人教A版高中數(shù)學二同步學習講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.3~2.1.4 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系學習目標1.掌握直線與平面的三種位置關(guān)系，會判斷直線與平面的位置關(guān)系.2.學會用圖形語言、符號語言表示三種位置關(guān)系.3。掌握空間中平面與平面的位置關(guān)系．知識點一直線和平面的位置關(guān)系思考如圖所示,在長方體ABCD—A1B1C1D1中線段BC1所在的直線與長方體的六個面所在的平面有幾種位置關(guān)系？答案三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；(2)直線與平面相交；（3)直線與平面平行．梳理直線l與平面α的位置關(guān)系（1）直線l在平面α內(nèi)(l?α)．（2）直線l在平面α外l?αeq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（直線l與平面α相交l∩α＝A,直線l與平面α平行l(wèi)∥α))知識點二兩個平面的位置關(guān)系思考觀察前面問題中的長方體，平面A1C1與長方體的其余各個面,兩兩之間有幾種位置關(guān)系?答案兩種位置關(guān)系：兩個平面相交或兩個平面平行．梳理平面α與平面β的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行α∥β0個兩平面相交α∩β＝l無數(shù)個點(共線）類型一直線與平面的位置關(guān)系例1下列四個命題中正確命題的個數(shù)是（）①如果a，b是兩條直線,a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行;③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；④如果a與平面α上的無數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.A．0B．1C．2D．3答案B解析如圖,在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命題②不正確；③中，假設(shè)b與α相交，因為a∥b,所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即③正確；④顯然不正確,故答案為B。反思與感悟空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行．本題借助幾何模型判斷，通過特例排除錯誤命題．對于正確命題,根據(jù)線、面位置關(guān)系的定義或反證法進行判斷,要注意多種可能情形．跟蹤訓練1下列命題(其中a,b表示直線,α表示平面)：①若a∥b，b?α,則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b;③若a∥b,b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α,則a∥b.其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案A解析如圖所示，在長方體ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD,故①錯誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交,故②錯誤；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯誤．類型二平面與平面之間的位置關(guān)系eq\x（命題角度1兩平面位置關(guān)系的判斷）例2α、β是兩個不重合的平面，下面說法中，正確的是（)A．平面α內(nèi)有兩條直線a、b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥βC．若直線a與平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保證α、β無公共點,如圖1所示；C中當a∥α,a∥β時，α與β可能相交，如圖2所示;只有D說明α、β一定無公共點．反思與感悟判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系，要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識，結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題，作出判斷．跟蹤訓練2已知兩平面α、β平行，且a?α,下列四個命題:①a與β內(nèi)的所有直線平行;②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③直線a與β內(nèi)任何一條直線都不垂直；④a與β無公共點．其中正確命題的個數(shù)是(）A．1B．2C．3D．4答案B解析①中a不能與β內(nèi)的所有直線平行而是與無數(shù)條直線平行，有一些是異面；②正確;③中直線a與β內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；④根據(jù)定義a與β無公共點，正確．eq\x(命題角度2兩平面位置關(guān)系的作圖)例3（1）畫出兩平行平面；（2)畫出兩相交平面．解兩個平行平面的畫法：畫兩個平行平面時，要注意把表示平面的平行四邊形畫成對應邊平行，如圖a所示．兩個相交平面的畫法：第一步，先畫表示平面的平行四邊形的相交兩邊，如圖b所示；第二步，再畫出表示兩個平面交線的線段，如圖c所示;第三步，過b中線段的端點分別引線段，使它們平行且等于圖c中表示交線的線段，如圖d所示；第四步,畫出表示平面的平行四邊形的第四邊(被遮住部分線段可畫成虛線，也可不畫),如圖e所示．引申探究在圖中畫出一個平面與兩個平行平面相交．解跟蹤訓練3試畫出相交于一點的三個平面．解如圖所示（不唯一)．1．下列圖形所表示的直線與平面的位置關(guān)系，分別用符號表示正確的一組是()A．a(chǎn)?α，a∩α＝A,a∥α B．a(chǎn)?α，a∩α＝A，a∥αC．a(chǎn)?α，a∩α＝A，a∥α D．a(chǎn)∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直線在平面內(nèi)用“?”，故選C.2．如圖所示，用符號語言可表示為(）A．α∩β＝lB．α∥β,l∈αC．l∥β，l?αD．α∥β,l?α答案D3．若直線l不平行于平面α,且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交答案B解析由題意知，直線l與平面α相交，則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系，因而只有選項B是正確的．4．經(jīng)過平面外兩點可作該平面的平行平面的個數(shù)是________．答案0或1解析若平面外兩點所在直線與平面相交時，經(jīng)過這兩點與已知平面平行的平面不存在．若平面外兩點所在直線與已知平面平行時，此時,經(jīng)過這兩點有且只有一個平面與已知平面平行．5．如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，分別指出直線B1C，D1B與正方體六個面所在平面的關(guān)系．解根據(jù)圖形，直線B1C?平面B1C，直線B1C∥平面A1D，與其余四個面相交，直線D1B與正方體六個面均相交．1．弄清直線與平面各種位置關(guān)系的特征，利用其定義作出判斷,要有畫圖意識，并借助于空間想象能力進行細致的分析．2．長方體是一個特殊的圖形，當點、線、面關(guān)系比較復雜時，可以尋找長方體作為載體，將它們置于其中，立體幾何的直線與平面的位置關(guān)系都可以在這個模型中得到反映．因而人們給它以“百寶箱"之稱．課時作業(yè)一、選擇題1．已知直線a在平面α外，則（)A．a(chǎn)∥αB．直線a與平面α至少有一個公共點C．a(chǎn)∩α＝AD．直線a與平面α至多有一個公共點答案D解析因已知直線a在平面α外，所以a與平面α的位置關(guān)系為平行或相交，因此斷定a∥α或斷定a與α相交都是錯誤的，但無論是平行還是相交,直線a與平面α至多有一個公共點是正確的，故選D。2．與同一個平面α都相交的兩條直線的位置關(guān)系是（)A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能答案D解析直線l1,l2和平面α,有如下情況：故選D.3．若平面α∥平面β，l?α,則l與β的位置關(guān)系是()A．l與β相交 B．l與β平行C．l在β內(nèi) D．無法判定答案B解析∵α∥β，∴α與β無公共點．∵l?α，∴l(xiāng)與β無公共點，∴l(xiāng)∥β。4．下列命題中的真命題是(）A．若點A∈α，點B?α，則直線AB與平面α相交B．若a?α，b?α，則a與b必異面C．若點A?α，點B?α，則直線AB∥平面αD．若a∥α，b?α，則a∥b答案A解析若a?α，b?α，則a與b平行、相交或異面,故B不正確．對直線AB上兩點A，B雖然都不在α內(nèi)，但直線AB與平面α可能有公共點，故直線AB與平面α也可能相交,故C不正確．eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a∥α，b?α))?a∥b或a，b異面,故D不正確．5．下列命題中，正確的有（）①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一個平面的兩條直線平行；③平行于同一條直線的兩個平面平行;④平行于同一個平面的兩個平面平行．A．1個B．2個C．3個D．4個答案B解析②中，也有可能是相交或異面，故②錯誤；③中,存在平行于兩個相交平面的交線,且不在兩個平面內(nèi)的直線，故③錯誤．6．若三個平面兩兩相交，則它們的交線條數(shù)是（）A．1B．2C．1或3D．3答案C解析三個平面兩兩相交,類似于三條直線兩兩相交,它們的交線有1條或3條．7．下列命題正確的是（)①兩個平面平行，這兩個平面內(nèi)的直線都平行；②兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一平面；③兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)一條直線和另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行;④兩個平面平行,各任取兩平面的一條直線，它們不相交．A．① B．②③④C．①②③ D．①④答案B解析①不正確,因為有的直線可能是異面;②③④都正確，可根據(jù)線面平行的定義或面面平行的定義或觀察幾何體模型進行判斷．8.在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中,與棱AA1平行的平面共有()A．2個B．3個C．4個D．5個答案B解析如圖所示,結(jié)合圖形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D。二、填空題9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是________；(2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是________．答案（1）平行(2)相交解析（1)AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點，所以平行；（2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點B，故相交．10．若a，b是兩條異面直線,且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________．答案b?α，b∥α或b與α相交解析b與α有如下情況:故答案為b?α，b∥α，或b與α相交．11．互不重合的三個平面最多可以把空間分成________個部分．答案8解析互不重合的三個平面將空間分成五種情形：當三個平面互相平行時,將空間分成四部分；當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分；當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分;當三個平面相交于三條直線時，且三條交線交于同一點時，將空間分成八個部分;當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時,將空間分成七部分．即不重合的三個平面可以將空間分成四部分或六部分或七部分或八部分．所以最多將空間分成8部分．12．若不共線的三點到平面α的距離相等,則該三點確定的平面β與α之間的關(guān)系是____．答案平行或相交解析當三點在平面α的同側(cè)時，如圖1所示，由點A,B，C到平面α的距離相等，設(shè)到α的點為D，E，F(xiàn),則有構(gòu)成三個長方形ABED，BCFE，CADF,于是就有AB∥DE，BC∥EF，因為兩相交直線平行，所以α∥β。當三點在平面β的異側(cè)時，如圖2所示也成立．三、解答題13．如圖所示,在長方體ABCD－A1B1C1D1中,直線B1D1與長方體的六個面之間的位置關(guān)系如何？解B1D1在平面A1C1內(nèi)，B1D1與平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交,B1D1與平面AC平行．四、探究與拓展14．直線a∥平面α，直線b∥平面α,則直線a與b的位置關(guān)系為（)A．相交 B．平行C．異面 D．平行或異面或相交答案D解析∵a∥α，∴a與α無公共點．∵b∥α，∴b與α也無公共點，∴a∥b或a與b異面或a與b相交．15．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E是AA1的中點,畫出過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線,并說明理由.解如圖，取AB的中點F,連接EF,A1B,CF.∵E是AA1的中點,∴