平面向量數(shù)量積運算專題(附答案)

平面向量數(shù)量積運算專題(附答案)平面向量數(shù)量積運算專題(附答案)/NUM平面向量數(shù)量積運算專題(附答案)平面向量數(shù)量積運算專題(附答案)平面向量數(shù)量積運算題型一平面向量數(shù)量積的基本運算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，則λ的值為________.(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為()A.－4＋eq\r(2) B.－3＋eq\r(2)C.－4＋2eq\r(2) D.－3＋2eq\r(2)變式訓練1(2015·湖北)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D.π(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝3，則2a－b與a＋2b的夾角的余弦值等于()A.eq\f(1,26)B.－eq\f(1,26)C.eq\f(1,12) D.－eq\f(1,12)變式訓練2(2014·課標全國Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為________.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，則|2a＋b|等于()A.2 B.4C.2eq\r(5) D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________.變式訓練3(2015·浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.高考題型精練1.(2015·山東)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a22.(2014·浙江)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設a，b為平面向量，則()A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|23.(2015·湖南)已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.94.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，則p·(b－a)等于()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)5.在平面上，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB2,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→)).若|eq\o(OP,\s\up6(→))|<eq\f(1,2)，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(5),2)] B.(eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(7),2)]C.(eq\f(\r(5),2)，eq\r(2)] D.(eq\f(\r(7),2)，eq\r(2)]6.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，點M滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MA,\s\up6(→))，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014·安徽)設a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.08.(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________.9.設非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________.10.如圖，在△ABC中，O為BC中點，若AB＝1，AC＝3，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________.11.已知向量a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝(cosx，－1).當a∥b時，求cos2x－sin2x的值；12.在△ABC中，AC＝10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD＝5，且滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(DB,\s\up6(→)).(1)求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|；(2)存在實數(shù)t≥1，使得向量x＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))，y＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量數(shù)量積運算題型一平面向量數(shù)量積的基本運算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，則λ的值為________.(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為()A.－4＋eq\r(2) B.－3＋eq\r(2)C.－4＋2eq\r(2) D.－3＋2eq\r(2)答案(1)2(2)D解析(1)如圖，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3λ)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝2×2×cos120°＋eq\f(1,λ)×2×2＋eq\f(1,3)×2×2＋eq\f(1,3λ)×2×2×cos120°＝－2＋eq\f(4,λ)＋eq\f(4,3)－eq\f(2,3λ)＝eq\f(10,3λ)－eq\f(2,3)，又∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，∴eq\f(10,3λ)－eq\f(2,3)＝1，∴λ＝2.(2)方法一設|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝x，∠APB＝θ，則taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,x)，從而cosθ＝eq\f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq\f(x2－1,x2＋1).eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|·cosθ＝x2·eq\f(x2－1,x2＋1)＝eq\f(x4－x2,x2＋1)＝eq\f(x2＋12－3x2＋1＋2,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(2,x2＋1)－3≥2eq\r(2)－3，當且僅當x2＋1＝eq\r(2)，即x2＝eq\r(2)－1時取等號，故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為2eq\r(2)－3.方法二設∠APB＝θ，0<θ<π，則|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,tan\f(θ,2)).eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PB,\s\up6(→))|cosθ＝(eq\f(1,tan\f(θ,2)))2cosθ＝eq\f(cos2\f(θ,2),sin2\f(θ,2))·(1－2sin2eq\f(θ,2))＝eq\f(1－sin2\f(θ,2)1－2sin2\f(θ,2),sin2\f(θ,2)).令x＝sin2eq\f(θ,2)，0<x≤1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1－x1－2x,x)＝2x＋eq\f(1,x)－3≥2eq\r(2)－3，當且僅當2x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(2),2)時取等號.故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為2eq\r(2)－3.方法三以O為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy，則圓O的方程為x2＋y2＝1，設A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝xeq\o\al(2,1)－2x1x0＋xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,1).由OA⊥PA?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0?xeq\o\al(2,1)－x1x0＋yeq\o\al(2,1)＝0，又xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以x1x0＝1.從而eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,1)－2x1x0＋xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,1)－2＋xeq\o\al(2,0)－(1－xeq\o\al(2,1))＝2xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,0)－3≥2eq\r(2)－3.故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為2eq\r(2)－3.點評(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“·”.(2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：a·b＝0時得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.變式訓練1(2015·湖北)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.答案9解析因為eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋0＝32＝9.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D.π(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝3，則2a－b與a＋2b的夾角的余弦值等于()A.eq\f(1,26) B.－eq\f(1,26)C.eq\f(1,12) D.－eq\f(1,12)答案(1)A(2)B解析(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，設〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,4).(2)記向量2a－b與a＋2b的夾角為θ，又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×coseq\f(π,3)＝13，(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×coseq\f(π,3)＝52，(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，故cosθ＝eq\f(2a－b·a＋2b,|2a－b|·|a＋2b|)＝－eq\f(1,26)，即2a－b與a＋2b的夾角的余弦值是－eq\f(1,26).點評求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結合律，(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角.變式訓練2(2014·課標全國Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為________.答案90°解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴點O是△ABC中邊BC的中點，∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質得eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為90°.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，則|2a＋b|等于()A.2 B.4C.2eq\r(5) D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________.答案(1)A(2)5解析(1)因為平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，所以|2a＋b|＝eq\r(2a2＋b2＋2×|2a|×|b|cos120°)＝eq\r(22×12＋22＋2×2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2.(2)方法一以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2，－x)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，a－x)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝(5,3a－4x)，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為5.方法二設eq\o(DP,\s\up6(→))＝xeq\o(DC,\s\up6(→))(0<x<1)，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－xeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－x)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋(3－4x)eq\o(DC,\s\up6(→))，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝eq\f(25,4)eq\o(DA,\s\up6(→))2＋2×eq\f(5,2)×(3－4x)eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋(3－4x)2·eq\o(DC,\s\up6(→))2＝25＋(3－4x)2eq\o(DC,\s\up6(→))2≥25，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為5.點評(1)把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)即可求解.(2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化：|a|＝eq\r(a2).變式訓練3(2015·浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.答案eq\f(2\r(3),3)解析因為|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2).所以e1與e2的夾角為60°.又因為b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b與e1的夾角為30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.所以|b|＝eq\f(2\r(3),3).高考題型精練1.(2015·山東)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a2答案D解析如圖所示，由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴BD＝eq\r(3)a.∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)a2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)a2.2.(2014·浙江)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設a，b為平面向量，則()A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2答案D解析由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關系與夾角大小有關，故A，B錯.當a，b夾角為銳角時，|a＋b|>|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.3.(2015·湖南)已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓直徑，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝(－4,0)，設B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(x－6，y).故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12x＋37)，∴x＝－1時有最大值eq\r(49)＝7，故選B.4.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，則p·(b－a)等于()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)答案A解析以OA，OB所在直線分別作為x軸，y軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B(0,1)，C(eq\f(3,4)，eq\f(1,4))，直線l的方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(3,4)，即x－y－eq\f(1,2)＝0.設P(x，x－eq\f(1,2))，則p＝(x，x－eq\f(1,2))，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2).5.在平面上，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB2,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→)).若|eq\o(OP,\s\up6(→))|<eq\f(1,2)，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(5),2)] B.(eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(7),2)]C.(eq\f(\r(5),2)，eq\r(2)] D.(eq\f(\r(7),2)，eq\r(2)]答案D解析由題意，知B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓的內部.又eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→))，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P與O點重合時，|eq\o(OA,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(2)，當P在半徑為eq\f(1,2)的圓周上時，|eq\o(OA,\s\up6(→))|取得最小值eq\f(\r(7),2)，故選D.6.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，點M滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MA,\s\up6(→))，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.2 B.3C.4 D.6答案C解析在△ABC中，因為∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，所以AB＝4eq\r(2)，且B＝A＝45°.因為eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MA,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→)).所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝16＋eq\f(3,4)×4eq\r(2)×4cos135°＝4.7.(2014·安徽)設a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.0答案B解析設a與b的夾角為θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成，記S＝eq\i\su(i＝1,4,)(xi·yi)，則S有以下三種情況：①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cosθ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知②最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，∴cosθ＝eq\f(1,2)，可求θ＝eq\f(π,3)，故選B.8.(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________.答案22解析由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因為eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.9.設非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________.答案eq\f(π,2)解析由e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，可得cos〈e1，e2〉＝eq\f(e1·e2,|e1||e2|)＝eq\f(\r(3),2)，故〈e1，e2〉＝eq\f(π,6)，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝eq\f(5π,6).f(e1，e2)＝e1coseq\f(π,6)－e2sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2，f(e2，－e1)＝e2coseq\f(5π,6)－(－e1)sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2)·(eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2)＝eq\f(\r(3),2)－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1).故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為eq\f(π,2).10.如圖，在△ABC中，O為BC中點，若AB＝1，AC＝3，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________.答案eq\f(\r(13),2)解析因為〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝1×3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，又eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2)，即eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(1＋3＋9)＝eq\f(13,4)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(13),2).11.已知向量a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝(cosx，－1).(1)當a∥b時，求cos2x－sin2x的值；(2)設函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝2，sinB＝eq\f(\r(6),3)，求f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))(x∈[0，eq\f(π,3)])的取值范圍.解(1)因為a∥b，所以eq\f(3,4)cosx＋s