數(shù)字信號處理-原理、實現(xiàn)及應(yīng)用（高西全第4版）習題答案匯總第1-12章

數(shù)字信號處理一一原理、實現(xiàn)及應(yīng)用(高西全第4版)習題答案

第1章時域離散信號和系統(tǒng)

1.1引言

本章內(nèi)容是全書的基礎(chǔ)。學生從學習模擬信號分析與處理到學習數(shù)字信號處理，要建立

許多新的概念，數(shù)字信號和數(shù)字系統(tǒng)與原來的模擬信號和模擬系統(tǒng)不同，尤其是處理方法上

有本質(zhì)的區(qū)別。模擬系統(tǒng)用許多模擬器件完成，數(shù)字系統(tǒng)用運算方法完成。如果對本章中關(guān)

于數(shù)字信號與系統(tǒng)的若干基本概念不清楚，那么在學習數(shù)字濾波器時，會感到不好掌握，因

此學好本章是很重要的。

1.2本章學習要點

(1)關(guān)于信號

?模擬信號、時域離散信號、數(shù)字信號三者之間的區(qū)別。

?如何由模擬信號產(chǎn)生時域離散信號。

?常用的時域離散信號。

?如何判斷信號是周期性的，其周期如何計算。

(2)關(guān)于系統(tǒng)

?什么是系統(tǒng)的線性、時不變性，以及因果性、穩(wěn)定性；如何判斷。

?線性、時不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系；求解線性卷積的圖解法、列表法、解析法,

以及用MATLAB工具箱函數(shù)求解。

?線性常系數(shù)差分方程的遞推解法。

?用MATLAB求解差分方程。

?什么是滑動平均濾波器，它的單位脈沖響應(yīng)是什么。

1.3習題與上機題解答

i.i用單位脈沖序列及其加權(quán)和表示圖pi.i所示的序列。

解：x(n)=6(n+2)-8(n+1)+26(n)+6(,n-1)+2必-2)+3必-3)+5("-4)+23(n-6)

2H+4,-4<n<-1

1.2給定信號x(")=，4,0<n<4

0,其他

(1)畫出x(w)的波形，標上各序列值；

(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(w)序列;

(3)令X](〃)=2x(n-2),畫出百(")的波形；

(4)令々(")=x(2-"),畫出々(")的波形。

解：(1)畫出x(")的波形，如圖S1.2.1所示。

圖P1.1圖S1.2.1

(2)X?)=-4^(ra+4)—"(〃+3)+2^(n+1)+鉆(”)+46(〃-1)+45(”-2)+45(〃-3)+46(“一4)。

⑶畫出X[(")=2x(〃-2)的波形，如圖S1.2.2所示。

(4)畫出馬(")=雙2-Q的波形,如圖S1.2.3所示。

1.3判斷下列信號中哪一個是周期信號，如果是周期信號，求出它的周期。

(a)sin1.2/?(b)sin9.7元〃(c)ej,'6n

兀、jf-w-

(d)con(3nn/1)(e)Acosl-KI(0e18

解：(a)sin1.2〃是非周期信號。

(b)sin9.7兀〃是周期信號，-M=——M=—M,取M=97,周期為20。

。9.7兀97

(c)別-6""是周期信號，=-M=-M,取M=4,周期為5。

co1.6冗4

?2?

(d)8n(3it"/7)是周期信號，,周期為14。

co3/7兀3

(e)Acos(m7t,L])是周期信號，周期為14。

/)\

⑴e是非周期信號。

總結(jié)以上，如果數(shù)字頻率。不是n的函數(shù)，則一定是非周期序歹h

1.4對圖P1.1給出的x(n),要求:

(1)畫出x(-w)的波形；(2)計算x'(")=1[A(W)+x(-”)],并畫出xc(n)的波形；

(3)計算Xo(n)=g[x(")-x(-”)],并畫出與(")的波形；

(4)令王(〃)=維(〃)+%(〃)，將百(〃)和五(〃)進行比較，你能得出什么結(jié)論?

解：⑴畫出x(f)的波形如圖S1.4.1所示。

(2)將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相加再除以2,得到x°(")=；[x(")+x(-〃)]的波形，如

圖S1.4.2所示。

圖S1.4.1圖S1.4.2

(3)將圖P1.1所示波形和圖S141所示波形相減，再除以2,得到%(n)的波形，如圖

S1.4.3所示。

，乙⑻

1-5|0I23456

圖S1.4.3

(4)令一(〃)=/(〃)+%(〃),畫出波形,得到%(〃)=%(〃)+%(〃)=%(〃)。另外，由波形得到毛(〃)=

；[x(〃)+x(-〃)]是犬(〃)的偶對稱序列，Xo(〃)=g[x(〃)-x(f)]是M”)的奇對稱序列。這是一個具體例子，但可

以推廣到一般情況，結(jié)論是對于一般實序列可以分解成偶對稱序列/(〃)和奇對稱序列/5)，即=

%(〃)+%(〃)，式中^e(?)=-k(/?)+x(-/:)］，xo(n)=-［x(n)-x(-n)］。

1.5以下序列是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)力(〃)，試說明系統(tǒng)是否是因果的和穩(wěn)定的。

(1)二〃(〃)(2)與5)

(3)3"w(n)(4)3"M(-M)

n~n\

(5)0.3"〃(〃)(6)0.3nM(-?-l)⑺6(〃+4)

解：(I)二"5),系統(tǒng)是因果、不穩(wěn)定。

⑵“(，?)，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。

"一

(3)3,5),系統(tǒng)是因果的，但不穩(wěn)定。(4)3""-"),系統(tǒng)是非因果、穩(wěn)定的。

(5)0.3n?(?),系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。(6)0.3"w(-n-l),系統(tǒng)是非因果的,不穩(wěn)定。

1.6假設(shè)系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系分別如下式所示，試分別分析系統(tǒng)是否是線性時不變系統(tǒng)。

(1)y(n)=3x(n)+S(2))，(〃)=x(〃-l)+l

(3)y(n)=x(n)4-O.5Xw-1)(4)y(n)=nx(n)

解：(1)y(〃)=3x(〃)+8

將上式中的〃用〃一如代替，得至y(〃一%)=3x(〃一冏)+8。令)?〃)=711(〃一冏)]=3彳5-%)+8,因此

y(〃一%)=-%)],系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合/(〃)=奴|(〃)+如5),則輸出為

y(〃)=71方](〃)+/?芍(〃)1=3c%(〃)+勸電(〃)+8,T\ax}(ri)\=3ax](ri)+8,7]也(〃)]=3也(〃)+8

因為71師(〃)+如(〃)]w7To￥|5)]+7I取2(〃)]，因此該系統(tǒng)不服從線性疊加原理，是非線性系統(tǒng)。

(2)y(n)=x(n-l)+l

分析方法同上，該系統(tǒng)是時不變非線性系統(tǒng)。

(3)y(〃)=x(〃)+0.5x(〃-1)

由上式有y(n一的)=-%)+05x(〃-/?0-1)

T[x(n-%)]=x(n-%)+0.5x(〃--1)

因此.y(〃一%)=71](〃一%)]＞該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合](〃)=由式〃)+/?氏2(〃)，則輸出為

y(〃)=T[ax](n)+g(〃)]=叫(〃)+0.5aX|(〃-1)+g(〃)+0.5bx2(n-1)

71cg(〃)]=or,(〃)+0.5叫(〃一1),T[bx2(〃)]=b&(〃)+0.5〃々(〃)

因為？!叫(〃)+如(〃)]=n⑻(〃)]+?!如(〃)],因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。

(4)y(n)—nx(n)

由上式得到

71x(〃一，?o)]=)!￥(〃-知)

這樣義〃-%)],該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。按照差分方程，可把系統(tǒng)看成是一個放大器，放

大器的放大量是〃，因為該放大量隨〃改變，從物理概念上講，該系統(tǒng)也是一個時變系統(tǒng)。

令系統(tǒng)的輸入信號為兩個信號的線性組合M〃)=④|(〃)+加氯〃)，則輸出為

y(n)=TJoC](〃)+bx^(〃)]=n[ax1(〃)+b&(M-1)]?T[ax](/i)]=naxx(〃)，(/?)]=nbx2(n)

因為71叫(〃)+如(〃)]=71叼(〃)]+71如5)],因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。

?4?

1.7按照圖P1.7完成下面各題。

力?(〃)卜

圖P1.7

(1)根據(jù)串并聯(lián)系統(tǒng)的原理直接寫出總的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)力5)：

(2)設(shè)4(〃)=4x0.5"[〃(〃)-〃(〃-3)],h2(n)=h3(n)=(n+V)u(n),

似〃)=6(〃-1),恨(〃)=5(〃)一4<5(〃-3)

試求總的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)〃(〃)，并推出)，(〃)和輸入x(〃)之間的關(guān)系。

解：⑴/?(〃)=4(〃)*[似〃)一似〃)*/?4(〃)]+為5)。

(2)在下面的推導中，用一些常用的公式，會使推導簡便，它們是

M〃)*S(〃)=M〃)，M")*5(〃-如)=x(n一%);nu(ri)=nu(n-1),u(n-1)=〃(〃)-3(乂)

在(1)式中，為(〃)*h4(n)=(〃+l)n(/?)*J(n-1)=nu(n-1)=〃〃(〃)

似")-似n)*h4(n)=(n+Y)u(h)—nu(ri)=u(n)

/?((〃)=4x0.5z,[w(n)-u(n-3)]=4x0.5"除(〃)+6(n-1)+-2)]=45(〃)+28(n-1)+6(n-2)

h、(ri)*[.(〃)—力3(〃)*h4(n)]=[45(/1)+25(〃-1)+6(n-2)]*u(n)=4J(n)+65(〃-1)+7u(n-2)

h(n)=耳(〃)—)+—(〃)*—)]+%(〃)=7w(n-2)+43(〃)+65(〃-1)+3(〃)-45(〃—3)

=7u(n-2)+5S(〃)+65(〃-1)一4b(〃-3)

或者h(n)=7u(n)—2^(n)——1)—4^(w—3)

y(〃)=x(n)*〃(〃)=7x(/?)*u(n)-2x(n)~x(n-1)-4x(〃-3)

1.8由三個因果線性時不變系統(tǒng)串聯(lián)而成的系統(tǒng)如圖P1.8(a)所示，已知分系統(tǒng)

&(〃)=w(n)—u(n-2)

整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖PI.8(b)所示。

(1)求分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)45)；

(2)如果輸入x(〃)=65)-義〃—1),求該系統(tǒng)的輸出》(〃)。

X(n)--------------------------加

------—h[(n).......-h2(n)h2(n)--------

解：(1)按照圖P1.8(a)寫出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如下：

h(n)="(〃)*似九)*.(〃)

式中，h2(n)=u(n)-u(n-2)=R2(n)=6(n)+^(n-\)o

/?2(〃)*4(〃)=[5(〃)+-1)]*[b(〃)+6(〃-1)]=b(〃)+26(〃-1)+-2)

h(n)=/?,(n)*%(ri)*/%(〃)=:5)*眸(鹿)+23(n—1)+6(n—2)]=hx(/?)+24(〃-1)+%(n-2)

h{(n)=h(ri)—24(n-1)-h{(n-2)

已知力伽)，求4(〃)。上式是一個遞推公式，用遞推法求解。求解時注意系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)。

〃=0,4(0)=//(0)=1；n=l,/?|(1)=h(Y)—2%(0)=5-2=3；

n=2,4(2)=〃(2)—24⑴一〃|(0)=10—6—1=3：n=3,/^(3)=A(3)-2/7l(2)-/?l(l)=11-6-3=2；

〃=4,4(4)=〃(4)-2/虱3)—〃1(2)=8—4-3=1；〃=5,4(5)=%(5)—2匕(4)一匕(3)=4—2—2=0；

n=6,7?|(6)=力(6)—2/?|(5)—%(4)=1-1=0；〃=7,4(7)=〃(7)—2/彳(6)—%(5)=0。

最后得到

當”0,1,2,3,4,5,6,7,…時，

似")={1,3,3,2,1,0,0,…}

(2)y(n)=x(n)?%(〃)*飽(〃)*他(〃)=：(〃)*%(〃)?%(〃)*飽(〃)

y(n)=%(〃)?[6(〃)--1)]*[6(〃)+23(〃-1)+6(〃-2)1=爾〃)*—(〃)+6(〃—1)+5(〃—2)—6(〃-3)|

=h、(n)+%(n-1)+/?,(〃-2)-/?,(n-3)

將已求出的代入上式，得到

當"=0,1,2,3,4,5,6,7,…時,—={1,4,5,3,-3,-4,-5,-1,0,0,…}、

1.9計算并畫出圖P1.9所示信號的卷積o

x(n)

In-

0123n

An)

八匚

0123n

x(n)

,Jill...

03456n-4-30n

x(n)h(n)

一」上

,JILL-

02345n-2-10n

,6?

圖Pl.9

(a)x(?)*A(n)=(???,0,0,6,11,15,18,14,10,6,3,1,0,0,?.).原點在6處，波形如圖S1.9.1(a)所示。

(b)M”)*〃(")={…,0,0,6,11,15,招,14,10,6,3,1,0,0,…},原點在18處,波形如圖S1.9.1(b)所示。

(c)Xn)*/?(?)={?-.,0,0,1,2,2,2,1,0,0,???),原點在第一個2處，波形如圖SL9」(c)所示。

(d)x(n)*h(ri)={?-.,0,0,1,2,2,2,1,0,0,??,原點在第一個1處，波形如圖S1.9.1(d)所示。

圖S1.9.1

1.10證明線性卷積服從交換率、結(jié)合率和分配率，即證明如下等式成立：

(1)x(n)*h(ri)=h(ri)*x{ri)(2)M”)*("(")*佃("))=(x(")*"("))*刈(“)

(3)M")*(々(葭)+似砌=M")*/?((?)+x(")*—(”)

解：證明如下：

8

(1)因為x{n)*h(ri)=2x(ni)h(n-ni)

m=—oo

令ni=n-tn

co

x(ri)*h(n)=Z一機')〃(//)=h(n)*x(n)

，“'=70

(2)利用上面已證明的結(jié)果，得到

x(n)?[/?!(〃)*%(〃)]=x(〃)*[%(〃)*4(〃)]=Zx(〃譏〃2(〃_m)*凝(n-in)]=ZMMZ&⑹％(n-m-k)

m=—ocm=-ook=-oo

交換求和號的次序，得到

998

x(n)*[h](n)*h2(n)]=X似4)ZMM:(〃一掰一4)=Z/XQbS-&)*%(〃一4)]

jfc=-O0,“=-00Jt=-00

=，(〃)*[%(〃)*h](喇=[x(〃)*/“(〃)]*hy(n)

co

(3)x(〃)*[.(〃)+&(〃)]=，(〃-〃z)+飽(，一〃。]

=，x(刑)似〃-m)+x(m)h2(n-m)=x(n)?h^n)+x(ri)?/^(n)

m=-<x>，”=-co

1.11已知系統(tǒng)的輸入X(〃)和單位脈沖響應(yīng)人(〃)，試求系統(tǒng)的輸出)'(〃)。

⑴M〃)=舄⑺,力5)=&伽)(2)M〃)=?(")-5(〃-2),〃(〃)=26(/?)

(3)x(n)=6(n-2),h(n)=0.5"號(〃)(4)x(〃)=%(〃),h(n)=0.5"〃(〃)

1

3n，0<n<6-2<n<2

(5)x(〃)=<力5)=

其他

0,其他

-3<n<50<n<4

(6)/(〃)=h(ri)

0,其他0,其他

解：(I))，(〃)=%(〃)*《(〃)={…，。42,3,4,4,3,2,1,0…},原點在第一個1處。

Q)y(n)=[5(〃)-6(n-2)]*2/?4(M)=265)—2%-2)={…,0,22,0,0,-2,-2,0,…},原點在第一個2處。

(3)y(n)=5(〃—2)*0.5〃&(〃)=0.5/,-2-2)=4x0.5〃&(〃—2)。

(4)該題解的方法和主教材中的例題1.3.3相同，

00

n,n

y(n)=h(n)*x(n)=R5(m)a~u(n-m)；儂n,0<m<4>71V0,y(n)=0

zn=-co

0<n<4,非零值范圍為叱n,因此

itnt

6=0

5<〃，非零區(qū)間為0W鵬4,因此

4

)，(”)=2"吁'"

m=0

0,n<0

1-〃一”7

結(jié)果為y(〃)=an---,0<?<4

\-a-]

/工.5<n<oo

\-a~'

(5)y(n)=x(n)*h(n)=n/?7(n)*R5(n+2)。

為了計算方便，將上式寫成

3y(〃)=3x(n)*〃(〃)=nR^ri)*伐(〃+2)

采用列表法，計算過程如表Sl.ll」所示。

表S1.11.1

m-4-3-2-10123456

3Mm)0123456

h(m)11111

h(-nt)111113>(0)=3

111113y(1)=6

?8?

h(2-m)111113)(2)=10

h(3-m)1I11I3y(3)=15

A(4-/n)111113y(4)=21

111113y(-l)=1

I11I13y(-2)=0

>(”)=；{…,0,1,3,6,10,15,21,20,18,15,11,6,0,…},原點在3處。

an,-3<n<50<n<4

(6)x(n)=

0,其他0,其他

x(〃)=〃"%(〃+3),〃(〃)=%(〃)

y(〃)=+3)&(〃-ni)

由R)(利+3)得到一35m<5。

由&(〃-⑼得到〃-4Wm<no

max[-3,n-4]<m<min[5,〃]；

〃3/I?w+4\

-3<n<0,y(n)=￡a",=a…)

〃"4(1_島

1<5,y(n)=Za"'

m=n-4\—a

5”〃一4/1.IO-Hx

ma(1一。z)

65彷9,y(n)=￡a=-------------

m=n-4\-a

最后得到

/3_尸

-3<n<0

l-a，

1<n<5

)，(〃)=<\-a

a〃—一6

6<n<9

1-a，

0,其他

1.12如果線性時不變系統(tǒng)的輸入和輸出分別為

0,0,3,〃=0,1,20,1,0,2,〃=0,1,2,

⑴七(〃)=%5)=

0,其他0,其他

0,0,0,1,n=0,1,2,31,2,1,〃=一1,0,1

(2)/(〃)=%(〃)=

0,其他0,其他

試求出相應(yīng)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。

解：這是一個簡單的解線性卷積的題目，可用遞推法求解。

2

(1)%5)=-5)*4(〃)=(團溝(〃一加)=x\⑵匕(〃-2)

m=()

n=0,0=3/?|(—2),/?,(-2)=0;〃=1,I=3/?|(-1),=-；

2

〃=2,0=3/?,(0),(0)=0；n=3,2=3似1),似1)=—

得到

.(、0,：,0,二，n=-2,-1,0,1

33

0,其他

3

(2)為(")=電(〃)*%(〃)=5泡(〃一加)=電⑶%(〃-3)=%(〃-3)

/K=0

，/、［1,2,1,n=-4,-3,-2

飽叫。，其他

1.13已知因果系統(tǒng)的差分方程為

y(n)=0.5y(〃-1)+x(n)+0.5x(〃-1)

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)力(〃)。

解：用遞推法求解?令x(n)=S(n),y(-l)=0,y(n)=h(n),

h(n)=」〃(〃―1)+6(n)+—6(n-1)

22

7?=0,〃(0)=g〃(_l)+b(0)+；S(_l)=l；

〃=1,/?(1)=l/?(0)+W)+iz＞(0)=-+-=1；

2222

〃=2,/?(2)=~/?(1)=—；

22

〃=3,〃⑶=g〃(2)=(g)

歸納起來，結(jié)果為獻")=出"("-1)+3(明

1.14設(shè)系統(tǒng)的差分方程為火〃)=4("-1)+*"),0＜。＜1,y(-D=0。分析系統(tǒng)是否是線性、時不變

系統(tǒng)。

解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為3(〃)，b(〃-1),5(〃)+b(〃-1)時，求它的輸出，再檢查是否滿

足線性疊加原理和非時變性。

(1)M〃)=S(〃)，系統(tǒng)的輸出用y(〃)表示：

M(〃)二孫(〃-1)+演〃)

該情況在主教材例題1.5.2中已求出，系統(tǒng)的輸出為y(〃)=〃"〃(〃)。

(2)入(〃)=6(〃一1),系統(tǒng)的輸出用為(〃)表示：

%5)二研(〃_1)+6(〃—1)

/?=0,必(0)=々%(—1)+5(-1)=0

?10?

〃=1,y2(l)=ay2(0)+<5(0)=1

n-2,y2(2)=ay2(l)+<J(1)=a

n}

〃，y2(n)=a~

最后得到為(")=a""*"-1)°

(3)M〃)=6(〃)+S(〃-l),系統(tǒng)的輸出用火(")表示：

y3(n)=ay3(n-1)+b(〃)+-1)

7?=0,%(0)=a%(—1)+5(0)+6(—1)=1

/?=1,為⑴=ay3(0)+5⑴+3(0)=6/4-1

2

n=2,y3(2)=a)3⑴+3(2)+S⑴=(1+d)a=a+a

2

H=3,y3(3)=ay3(2)+5(3)+b(2)=(a+a)a=a?+/

nnl

M,y3(n)=a+a~

最后得到%(〃)=-1)+〃"〃(〃)。

由⑴和⑵得到

y(n)=71如)],y2(n)=716(〃-1)]

y(〃)=%(〃-1)

因此，可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。情況(3)的輸入信號是情況(1)和情況(2)的輸入信號的相加信號，因

此)?(")=715(”)+S(，L1)]。觀察》(〃)，y2(n),y3(,ri))得到)?(")=)[(")+"(")，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

最后得到結(jié)論：用差分方程乂〃)=砂(〃-1)+*"),0<“<1描述的系統(tǒng)，當初始條件為零時，是一個線性時不

變系統(tǒng)。

1.15習題1.6和習題1.14都是由差分方程分析系統(tǒng)的線性時不變性質(zhì)，為什么習題1.6沒給初始條件,

而習題1.14給了初始條件？

解：系統(tǒng)用差分方程描述時，分析其線性時不變性質(zhì)，需要給定輸入信號求輸出，因此需要已知差分方

程的初始條件，是兒階差分方程就需要兒個初始條件，習題1.6的差分方程是零階的，因此不需要初始條件,

而習題1.14是一階的，因此需要一個初始條件。

1.16設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為/;(〃)=(3/8)0.5""5),系統(tǒng)的輸入x(")是一些觀察數(shù)據(jù)，設(shè)*")={%,

國,當…,々，…},試用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(")。遞推時設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。

n

解：y(n)=x(?)*h(n)=-xm0.5"-'u(n-w)=-工40.5"'"，n>0

m=-oorn=0

3

〃=0,y()=-x

Wo()

n=1,y(ri)=](0?5與+'])

8,n=o8

3W、3

2w2

n=Zy(n)=70.5-=^(0.5xo+0.5Xj+x2)

最后得到y(tǒng)(〃)=3'0.5"|/_用o

8w=o

1.17如果線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

〃(〃)=4"〃(〃)，同V1

求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

解：單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)輸入單位階躍序列時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此該題即是求系統(tǒng)對單位階躍序列

的響應(yīng)。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用M〃)表示，即

y(n)=anu(n)*u(n)=amu(m)u(n-ni)

m

非零值區(qū)間為gm,m<n,

最后得到)S)=y?m=3一o

1.18已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可")和輸入信號M”)分別為

n

h(h)=au(n)yx(n)=u(n)-u(n-\0)

求系統(tǒng)的響應(yīng)。

解：y(n)=a(〃)*x(n)=a,lu(n)*〃(〃)-a"u(n)*w(/?-10)

利用習題1.17的結(jié)果，得到

1.19已知系統(tǒng)用下面的差分方程描述：

y(n)=0.7y(/?-l)+2x(n)-x{n-2)

(1)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；

(2)求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

解：(1)令—〃)=6(〃),y(-1)=0

)(〃)=0.7y(〃一1)+2次〃)-6(〃-2)

〃=0,>(0)=0.7X-D+2/0)—5(—2)=2

/?=1,>(1)=0.7y(0)+2J(1)-^(-1)=2x0.7=1.4

n=2,y(2)=0.7y(l)+23(2)-5(0)=2x(0.7)2-1=-0.02

〃=3,y(3)=0.7)。)=-0.02x0.7

n=4,y(4)=0.7y(3)=-0.02x(0.7)2

h(n)=y(〃)=-0.02x(0.7)""〃(〃-2)+2b(〃)+1.45(〃-1)

=-0.0408x0.7"〃5-2)+26(〃)+1.45(〃-1)

或者h(n)=-0.0408x0.7〃〃(〃)+2.0408b(〃)+1.42865(〃-1)

(2)該題可以直接由差分方程求單位階躍序列的響應(yīng)，因為上題已求出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，因此可以

直接用線性卷積求解。令=〃(〃)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用兒(〃)表示，則

?12?

兒(〃)=〃(〃)*〃(")

兒(〃)=[-0.0408x0.7"〃(〃)+2.0408b⑺+1.42863(〃-1)]*u(n)

利用習題1.17的結(jié)果得到

1-07,,+,

-0.0408x0.7〃〃(〃)*u(n)=-0.0408x——：——=-0.136+0.0952x0.7"

1-0.7

從而有/??(?)=[-0.136+0.0952x0.7"]?(?)+2.0408?(n)+1.4286?(n-1)]

=1.9O48M(H)+0.0952xQ.Tu(n)+1,4286z/(n-1)

1.20,已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為

(1)y(n)=0.6)K〃-1)-0.08)(〃-2)+x(ri)

(2)y(n)=0.7-1)-0.1-2)+2x(n)-x(n-2)

分別求兩個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)(只求前30個序列值即可)。

解：(1)系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為Bl=1;A1=口,-0.6,0.08]。

(2)系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2=[2,0,-1];A2=[1,-0.7,0.1]。

調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的程序exl20.m如下:

%程序exl20.m

Bl=1;A1=",-0.6,0.08];%設(shè)差分方程(1)系數(shù)向量

B2=[2,0-1];A2=11,-0.7,0.11；%設(shè)差分方程(2)系數(shù)向量

%=======================================================

%系統(tǒng)1

xn=[1,zeros。,30)];%x(n尸單位脈沖序列，長度N=31

hnl=filter(Bl,Al,xn);%調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號h(n)

n=0:length(hnl)-l;

subplot(3,2,1);stem(n,hnI

title(r(a)系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng));xlabel(H);ylabelCh(n))

xn=ones(1,30);%x(n)=單位階躍序列，長度N=31

snl=filter(Bl,Al,xn);