是整體考慮問題思想的典型代表。【例7】（☆☆☆）如圖，半圓半徑=40CM，BM=CN=DP=22，每個(gè)陰影部分的弧長為半圓弧長的，求陰影部分面積？（=3）

審題要點(diǎn)：圖中上半部分的三個(gè)陰影圖形并非真正的扇形，所以不能用扇形面積公式來解，只能應(yīng)用加減法，把圖形分解。那么每個(gè)陰影部分面積等于1/3半圓面積減去一大一小兩個(gè)相似三角形面積。解法：∵△ABO為等邊三角形又∵∠AMB=120度∴∠MAE=30度∴∠BAM=30度∴△BMA為等腰三角形即根據(jù)正三角形性質(zhì)得BM=2EM∴BE=22+11=33（cm）陰影部分面積=3×（×40×40-×20×33-×20×11）=3×（800-330-110）=3×360=1080（平方厘米）專家點(diǎn)評：應(yīng)用加減法，把圖形化為我門常用的圖形來解題是這道題的關(guān)鍵所在。另一個(gè)難點(diǎn)是如何求出三角形的高，其實(shí)M，N，P分別是它們所在正三角形的中心。中心將其所在線段分為兩部分的比為1︰2，知道這一性質(zhì)，便可應(yīng)用面積公式求出陰影面積。【例8】（☆☆☆）如圖，哨所門前的兩個(gè)正三角形哨臺拴了兩條狼狗，拴狼狗的鐵鏈子長為10米，每個(gè)哨臺的面積為42.5平方米現(xiàn)在要綠化哨所所在地（哨所面積忽略不計(jì)，把其看做一點(diǎn)，在其周圍20米范圍內(nèi)鋪上草地）為了防止狼狗踐踏，則綠化的實(shí)際面積為多大合適？（=3）審題要點(diǎn)：首先確定兩條狼狗的活動(dòng)范圍，利用加減法把活動(dòng)范圍為一個(gè)菱形+兩個(gè)半圓，兩個(gè)半圓即一個(gè)整圓。實(shí)際綠化面積=大圓面積-（菱形+小圓面積+2×哨所面積）解法：可以看出菱形面積為2倍的哨所面積，菱形面積=2×42.5=85實(shí)際綠化面積=×20×20-（85+×10×10+2×42.5）=1200-（85+300+85）=1200-470=730（平方米）專家點(diǎn)評：本題屬于活動(dòng)范圍題，注意確定狼狗的活動(dòng)范圍為兩個(gè)5/6圓減去其重合部分，即一個(gè)菱形+一個(gè)圓，另外哨臺也是未綠化部分，注意以上兩點(diǎn)本題就不難求解?！纠?】（☆☆☆☆）如圖，15枚相同的硬幣排成一個(gè)長方形，一個(gè)同樣大小的硬幣沿著外圈滾動(dòng)一周，回到起始位置。問：這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了多少圈？審題要點(diǎn)：注意硬幣滾動(dòng)時(shí)圓心的軌跡。解法一：當(dāng)硬幣在長方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)一次時(shí)，由于三個(gè)硬幣的圓心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，所以這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了180o-60o-60o=60o。而硬幣上的每一點(diǎn)都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了120o。當(dāng)硬幣從長方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊時(shí)，這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了360o-60o-60o-90o=150o。而硬幣上的每一點(diǎn)都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了300o。長方形的外圈有12個(gè)硬幣，其中有4個(gè)在角上，其余8個(gè)在邊上，所以這枚硬幣滾動(dòng)一圈有8次是在長方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)，4次是從長方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊。120×8+300×4=2160，所以這枚硬幣轉(zhuǎn)動(dòng)了2160o，即自身轉(zhuǎn)動(dòng)了6圈。解法二：通過計(jì)算圓心軌跡的長度，每走一個(gè)2即滾動(dòng)了一周。對于同樣是12個(gè)硬幣，所轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心軌跡其實(shí)分為兩部分，一是在“角”上的轉(zhuǎn)動(dòng)，一是在“邊”上的滾動(dòng)。 抓住關(guān)鍵方法：圓心軌跡長度÷2=自身轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)。專家點(diǎn)評：此題來源于小學(xué)數(shù)學(xué)ABC。圓運(yùn)動(dòng)的軌跡分兩種，一種所謂的“跨圓”運(yùn)動(dòng)；另一種所謂的“繞圓”運(yùn)動(dòng)。掌握“跨圓”運(yùn)動(dòng)一次30+60+30=120度；“繞圓”一次180度。角上4次“繞圓”，邊上12次“跨圓”，這樣結(jié)果便一目了然。拓展訓(xùn)練1、如圖，四邊形是平行四邊形，，，，高CH=4cm,、分別以、為半徑，弧、分別以、為半徑，陰影部分面積是多少平方厘米？初級提示：深度點(diǎn)撥：=10×4=40()全解過程：=-=(2-)-(-2)2、下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)；請計(jì)算圖中兩個(gè)陰影圖形的面積比。初級提示：左圖陰影可用加減法即正方形面積減去4個(gè)邊上的三角形面積。深度點(diǎn)撥：右圖陰影面積可先看小正方形里的陰影面積為2個(gè)小三角形面積之和，而每個(gè)小三角形面積恰好是它所在直角三角形面積的三分之二，只要求出直角三角形面積，陰影面積便不難求出了，直角三角形面積為大正方形面積的十六分之一。全解過程：左圖陰影面積=正方形面積-4個(gè)等腰三角形面積=1×1-4×××1=1-=右圖陰影面積=8個(gè)小三角形面積=8×（×××）=8×=所以左：右=：=3：23、（2004第二屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽3），如圖，在平行四邊形中，已知三角形、的面積分別是73、100，求三角形的面積。初級提示：+=深度點(diǎn)撥：全解過程：4、下圖中除大圓外，所有的弧線都是半圓，且，圖中有上、下兩塊陰影區(qū)域，如果上面的陰影區(qū)域面積為100平方厘米，那么下面的陰影域面積為________平方厘米。初級提示：分析題意本題用割補(bǔ)法。深度點(diǎn)撥：陰影面積可分為四部分，分別求之。全解過程：設(shè)AB=1，則AC=3，AD=6，AE=10，DE=4，CE=7，BE=9。上塊陰影面積=（S半圓AE-S半圓AD）+S半圓DE=（1/2×25-1/2×9）+1/2×4=8+2=10下塊陰影面積=（S半圓AC-S半圓AB）+（S半圓BE-S半圓CE）=（1/2×9/4-1/2×1/4）+（1/2×81/4-1/2×49/4）=+4=5因?yàn)樯蠅K陰影面積=100所以下塊陰影面積=50如圖，∠1=15°，圓的周長為62.8厘米，平行四邊形的面積為100平方厘米。求陰影部分面積？初級提示：連接AO，AB，作BC的垂線AD交BC于D深度點(diǎn)撥：S△ABC=S△ABE全解過程：則∠ACO=∠OAC=15°∴∠ACO=150°,∠AOB=30°∴=102×3.14×==5所以陰影部分面積=50-（-25）=（平方厘米）6、五環(huán)圖由內(nèi)徑為4cm，外徑為5初級提示：注意重疊部分。深度點(diǎn)撥：五個(gè)圓環(huán)總面積-五環(huán)面積=陰影面積全解過程：5×（5×5-4×4）=45=141.3141.3-122.5=18.818.8÷5=2.357、（04年華羅庚金杯數(shù)學(xué)邀請賽）如右圖，一個(gè)半徑為1厘米的小圓盤沿著一個(gè)半徑為4厘米的大圓盤外側(cè)做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小圓盤的中心圍繞大圓盤中心轉(zhuǎn)動(dòng)90度后，小圓盤運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積是多少平方厘米？（取3）初級提示：小圓盤運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積由兩部分組成，即兩半圓加扇形環(huán)。深度點(diǎn)撥：扇形面積可由半徑為4+2、圓心角為90度的大扇形減去半徑為4、圓心角為90度的小扇形。全解過程：第一部分是半徑為6厘米、中心角為90度的扇形減去半徑為4厘米、中心角為90度的扇形，面積為；第二部分是半徑為1厘米的2個(gè)半圓，總面積是3。所以掃過的面積為15+3=18平方厘米。有一個(gè)邊長分別為4cm的等邊三角形木塊。現(xiàn)將三角板沿水平線翻滾，如下圖，那么從B點(diǎn)開始到結(jié)束所經(jīng)過的總長度為多少？初級提示：三角形為等邊三角形。深度點(diǎn)撥：在翻滾過程中，B劃過了兩條圓弧，每段圓弧的圓心角大小都為120°。全解過程：（120°+120°）360°=2×4×=（cm）9、如下圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB長為10厘米，∠ABC=60，此時(shí)BC長5厘米。以點(diǎn)B為中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，點(diǎn)A，C分別到達(dá)點(diǎn)E，D的位置。求AC邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積。（取3） 初級提示：如右下圖所示，本圖為扇形和三角形的組合圖形。深度提示：將圖形I移補(bǔ)到圖形II的位置，則陰影部分為一圓環(huán)的。全解過程：面積為（AB一BC）÷3=（10一5）÷3=75×3÷3=75（平方厘米）。10、如圖所示，兩條線段相互垂直，全長為30厘米。圓緊貼直線從一端滾動(dòng)到另一端（沒有離開也沒有滑動(dòng)）。在圓周上設(shè)一個(gè)定點(diǎn)P，點(diǎn)P從圓開始滾動(dòng)時(shí)是接觸直線的，當(dāng)圓停止?jié)L動(dòng)時(shí)也接觸到直線，而在圓滾動(dòng)的全部過程中點(diǎn)P是不接觸直線的。那么，圓的半徑是多少厘米？（設(shè)圓周率為3.14，除不盡時(shí)，請四舍五入保留小數(shù)點(diǎn)后兩位。如有多種答案請全部寫出）初級提示：兩線段垂點(diǎn)附近，圓不能到達(dá)（隱含的在題中的已知條件），即有四分之一的圓未接觸線段，圓滾動(dòng)的實(shí)際距離只有圓周長的四分之三或四分之七，利用圓周長公式算出半徑。深度點(diǎn)撥：因?yàn)樵趫A滾動(dòng)的全部過程中點(diǎn)P是不接觸直線的。所以這個(gè)圓的運(yùn)動(dòng)情況有兩種可能。全解過程：一種是圓滾動(dòng)了不足一圈，根據(jù)P點(diǎn)的初始位置和終止位置，可知圓滾動(dòng)了270o。另一種是圓在第一條直線上滾動(dòng)了將近一圈，在第二條直線上又滾動(dòng)了將近一圈，根據(jù)P點(diǎn)的初始位置和終止位置，可知圓滾動(dòng)了270o+360o=630o。因?yàn)閮蓷l線段共長30厘米，所以270o的弧長或者630o的弧長是30厘米。30÷÷3.14÷2=6.37（厘米），30÷÷3.14÷2=2.73（厘米），所以圓的半徑是6.37厘米或2.73厘米。兩線段垂點(diǎn)附近，圓不能到達(dá)，即有四分之一的圓未接觸線段，圓滾動(dòng)的實(shí)際距離只有圓周長的四分之三或四分之七，利用圓周長公式算出半徑。

幾何（三）立體圖形知識地圖基礎(chǔ)知識萬丈高樓平地起。我們可以這樣說：把平面圖形從平面拎到空間，讓平面圖形在空間上產(chǎn)生高度就形成了這一講我們要研究的立體圖形。在現(xiàn)階段，我們主要研究的立體圖形有以下幾種：立體圖形表面積體積注：是母線，即從頂點(diǎn)到底面圓上的線段長。

特別的：關(guān)于球體還有這樣一個(gè)結(jié)論：如果一個(gè)球體的直徑與一個(gè)圓柱的直徑與高都相等，那么：球體的體積等于以球大圓為底球的直徑為高的圓柱體積的三分之二；球體的表面積等于以球大圓為底球的直徑為高的圓柱的側(cè)面積；球體的體積還等于以球大圓為底，球的半徑為高的圓錐的體積的4倍。這個(gè)圖就是有名的阿基米德圓柱容球。二、求立體圖形的表面積和體積規(guī)則立體圖形的表面積和體積我們可以直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算。不規(guī)則的立體圖形的表面積和體積，一方面，我們可以應(yīng)用和平面圖形相同思考的方法來考慮把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則的立體圖形進(jìn)行計(jì)算；而另一方面，我們更注重的是觀察圖形從規(guī)則變?yōu)椴灰?guī)則的變化過程，通常這個(gè)過程我們需要以圖形整體考慮為出發(fā)點(diǎn)。這也就是我們求解此類問題常用方法的思想基礎(chǔ)：、方法一：陽光照面陽光照面法從圖形整體考慮出發(fā)，觀察圖形表面積特點(diǎn)。方法二：與時(shí)俱進(jìn)圖形的變化，是從整體的變到不變的過程，找到變化的規(guī)律，注意圖形的變化過程，觀察求解，與時(shí)俱進(jìn)，就是解決問題的秘籍寶典。方法三：面包切片我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：一個(gè)大的桃李早餐面包，從上向下切一刀，橫截面是一個(gè)正方形。如果是奶黃夾心面包，則橫截面是一個(gè)環(huán)正方形。同樣道理，解題過程中你可以想象，把圖形切開，橫截面的特點(diǎn)可以幫助我們了解圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)，達(dá)到解題的目的。方法四：借來還去這里的借來還去可以說是平面幾何加減思想的一種變形?？梢赃@樣解釋，把一部分借來與原來的組成一個(gè)規(guī)則可以求得圖形，再把借來的部分從規(guī)則中拿去。借來還去的思想在解決求解不規(guī)則立體圖形的表面積和體積的問題中經(jīng)?？梢杂玫健＠纾喝?、最短路線和展開圖的形狀立體圖形的展開圖形狀總結(jié)如下：對于不規(guī)則的立體圖形的展開圖就要充分發(fā)揮我們的想象，用“脫衣服”方法，層層剝離展開。在解決這類問題的時(shí)候，要注意培養(yǎng)自己的空間想象能力，必要時(shí)可以借用紙片等輔助工具幫助想想理解。例如：和立體圖形的展開圖結(jié)合最為緊密的是圖形側(cè)面的最短路線問題。你需要把握的重要一點(diǎn)是：兩點(diǎn)之間永遠(yuǎn)直線線段最短。四、染色問題﹙1﹚奧數(shù)的經(jīng)典問題，重要的是掌握幾個(gè)關(guān)于染色問題的數(shù)據(jù)，其余的問題需要具體問題具體分析，把握好什么地方染到了顏色，什么地方?jīng)]有染到顏色是解決此類問題的關(guān)鍵。對于由n3塊小正方體構(gòu)成的n×n×n正方體，三面涂有紅色的有8塊，兩面涂有紅色的有12×（n－2）塊，一面涂有紅色的有6×（n－2）2塊，沒有涂色的有（n-2）3塊。例如：右圖是4×5×6正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？分析：三面涂紅色的只有8個(gè)頂點(diǎn)處的8個(gè)立方體；兩面涂紅色的在棱長處，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36塊；一面涂紅的表面中間部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52塊。沒涂紅色的小方塊有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24塊。三面——頂點(diǎn)二面——棱一面——面 0面——芯一句話：“角三棱二面唯一?！暴v2﹚歐拉公式嚴(yán)格的說，歐拉公式和我們這里所講的染色問題關(guān)系不是很密切。但這個(gè)公式卻是和多面體密切相關(guān)的完美公式。首先請同學(xué)們觀察下面的幾個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)之間的關(guān)系：頂點(diǎn)V面F棱EV-E+F=2正四面體4462正六面體86122正八面體68122正十二面體2012302正二十面體1220302通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)了多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間存在著如下的關(guān)系：V+F-E=2那么這個(gè)公式也就給我們提供了一種解決染色或者多面體問題的思考方法——分類思考由歐拉公式，我們可以很自然的想到，在解決如上問題的時(shí)候，我們思考問題可以從立體圖形的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)的角度出發(fā)，分類思考。經(jīng)典透析：【例1】（☆☆☆）一個(gè)由125個(gè)同樣的小正方體組成的大正方體，從這個(gè)大正方體中抽出若干個(gè)小正方體，把大正方體中相對的兩面打通，下圖就是抽空的狀態(tài)。右圖中剩下的小正方體有多少個(gè)？解法一：（用“容斥原理”來解）由正面圖形抽出的小正方體有5×5=25個(gè)，由側(cè)面圖形抽出的小正方體有5×5=25個(gè)，由底面圖形抽出的小正方體有4×5=20個(gè)，正面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的小正方體有1×2+2×1+2×2=8個(gè)，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有1×3+2×2=7個(gè)，底面圖形和側(cè)面圖形重合抽出的小正方體有1×2+1×1+2×2=7個(gè)，三個(gè)面的圖形共同重合抽出的小正方體有4個(gè)。根據(jù)容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52個(gè)小正方體。125-52=73，所以上圖中剩下的小正方體有73個(gè)。注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個(gè)，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事。但你可以先構(gòu)造空的兩個(gè)方向上共同部分的模型，再由第三個(gè)方向來穿過“花墻”。這里，化虛為實(shí)的思想方法很重要。解法二：（用“切片法”來解）可以從上到下切五層，得：從上到下五層，如圖：或者從右到左五片，如圖： 請注意這里的挖空的技巧是：先認(rèn)一種方向。 比如：從上到下的每一層，首先都應(yīng)該有第一層的空四塊的情況，即—— 如果挖第二層：第（1）步，把中間這些位置的四塊挖走如圖： 第（2）步，把從右向左的兩塊成線地挖走。（請注意挖通的效果就是成線挖去），如圖：第（3）步，把從前向后的一塊（請注意跟第二層有關(guān)的只是一塊?。┩诔删€！如圖： 總結(jié)一下“切片法”：全面打洞（例如本題，五層一樣） 挖塊成線（例如本題，在前一次的基層上，一條線一條線地挖）。 這里體現(xiàn)的思想方法是：化整為零，有序思考！【例2】（☆☆☆）如圖，在一個(gè)正方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個(gè)長方體的洞，在上下底面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知正方體邊長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積。審題要點(diǎn)：大正方形減去右邊圖形就是我們要求的體積。 解法：外側(cè)表面積為：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8。內(nèi)側(cè)表面積為：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16?？偙砻娣e=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）。計(jì)算體積時(shí)將挖空部分的立體圖形取出，如圖，只要求出這個(gè)幾何體的體積即可。挖出的幾何體體積為：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24。所求幾何體體積為：10×10×10-（256+24）=668.64（立方厘米）。專家點(diǎn)評：打通部分可看為兩個(gè)小圓柱，兩個(gè)小長方形和一個(gè)大長方形共五部分組成，這樣計(jì)算體積非常容易，但在計(jì)算表面積時(shí)要考慮公共面。這道題是人大附中分班考試題目?？偨Y(jié)：本題考點(diǎn)不規(guī)則圖形的表面積及體積?！纠?】（☆☆☆）一個(gè)酒瓶里面深30cm，底面內(nèi)直徑是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時(shí)酒深25cm。酒瓶的容積是多少？審題要點(diǎn)：觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變。解法：酒的體積：15π×（10/2）×（10/2）=375π瓶中剩余空間的體積（30-25）π×（10/2）×（10/2）=125π酒瓶容積：375π+125π=500π=1500（ml）專家點(diǎn)評：當(dāng)酒瓶倒過來時(shí)酒深25cm，因?yàn)榫破可?0cm，這樣所?？臻g為高5cm的圓柱，再加上原來15cm高的酒即為酒瓶的容積。注意：本題考點(diǎn)立體圖形的等積變形?！纠?】（☆☆☆☆）如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，對角線AC，BD相交0.圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？審題要點(diǎn)：以CD為軸確定陰影部分旋轉(zhuǎn)后的形狀。解法：設(shè)三角形BCO以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是V，V等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個(gè)高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。即：（立方厘米），專家點(diǎn)評：這個(gè)立體圖形可看為兩個(gè)圓錐削掉上半部然后疊加，但還要減去兩個(gè)小圓錐，才是陰影部分掃出的立體圖形的真實(shí)體積?？梢钥紤]多種方法，比如應(yīng)用容斥原理或者加減的思想都是不錯(cuò)的選擇。。總結(jié)：本題考點(diǎn)平面圖形旋轉(zhuǎn)為立體圖形的體積問題?！纠?】（☆☆☆）左下圖是一個(gè)正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請?jiān)谟蚁路降恼归_圖中畫出四邊形APQC的四條邊。審題要點(diǎn)：把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。解法：（1）考慮到展開圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對應(yīng)的符號，見左下圖。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱，以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：A—A，C—C，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標(biāo)在展開圖上，并在對應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點(diǎn)在展開圖上有三個(gè)，B，D點(diǎn)在展開圖上有二個(gè)，所以在標(biāo)點(diǎn)連線時(shí)必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖專家點(diǎn)評：對照立體圖形展開圖上，線的位置，取點(diǎn)確定?？偨Y(jié)：本題考點(diǎn)展開圖的形狀?！纠?】（☆☆☆☆）一個(gè)3×3×3的正方體。用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？審題要點(diǎn)：涂色與圖形結(jié)合，首先確定染色范圍。解法：一個(gè)面最多有5個(gè)方格可染成紅色（見左下圖）。因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個(gè)面可以染成5個(gè)紅色方格。其余四個(gè)面中，每個(gè)面的四個(gè)角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個(gè)紅色方格（見上中圖）。因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面也不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個(gè)面可以染成4個(gè)紅色方格。最后剩下兩個(gè)相對的面，每個(gè)面最多可以染2個(gè)紅色方格（見右上圖）。所以，紅色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（個(gè)）。專家點(diǎn)評：注意，單面最多只能為五個(gè)，與其對稱的面也可為五個(gè)，與其相鄰的面最多為四個(gè)，相鄰面的對稱面也為四個(gè)，剩下的兩個(gè)對稱面每面最多為2個(gè)，總計(jì)22個(gè)。【例7】（☆☆☆☆）將一個(gè)棱長為整數(shù)的（單位：分米）的長方體6個(gè)面都涂上紅色，然后把它全部切成棱長為1分米的小正方體。在這些小正方體中，6個(gè)面都沒有涂紅色的有12塊，僅有兩個(gè)面涂紅色的有28塊，僅有一面涂紅色的有____塊。原來長方體的體積是____立方分米。審題要點(diǎn)：芯是本題的關(guān)鍵從芯入手。解法：12被3個(gè)整數(shù)整拆只有4種情況1×1×121×2×61×3×42×2×3兩面涂紅的有28塊，因?yàn)檎襟w長，寬，高都有4條，所以長寬高之和為284=7符合條件的只有2+2+3=7所以芯為2×2×3的長方體一面涂紅的為（2×2+2×3+2×3）×2=32（個(gè)）原體積（2+2）×（3+2）×（2+2）=80（立方分米）專家點(diǎn)評：無色必為芯，根據(jù)已知12個(gè)芯，確定芯的大小，應(yīng)用“角三，棱二，面唯一”計(jì)算出三面、二面、一面的數(shù)量。原體積為芯的長寬高各加2再相乘。這道題是第八屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競賽決賽的題。注意：染不到顏色的地方只能在里面哦！【例8】（☆☆☆）如下圖，用若干塊單位正方體積木堆成一個(gè)立體，小明正確地畫出了這個(gè)立體的正視圖、俯視圖和側(cè)視圖，問：所堆的立體的體積至少是多少？審題要點(diǎn)：整體觀察發(fā)揮想象。解法：本題還原的技巧在于反用“切片法”，根據(jù)俯視圖，最底層必有這么十一個(gè)，這是不能再少的。第二步，不妨先根據(jù)正視圖，再在一側(cè)加上7塊，第三步，再根據(jù)側(cè)視圖，說明另一側(cè)至少要加上一塊，最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如圖所示。當(dāng)然，這里的形狀不唯一。專家點(diǎn)評：以俯視圖為標(biāo)準(zhǔn)，三行當(dāng)中，中間行至少有2塊，上行至少6塊，下行至少10塊,此時(shí)才能滿足正視圖和側(cè)視圖。注意：本題考點(diǎn)切片法?！纠?】（☆☆☆）現(xiàn)有一個(gè)棱長為1cm的正方體，一個(gè)長寬各為1cm，高為2cm的長方體，三個(gè)長寬各為1cm，高為3cm的長方體。下列圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí)，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來，并求出其表面積。審題要點(diǎn)：用陽光照面的方法展開圖形。解法：立體圖形的形狀如下圖所示。（此題十分經(jīng)典）從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有18＋16＋12＋2＝