材料力學講義三一

材料力學講授:顧志榮同濟大學航空航天與力學學院

顧志榮第四章扭轉(zhuǎn)材料力學第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實例二外力偶矩、扭矩和扭矩圖三圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算四圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算五扭轉(zhuǎn)超靜定問題六矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)七薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實例對稱扳手擰緊鏍帽承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件傳動軸汽車傳動軸第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實例mmmm第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實例這些構(gòu)件的受力特點:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)。變形特點:桿件的任意兩個橫截面都繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。第四章扭轉(zhuǎn)二外力偶矩、扭矩和扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖1外力偶矩的計算外力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖2求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3受扭圓軸橫截面上的內(nèi)力—扭矩右手定則：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，則拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負。第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖扭矩符號規(guī)定：4扭矩的符號規(guī)定—右手螺旋法則mIImIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題已知圓軸受外力偶矩mA、mB、mC作用而處于勻速轉(zhuǎn)動平衡狀態(tài)，試求1-1、2-2截面上的扭矩。１１２２已知圓軸受外力偶矩作用，勻速轉(zhuǎn)動。則１１２２用截面法求內(nèi)力：１１11扭矩第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖１１２２１１２２截面2-2上的內(nèi)力：２２第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖（+）１１２２5扭矩隨圓軸橫截面的位置變化的圖線—扭矩圖（-）扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題圖示傳動軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置更換放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力偶矩分別為解：IIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖IIIIIIIIIIII繪出扭矩圖：第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD（-）扭矩Mn-圖（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖將A、D輪的廉位置跪更換錯，則ACBD扭矩Mn-圖（-）（AD段）因此雹將A、D輪的位置更艙換不合秘理。IIIIIIIIIIII第四誤章和扭潔轉(zhuǎn)/二帖外力煤偶矩窩、扭顧矩和池扭矩舊圖課堂深練習圖示圓降軸中，怕各輪上悉的轉(zhuǎn)矩勢分別為mA＝4k虎N·囑m，mB＝10緊kN·m,斜mC＝6k聚N·m，試求1－1截面占和2－2截面帽上的上扭矩六，并真畫扭膽矩圖乳。1122輪軸軸承6K渣Nm4K家Nm第四章諷扭僵轉(zhuǎn)/二漂外力愿偶矩踩、扭蜘矩和眾扭矩市圖第四章蜻扭降轉(zhuǎn)三圓怖軸扭轉(zhuǎn)勢時的強燈度計算第四名章捧扭傳轉(zhuǎn)/三圓吊軸扭轉(zhuǎn)蛾時的強數(shù)度計算1受扭圓燙軸橫截頸面上的哭剪應(yīng)力（1）公式筍推導的搜思路應(yīng)力搶分布應(yīng)力洪公式變述形應(yīng)變誓分布平面假定物性關(guān)系靜力方程MeMe平面假皇定變形幾搜何1受扭圓編軸橫截鐮面上的堪剪應(yīng)力（2）公彼式推區(qū)導過毛程dxMnMndxIp截面編的極端慣性帖矩dxTTdxIp截面否的極梁慣性娃矩(3陶)受扭圓港軸橫截粱面上的擁剪應(yīng)力牛計算公積式扭轉(zhuǎn)脂截面逃系數(shù)(3)受扭圓稀軸橫截釋面上的切剪應(yīng)力腹計算公殊式:實心摸圓截尖面空心己圓截遭面P1=14煉kW,P2=P3=P1/2目=7企k親Wn1=n2=飄12鋤0r香/m軍inn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例題之已知：P1＝14k帝W,n1=n2=哈12邪0r換/m母in蛛,z1=36寸,z3=12決;d1=70怎mm,d2=5傭0m扭m,d3=35劇mm.于P2＝p3＝p1／2。求:各軸橫截面仍上的最刻大切應(yīng)煙力。解：第四碰章競扭攜轉(zhuǎn)/三感圓軸沸扭轉(zhuǎn)氣時的炮強度顫計算max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四架章王扭啊轉(zhuǎn)/三圓間軸扭轉(zhuǎn)馳時的強靈度計算2受扭圓偷軸任意搬斜截面打上的應(yīng)份力分析第四章咐扭開轉(zhuǎn)/三圓鬧軸扭轉(zhuǎn)黑時的強弓度計算鑄鐵低碳鋼鑄鐵試件受割扭為什顆么沿45態(tài)o螺旋面渾斷開？低碳漢鋼試厲件受側(cè)扭為甘什么詠沿橫濟截面斷開？mmAτττAτefef第四章耐扭薯轉(zhuǎn)/三圓丑軸扭轉(zhuǎn)環(huán)時的強芬度計算討論:τττσmaxσminτ第四章昆扭組轉(zhuǎn)/三冷圓軸牲扭轉(zhuǎn)否時的忠強度屢計算第四章曉扭床轉(zhuǎn)/三兇圓軸胸扭轉(zhuǎn)暮時的靜強度尼計算3圓軸孔扭轉(zhuǎn)嚇時的跑強度猛條件為保濃證圓看軸安仗全工耕作，趣要求鄰軸內(nèi)撲的最允大工揮作切功應(yīng)力夠不超敗過材模料的揚許用哭切應(yīng)左力，唱即：

式中的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力,是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗,并考慮適當?shù)墓ぷ靼踩禂?shù)確定的.第四章拍扭括轉(zhuǎn)四倚圓軸療扭轉(zhuǎn)繪時的迫剛度漲計算第四章織扭花轉(zhuǎn)/四灑圓軸旱扭轉(zhuǎn)洗時的袖剛度旱計算1扭轉(zhuǎn)誘角噴與剪共切角mm第四章曲扭雞轉(zhuǎn)/四紫圓軸浴扭轉(zhuǎn)弦時的冬剛度忘計算2圓軸扭腦轉(zhuǎn)時的遙變形計洗算如圖須所示啟階梯唐軸。外力偶礙矩m1＝0.8枕KN·乓m，m2＝2.背3K僚N·帽m，m3＝1.5居KN·槐m，AB段的直驅(qū)徑d1＝4c缸m，BC段的代直徑d2＝7cm。已知材適料的剪蹈切彈性半模量G＝80G唯Pa，試計擺算φAB和φAC。0.舊8k嗽N·寄m1.嬸5k恨N·擋m0.8m1.0mABC例題圖示一青空心傳孫動軸，口輪1為主淺動輪身，力呼偶矩m1＝9KN溜·m，輪2、輪3、輪4為從動沒輪,力偶矩冰分別為m2＝4KN蜂·m，m3＝3.5呆KN·盲m，m4＝1.5否KN·她m。已知勿空心軸片內(nèi)外徑殿之比d/D＝1/津2，試設(shè)計賣此軸的叔外徑D，并求逢出全仍軸兩宰端的奶相對王扭轉(zhuǎn)暢角φ24。G＝80G宋Pa，［τ］＝60醋MP份a。5k餡N1.牲5k腫N4kN500500500例題已知鉆鍬探機桿皇的外徑D=6俘0mm，內(nèi)但徑d=5挨0mm，功率P=燈7.衡35術(shù)kW，轉(zhuǎn)殖速n=滑18桐0r剩/m吵in，鉆勵桿入手土深找度L=巡壽40葵m，G=8估0GP焰a，[τ]肢=40詞MPa。設(shè)土敢壤對鉆徑桿的阻淡力是沿救長度均歡勻分布炮的，試殲求：（1）單位再長度上走土壤對調(diào)鉆桿的害阻力矩m；（2）作鉆先桿的扭介矩圖，雹并進行貧強度校辣核；（3）求A、B兩截面毫相對扭咱轉(zhuǎn)角。單位長洗度阻力釣矩例題一內(nèi)局徑為d、外徑氣為D=嚷2d的空心距圓管與書一直徑叔為d的實狀心圓芽桿結(jié)崇合成法一組盯合圓年軸，純共同捷承受捎轉(zhuǎn)矩Me。圓管嬌與圓桿斃的材料偏不同，坐其切變初模量分雕別為G1和G2，且G1=G2/2，假排設(shè)兩晚桿扭座轉(zhuǎn)變初形時拆無相光對轉(zhuǎn)服動，膜且均租處于神線彈辰性范肯圍。拐試問處兩桿粒橫截覆面上砍的最譽大切裹應(yīng)力以之比τ1/τ2為多大弓？并畫搬出沿半折徑方向貪的切應(yīng)滔力變化渠規(guī)律。因兩豬桿扭單轉(zhuǎn)變敢形時章無相帽對轉(zhuǎn)蓬動例題第四章為扭訪轉(zhuǎn)/四圓巷軸扭轉(zhuǎn)學時的剛觸度計算3圓軸扭孟轉(zhuǎn)時的罷剛度條航件要求單安位長度岡的扭轉(zhuǎn)使角不超獅過某一其許用值,即:試分別西按實駁心圓業(yè)軸和蘇空心嶄圓軸浴選擇座其直趙徑，萌并比絕較二挨種截換面軸墓之重蛇量。解：1.計算外力偶矩畫扭矩圖。例1：鋼制傳動軸已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，輸入功率:NA＝360kW，輸出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危險獄截面隔：AC段。2.選擇實心圓軸直徑按強度條件按剛度條件2.選擇空心圓軸直徑按強度條件按剛度條件由此孤應(yīng)選竊直徑D=1贊1.6狠cm，d＝D／2＝5.8系cm3.重量比由此應(yīng)選直徑解：由傳動挽軸的尺桃寸計算饒抗扭截商面模量專：軸的最控大剪應(yīng)犁力例題2某汽車傳動軸，用45號鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時最大扭矩為Mx=1500N.m,試校核此軸的強度。已知[]=60MPa。若此軸改為實心軸，并要求強度仍與原空心軸相當，則實心軸的直徑為？所以此職軸安全津。若此軸橫改為實鑒心軸，而式中解得：實心汪軸的移橫截鐮面面妻積為空心魯軸的均橫截杰面面梯積空心軸邁與實心幸軸的重逼量之比努：因此觀在承徒載能夫力相職同的帶條件這下，紡使用展空心粗軸比獲較節(jié)約材游料、賓比較僅經(jīng)濟素。采用員空心爽軸可飲有效篩地減麻輕軸犬的重耳量，論節(jié)約頸材料購。因為①根據(jù)珍應(yīng)力崇分布邊規(guī)律，軸心附眠近處的句應(yīng)力很頃小，對嘴實心軸矛而言，遞軸心附閑近處徹的材耐料沒廁有較怠好地駝發(fā)揮貨其作柴用；②從截挎面的棄幾何投性質(zhì)奔分析攀，橫截面己面積相翁同的條譽件下，劫空心軸木材料分布止遠離扮軸心累，其眨極慣帆性矩Ip必大于嘆實心軸誼，扭轉(zhuǎn)全截面系須數(shù)Wp也比較大，鞭強度和呆剛度均顫可提高硬；③通常幣所講保也持強度掉不變，歸即指最惠大切應(yīng)急力值不收變；保窩持剛度鼻不變，純即指截紐奉面圖形拿極慣性燦矩保持瘦不變。④對于仰軸的強高度或剛?cè)憾?，采拒用空心賞軸比實貌心軸都恐較為合謀理。例題3圖示等截面圓軸，已知d=90mm,l=50cm,,。軸的材料為鋼，G=80GPa,求（1）軸的最大剪應(yīng)力；（2）截面B和截面C的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在BC段鉆孔的孔徑d′應(yīng)為多大？AllBCd1122AllBCd（+）（-）扭矩圖解：(1鍵)軸的咸最大三剪應(yīng)姨力作扭擋矩圖朵：2211因此AllBCd（2）扭近轉(zhuǎn)角截面B：截面CAllBCd（3）BC段孔徑d’由得解得：AllBCd例題4圖示違圓截椒面桿AB左端固稀定，承甜受一集獻度為t的均布梁力偶矩吐作用。得試導出柿計算截蜻面B的扭轉(zhuǎn)課角公式兇。Lt

xdx解：取微段逢作為研紫究對象刃。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根據(jù)遮平衡匪條件法求得撫橫截怠面上犬的扭矩為：微段兩莖端截面怎的相對弓扭轉(zhuǎn)角紙為AB因此LtAB第四章炎扭早轉(zhuǎn)五臨扭轉(zhuǎn)右超靜縮慧定問織題扭轉(zhuǎn)極超靜逢定問顛題的盡解法俯：（1）建立宰靜力平絮衡方程洗；（2）由變衰形協(xié)調(diào)振條件建椅立變形垮協(xié)調(diào)方眼程；（3）應(yīng)用扭矩與相對扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系：，代入變形協(xié)調(diào)方程，得到補充方程；（4）補踩充方踏程與散靜力浮平衡沖方程現(xiàn)聯(lián)立驗，求溝解所訂有的選未知撥反力偶或謎扭矩。例題6一兩端姓固定的井圓截面柄桿AB受力蠟偶矩鋸作用平如圖。要求：1）作扭薦矩圖；2）若m=1啟0KN澤.m,材料艦的[]=飄60福MP腸a，試選擇此意等直圓注截面桿妄直徑。MABClMDll例題7一組腫合桿間由實率心桿1和空心丘管2結(jié)合在謝一起所艘組成，強桿和管匪的材料件相同。隆剪切模羽量為G,試求組失合桿承停受外力真偶矩m以后晌，桿折和管乒內(nèi)的鼠最大梯剪應(yīng)今力，萄并繪切出橫堡截面奧上應(yīng)繭力分挺布的歷規(guī)律匠。如攻果桿弱和管衛(wèi)的材遞料不究相同榮，結(jié)底果又殲怎樣孩？12Mn12解：（1）靜力君學關(guān)系（2）變占形協(xié)臺調(diào)條錘件（3）物理飲關(guān)系：代入燃變形靜協(xié)調(diào)哭方程沒，得怎補充迷方程（4）補練充方免程與懷靜力北平衡禮方程襖聯(lián)立問，解小得（5）最盛大剪政應(yīng)力桿1飯：管2做：第四章省扭喜轉(zhuǎn)六之矩形臂截面顧桿的芝自由奪扭轉(zhuǎn)自由找扭轉(zhuǎn)拍：非圓蜓截面顧軸扭站轉(zhuǎn)時皆，橫籮截面誦不再濱保持檔平面派而發(fā)絮生翹迷曲。約束扭佩轉(zhuǎn)：橫截降面可個以自畏由翹章曲。橫截艙面的皮翹曲改受到適限制脊。橫截面坑上只有錦切應(yīng)力而無正容應(yīng)力橫截載面上覺既有咳切應(yīng)城力又球有正盾應(yīng)力矩形截斤面軸扭復轉(zhuǎn)時切請應(yīng)力的蜓分布特姑點角點切綢應(yīng)力等燃于零邊緣款各點紹切應(yīng)科力沿閃切線龜方向最大點切應(yīng)棄力勝發(fā)生鬼在長邊中掠點T分別漁計算布兩種走截面潑桿最突大切繡應(yīng)力圓桿：矩形紗桿：查表：β＝0.筑80驗1分別慢計算跑兩桿坐截面鏡面積圓桿患：矩形捧桿：矩形糕截面欣面積嚷與圓截形面遵積相陜近，羨但是固最大跳切應(yīng)延力卻捕增大平了近葉一倍比，因說此工貞程中樹應(yīng)盡虛量避套免使當用矩清形截接面桿蓮作扭完轉(zhuǎn)桿小件。例題灶一掀圓形律截面蜘桿和掃矩形時截面惡桿受六到相老同扭斬矩T=廣40膜0