2020-2021學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)、海珠區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)、海珠區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）若復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A． B．1 C．5 D．2．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，則x＝（）A．﹣9 B．9 C．﹣4 D．43．（5分）高一年級有男生510人，女生490人，小明按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，總樣本量為100．則在男生中抽取的樣本量為（）A．48 B．51 C．50 D．494．（5分）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，△A'B′C′為等腰直角三角形，其中O′與A′重合，A'B′＝6，則△ABC的面積是（）A．9 B．9 C．18 D．185．（5分）已知||＝6，||＝4，與的夾角為60°，則（+2）?（﹣3）＝（）A．﹣72 B．72 C．84 D．﹣846．（5分）某學(xué)校開展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走“學(xué)習(xí)活動，劉老師去購書中心購買了一批書籍作為閱讀學(xué)習(xí)之用，其中一類是4本不同的紅色經(jīng)典小說類書籍，另一類是2本不同的黨史類書籍，兩類書籍合計(jì)共6本．現(xiàn)劉老師從這6本書中隨機(jī)抽取2本閱讀，則這兩本書恰好來自同一類書籍的概率是（）A． B． C． D．7．（5分）如圖，已知＝，＝，任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為S，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為N，則向量＝（）A．（+） B．2（+） C．（﹣） D．2（﹣）8．（5分）已知圖1是棱長為1的正六邊形ABCDEF，將其沿直線FC折疊成如圖2的空間圖形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，則空間幾何體F'A'E'﹣CB'D'的體積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報(bào)靶數(shù)據(jù)如下：7，8，9，10，6，8，（單位：環(huán)），下列說法正確的有（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8 B．這組數(shù)據(jù)的極差是4 C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5 D．這組數(shù)據(jù)的方差是2（多選）10．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的有（）A．當(dāng)α＝﹣時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限 B．當(dāng)α＝時(shí)，z為純虛數(shù) C．|z|最大值為 D．z的共軛復(fù)數(shù)為＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）（多選）11．（5分）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說法正確的有（）A．該圓臺軸截面ABCD面積為3cm2 B．該圓臺的體積為cm3 C．該圓臺的母線AD與下底面所成的角為30° D．沿著該圓臺表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm（多選）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，滿足x+y+z＝0，下列說法正確的有（）A．若x＝y(tǒng)＝z＝1，則點(diǎn)O為△ABC的重心 B．若x＝y(tǒng)＝z＝1，則點(diǎn)O為△ABC的外心 C．若x＝a，y＝b，z＝c，則點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心 D．若x＝a，y＝b，z＝c，則點(diǎn)O為△ABC的垂心三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為．14．（5分）天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)甲，乙兩地只有一個(gè)地方降雨的概率是．15．（5分）如圖，在三棱錐V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，則二面角A﹣VC﹣B的余弦值為．16．（5分）如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，M，N分別為線段AC，AB上一點(diǎn)，滿足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN與BM的交點(diǎn)為P，則線段AP的長度為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）現(xiàn)有兩個(gè)紅球（記為R1，R2），兩個(gè)白球（記為W1，W2），采用不放回簡單隨機(jī)抽樣從中任意抽取兩球．（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．18．（12分）已知角A是△ABC的內(nèi)角，若＝（sinA，cosA），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）設(shè)f（x）＝，當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：直線BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求異面直線AB'與CD所成角的大?。?0．（12分）2021年五一假期，各高速公路車流量大，交管部門在某高速公路區(qū)間測速路段隨機(jī)抽取40輛汽車進(jìn)行車速調(diào)查，將這40輛汽車在該區(qū)間測速路段的平均車速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如圖的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這40輛汽車的平均車速的中位數(shù)；（2）現(xiàn)從平均車速在區(qū)間[90，100）的車輛中任意抽取2輛汽車，求抽取的2輛汽車的平均車速都在區(qū)間[95，100）上的概率；（3）出于安全考慮，測速系統(tǒng)對平均車速在區(qū)間[115，120]的汽車以實(shí)時(shí)短信形式對車主進(jìn)行安全提醒，確保行車安全．假設(shè)每輛在此區(qū)間測速路段行駛的汽車平均車速相互不受影響，以此次調(diào)查的樣本頻率估計(jì)總體概率，求連續(xù)2輛汽車都收到短信提醒的概率？21．（12分）如圖，PA垂直于⊙O所在的平面，AC為⊙O的直徑，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE⊥PB，點(diǎn)F為線段BC上一動點(diǎn)．（1）證明：平面AEF⊥平面PBC；（2）當(dāng)點(diǎn)F移動到C點(diǎn)時(shí)，求PB與平面AEF所成角的正弦值．22．（12分）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：△BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘△MNC周圍筑起護(hù)欄．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m時(shí)，求護(hù)欄的長度（△MNC的周長）；（2）若魚塘△MNC的面積是“民宿”△CMA的面積的倍，求∠ACM；（3）當(dāng)∠ACM為何值時(shí)，魚塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)、海珠區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）若復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A． B．1 C．5 D．【分析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z＝，∴|z|＝||＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，則x＝（）A．﹣9 B．9 C．﹣4 D．4【分析】根據(jù)可得出，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出x的值．【解答】解：∵，∴，解得x＝9．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）高一年級有男生510人，女生490人，小明按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，總樣本量為100．則在男生中抽取的樣本量為（）A．48 B．51 C．50 D．49【分析】利用分層抽樣的比例關(guān)系列式求解．【解答】解：高一年級共有510+490＝1000人，所以男生抽取的人數(shù)為人．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，△A'B′C′為等腰直角三角形，其中O′與A′重合，A'B′＝6，則△ABC的面積是（）A．9 B．9 C．18 D．18【分析】把斜二測直觀圖還原，求出AB、AC的長度，代入三角形面積公式得答案．【解答】解：在斜二測直觀圖中，由△A'B′C′為等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′＝，還原原圖形如圖：則AB＝6，AC＝6，則＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查斜二測畫直觀圖，熟記斜二測的畫法是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．5．（5分）已知||＝6，||＝4，與的夾角為60°，則（+2）?（﹣3）＝（）A．﹣72 B．72 C．84 D．﹣84【分析】由已知求得，再展開多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，代入數(shù)量積得答案．【解答】解：∵||＝6，||＝4，與的夾角為60°，∴＝，則（+2）?（﹣3）＝＝36﹣12﹣6×16＝﹣72．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（5分）某學(xué)校開展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走“學(xué)習(xí)活動，劉老師去購書中心購買了一批書籍作為閱讀學(xué)習(xí)之用，其中一類是4本不同的紅色經(jīng)典小說類書籍，另一類是2本不同的黨史類書籍，兩類書籍合計(jì)共6本．現(xiàn)劉老師從這6本書中隨機(jī)抽取2本閱讀，則這兩本書恰好來自同一類書籍的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用組合數(shù)分別求出6本書隨機(jī)抽取2本的取法和2本書來自同一書籍的取法，再利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：從6本書中隨機(jī)抽取2本，共有種取法，若兩本書來自同一類書籍則有種取法，所以兩本書恰好來自同一類書籍的概率是．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查組合數(shù)的應(yīng)用，古典概型，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）如圖，已知＝，＝，任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為S，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為N，則向量＝（）A．（+） B．2（+） C．（﹣） D．2（﹣）【分析】由已知得AB是△MNS的中位線，從而＝2，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵＝，＝，任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為S，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為N，∴AB是△MNS的中位線，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題型．8．（5分）已知圖1是棱長為1的正六邊形ABCDEF，將其沿直線FC折疊成如圖2的空間圖形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，則空間幾何體F'A'E'﹣CB'D'的體積為（）A． B． C． D．【分析】過A′作A′G⊥C′F′，垂足為G，連接E′G，則E′G⊥C′F′，過B′作B′H⊥C′F′，垂足為H，連接D′H，則D′H⊥C′F′，把幾何體的體積轉(zhuǎn)化為一個(gè)直三棱柱與兩個(gè)全等的三棱錐的體積求解．【解答】解：如圖，過A′作A′G⊥C′F′，垂足為G，連接E′G，則E′G⊥C′F′，過B′作B′H⊥C′F′，垂足為H，連接D′H，則D′H⊥C′F′，可得平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′為直三棱柱．∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，可得，，同理求得，，又A′E′＝，∴A′G2+E′G2＝A′E′2，∴空間幾何體F'A'E'﹣CB'D'的體積為V＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報(bào)靶數(shù)據(jù)如下：7，8，9，10，6，8，（單位：環(huán)），下列說法正確的有（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8 B．這組數(shù)據(jù)的極差是4 C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5 D．這組數(shù)據(jù)的方差是2【分析】利用平均數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義直接判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：對于A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（7+8+9+10+6+8）＝8，故A正確；對于B，這組數(shù)據(jù)的極差是10﹣6＝4，故B正確；對于C，這組數(shù)據(jù)從小到大為6，7，8，8，9，10，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8，故C錯(cuò)誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的方差是S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝，故D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，平均數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的有（）A．當(dāng)α＝﹣時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限 B．當(dāng)α＝時(shí)，z為純虛數(shù) C．|z|最大值為 D．z的共軛復(fù)數(shù)為＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）【分析】分別把角α代入判斷A與B；利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算|z|并求最大值判斷C；由共軛復(fù)數(shù)的概念判斷D．【解答】解：對于A，當(dāng)α＝﹣時(shí)，z＝cos（）+[sin（）]i＝﹣，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第四象限，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)α＝時(shí)，z＝cos+（sin）i＝，為純虛數(shù)，故B正確；對于C，，最大值為，故C正確；對于D，z的共軛復(fù)數(shù)為＝cosα﹣（sinα）i，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，訓(xùn)練了三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說法正確的有（）A．該圓臺軸截面ABCD面積為3cm2 B．該圓臺的體積為cm3 C．該圓臺的母線AD與下底面所成的角為30° D．沿著該圓臺表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm【分析】求得圓臺的下底面的半徑和高，由梯形的面積公式，計(jì)算可判斷A；由圓臺的體積公式，計(jì)算可判斷B；由線面角的定義，計(jì)算可判斷C；將圓臺補(bǔ)成圓錐，得到展開圖，求得圓心角，運(yùn)用勾股定理，計(jì)算可判斷D．【解答】解：由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4，高O1O2＝＝，則圓臺軸截面ABCD面積為（2+4）×＝3cm2，故A正確；圓臺的體積為V＝π（1+4+2）×＝πcm3，故B正確；圓臺的母線AD與下底面所成的角為∠ADO1，其正弦值為，所以∠ADO1＝60°，故C錯(cuò)誤；由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm，底面半徑為2cm，側(cè)面展開圖的圓心角為θ＝＝π，設(shè)AD的中點(diǎn)為P，連接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，則CP＝＝5，所以沿著該圓臺表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查圓臺的定義和性質(zhì)，以及體積、側(cè)面展開圖，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，滿足x+y+z＝0，下列說法正確的有（）A．若x＝y(tǒng)＝z＝1，則點(diǎn)O為△ABC的重心 B．若x＝y(tǒng)＝z＝1，則點(diǎn)O為△ABC的外心 C．若x＝a，y＝b，z＝c，則點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心 D．若x＝a，y＝b，z＝c，則點(diǎn)O為△ABC的垂心【分析】假設(shè)三角形內(nèi)一點(diǎn)O分別為內(nèi)心，外心，重心，利用結(jié)論S△BOC+S△AOC+S△AOB＝推導(dǎo)變形驗(yàn)證．【解答】解：若x＝y(tǒng)＝z＝1則，∴．取AC中點(diǎn)D，連接OD，∴．∴O在△ABC的中線BD上，同理可得O在其它兩邊的中線上，∴O是△ABC的重心．若x＝a，y＝b，z＝c，則有，延長CO交AB于D，則，，∴a（）+b（）+c＝，設(shè)＝k，則（ka+kb+c）+（a+b）＝，∵與共線，與，不共線，∴ka+kb+c＝0，a+b＝，∴，∴CD為∠ACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線．∴O是△ABC的內(nèi)心．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的基本定理，記住三角形內(nèi)一點(diǎn)的一般結(jié)論是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為212．【分析】根據(jù)題意，將數(shù)據(jù)按照從小到大排列，然后利用百分位數(shù)的定義求解，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；10×60%＝6，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為＝212，故答案為：212．【點(diǎn)評】本題考查百分位數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是掌握百分位數(shù)的定義以及計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)甲，乙兩地只有一個(gè)地方降雨的概率是0.38．【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，而要求概率P＝P（A）+P（B），計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，甲，乙兩地只有一個(gè)地方降雨的概率P＝P（A）+P（B）＝0.2×（1﹣0.3）+（1﹣0.2）×0.3＝0.38；故答案為：0.38．【點(diǎn)評】本題考查向量獨(dú)立事件和互斥事件概率的計(jì)算，注意分析事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）如圖，在三棱錐V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，則二面角A﹣VC﹣B的余弦值為．【分析】取VC的中點(diǎn)D，連接AD、BD，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥VC，BD⊥VC，從而確定∠ADB即為二面角A﹣VC﹣B的平面角，在三角形中由余弦定理求解即可．【解答】解：取VC的中點(diǎn)D，連接AD、BD，因?yàn)閂A＝VB＝AC＝BC＝4，所以AD⊥VC，BD⊥VC，所以∠ADB即為二面角A﹣VC﹣B的平面角，因?yàn)閂A＝VB＝AC＝BC＝4，VC＝2，所以AD＝BD＝，而AB＝4，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了二面角的求解，涉及了三棱錐幾何性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由二面角的平面角的定義確定出所求的角，考查了邏輯推理能力、空間想象能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（5分）如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，M，N分別為線段AC，AB上一點(diǎn)，滿足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN與BM的交點(diǎn)為P，則線段AP的長度為．【分析】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫出直線BM和CN的方程，聯(lián)立解方程組，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式，得解．【解答】解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直線BM的方程為y＝（x﹣1），即x+5y﹣＝0，直線CN的方程為y＝（x﹣），即4x﹣2y﹣＝0，聯(lián)立，解得，即P（，），所以AP＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查直線的方程，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）現(xiàn)有兩個(gè)紅球（記為R1，R2），兩個(gè)白球（記為W1，W2），采用不放回簡單隨機(jī)抽樣從中任意抽取兩球．（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．【分析】（1）利用列舉法，直接求出試驗(yàn)的樣本空間．（2）試驗(yàn)的樣本空間包含6個(gè)樣本點(diǎn)，其中恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球包含4個(gè)樣本點(diǎn)，由此能求出恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．【解答】解：（1）兩個(gè)紅球（記為R1，R2），兩個(gè)白球（記為W1，W2），采用不放回簡單隨機(jī)抽樣從中任意抽取兩球，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}．（2）試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}，包含6個(gè)樣本點(diǎn)，其中恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球包含4個(gè)樣本點(diǎn)，∴恰好抽到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率P＝＝．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．（12分）已知角A是△ABC的內(nèi)角，若＝（sinA，cosA），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）設(shè)f（x）＝，當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）．【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求得sin（A+）＝0，結(jié)合A的范圍求解角A；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得f（x）＝，整理后可得使f（x）求得最大值的角A，得到，再由向量在向量方向上的投影概念求解在上的投影向量．【解答】解：（1）∵角A是△ABC的內(nèi)角，∴0＜A＜π，又＝（sinA，cosA），＝（1，﹣1）且，∴﹣，即2（sinA+）＝0，∴sin（A+）＝0，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，則A+＝π，即A＝；（2）f（x）＝＝＝，∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，則，即A＝．∴＝（，cos）＝（，﹣），∴在上的投影向量為＝?（1，﹣1）＝（1，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量在向量方向上的投影概念，是中檔題．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：直線BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求異面直線AB'與CD所成角的大?。痉治觥浚?）連接AC′，交AC于點(diǎn)O，連接DO，推導(dǎo)出OD∥BC′，由此能證明直線BC′∥平面A'CD；（2）法一：推導(dǎo)出CD⊥AB，AA′⊥CD，從而CD⊥平面ABB′A′，AB′⊥CD，由此能求出異面直線AB'與CD所成角的大?。ǘ阂訢為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，過D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB'與CD所成角的大?。窘獯稹拷猓海?）證明：連接AC′，交AC于點(diǎn)O，連接DO，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，ACC′A′是矩形，∴O是AC′中點(diǎn)，∵D是AB的中點(diǎn)，∴OD∥BC′，∵BC′?平面A'CD，OD?平面A'CD，∴直線BC′∥平面A'CD；（2）解法一：∵AC＝CB，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AA′⊥平面ABC，∴CD?平面ABC，∴AA′⊥CD，∵AB∩AA′＝A，∴CD⊥平面ABB′A′，∵AB′?平面ABB′A′，∴AB′⊥CD，∴異面直線AB'與CD所成角的大小為90°．解法二：∵AC＝CB，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，過D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD＝c，AB＝a，AA′＝b，則A（﹣，0，0），B′（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），＝（a，0，b），＝（0，﹣c，0），∵?＝0，∴AB′⊥CD，∴異面直線AB'與CD所成角的大小為90°．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（12分）2021年五一假期，各高速公路車流量大，交管部門在某高速公路區(qū)間測速路段隨機(jī)抽取40輛汽車進(jìn)行車速調(diào)查，將這40輛汽車在該區(qū)間測速路段的平均車速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如圖的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這40輛汽車的平均車速的中位數(shù)；（2）現(xiàn)從平均車速在區(qū)間[90，100）的車輛中任意抽取2輛汽車，求抽取的2輛汽車的平均車速都在區(qū)間[95，100）上的概率；（3）出于安全考慮，測速系統(tǒng)對平均車速在區(qū)間[115，120]的汽車以實(shí)時(shí)短信形式對車主進(jìn)行安全提醒，確保行車安全．假設(shè)每輛在此區(qū)間測速路段行駛的汽車平均車速相互不受影響，以此次調(diào)查的樣本頻率估計(jì)總體概率，求連續(xù)2輛汽車都收到短信提醒的概率？【分析】（1）由頻率分布直方圖得這40輛汽車平均車速中位數(shù)的估計(jì)值．（2）車速在[90，95）內(nèi)的有2輛，車速在[95，100）的有4輛，從車速在[90，100）的車輛中任意抽取2輛，基本事件總數(shù)n＝15，可直接求出取的2輛車的車速都在[95，100）的車輛數(shù)為2輛的概率．（3）先求出汽車收到短信提醒的概率，接著再求連續(xù)兩輛都收到短信提醒的概率．【解答】解：（1）設(shè)平均車速的中位數(shù)的估值為x，則0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣105.0）＝0.5x＝107.5故平均車速的中位數(shù)為107.5．（2）車速在[90，95）內(nèi)的有0.01×40×5＝2，車速在[95，100）的有0.02×40×5＝4，故抽取的2輛汽車的平均車速都在區(qū)間[95，100）上的概率．（3）設(shè)事件A為“汽車收到短信提醒”，則，∵汽車的速度不受影響，∴連續(xù)兩輛汽車都收到短信體現(xiàn)的概率P＝．【點(diǎn)評】解決頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問題，中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；此題把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應(yīng)引起重視21．（12分）如圖，PA垂直于⊙O所在的平面，AC為⊙O的直徑，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE⊥PB，點(diǎn)F為線段BC上一動點(diǎn)．（1）證明：平面AEF⊥平面PBC；（2）當(dāng)點(diǎn)F移動到C點(diǎn)時(shí)，求PB與平面AEF所成角的正弦值．【分析】（1）由PA⊥BC，AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，從而可得BC⊥AE，已知AE⊥PB，從而可得AE⊥平面PBC，即可證明平面AEF⊥平面PBC；（2）利用等體積法求出點(diǎn)B到平面AEF的距離，求出EB，即可求得PB與平面AEF所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)镻A垂直于⊙O所在的平面，即PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AC為⊙O的直徑，所以AB⊥BC，因?yàn)镻A∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，因?yàn)锳E⊥PB，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又AE