第六測量誤差的基本理論演示文稿

第六測量誤差的基本理論演示文稿目前一頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點（優(yōu)選）第六測量誤差的基本理論目前二頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點ABD往D返理論上：

D往=

D返

實測中：D往≠

D返1）距離測量誤差測量上一般要求:D往-D返/D<=1/K(K=2000,4000,…..),測量成果才合格.6.1概述目前三頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點ABC理論上：∠A+∠B+∠C=180實測中：A+∠B+∠C≠180理論上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360實測中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度測量誤差6.1概述目前四頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點理論上：hAB+hBA=0

實測中：hAB+hBA

≠0P1P4P3P2h1Ah3h23）高差測量誤差Bh4

理論上：h1+h2+h3+h4=0

實測中：h1+h2+h3+h4≠06.1概述目前五頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、測量誤差的概念人們對客觀事物或現(xiàn)象的認識總會存在不同程度的誤差。這種誤差在對變量進行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測量誤差。

二、測量誤差及其來源1.真值和真誤差真值：反映一個量真正大小絕對準確的數(shù)值真誤差：觀測值與真值之差，即：真誤差=觀測值-真值約定符號：

X——真值

L——觀測值△

——真誤差目前六頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、測量誤差及其來源1.真值和真誤差2.測量誤差的反映（如何發(fā)現(xiàn)）測量誤差是通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來的。3.測量誤差產(chǎn)生的來源（1）測量儀器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測者：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3）外界環(huán)境條件：溫度變化、風、大氣折光等。目前七頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、觀測與觀測值的分類1．同精度觀測和不同精度觀測在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術水平的人所進行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。2．直接觀測和間接觀測為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。通過被觀測量與未知量的函數(shù)關系來確定未知量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測值。目前八頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、觀測與觀測值的分類3．獨立觀測和非獨立觀測各觀測量之間無任何依存關系，是相互獨立的觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立觀測值。目前九頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點四、測量誤差的分類

按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差。1、粗差定義：由作業(yè)人員的粗心大意或儀器故障所造成的差錯措施：（1）加強觀測者的責任心，培養(yǎng)細致的業(yè)務作風。（2）閉合差檢驗，剔除孤值。（3）近代平差中的抗差估計、粗差探測等。注意：在本門課程中，要求粗差消滅在平差前，今后我們一般認為，待平差的觀測值無粗差！目前十頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點四、測量誤差的分類2、系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負符號固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計算改正

鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)…………系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。(計算改正、觀測方法、儀器檢校)目前十一頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點四、測量誤差的分類3、偶然誤差在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，單個誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差。偶然誤差是不可避免的。目前十二頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點WWWWWWWWWWWWWW例：測量上817個三角形閉合差統(tǒng)計五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)目前十三頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點本例中三角形閉合差所具有的這三條特性在測量中具有普遍性。①這些閉合差數(shù)值上不會超出一定界限；

②絕對值小的比絕對值大的閉合差個數(shù)要多；③絕對值相等的正負閉合差個數(shù)大致相等。誤差的區(qū)間（〃）Δ為負Δ為正總數(shù)個數(shù)ni個數(shù)ni0.00~0.500.50~1.001.00~1.501.50~2.002.00~2.502.50~3.003.00~3.503.50~∞121907851391590123104755527201002441941531066635190和403414817817個三角形閉合差統(tǒng)計表目前十四頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)1）界限性：一定的測量條件下，偶然誤差的數(shù)值不超過一定的限值，或者說超出一定限值的偶然誤差出現(xiàn)的概率為零。偶然誤差的四個特性：2）聚中性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。3）對稱性：絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同。4）補償性：在相同條件下，對同一量進行重復觀測，偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即目前十五頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：目前十六頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點誤差的區(qū)間（〃）Δ為負Δ為正總數(shù)頻率ω=ni/n個數(shù)ni頻率ω=ni/n個數(shù)ni頻率ω=ni/n0.00~0.500.50~1.001.00~1.501.50~2.002.00~2.502.50~3.003.00~3.503.50~∞12190785139159000.060.050.020.010.001231047555272010090.070.030.020.010.0024419415310666351900.3030.080.040.020.00和4030.504140.508171.00目前十七頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點誤差的區(qū)間（〃）Δ為負Δ為正總數(shù)個數(shù)ni頻率

個數(shù)ni頻率0.00~0.500.50~1.001.00~1.501.50~2.002.00~2.502.50~3.003.00~3.503.50~∞12190785139159000.060.050.020.010.000.3020.100.040.020.001231047555272010090.070.030.020.010.000.300.260.040.020.002441941531066635190和4030.504140.50817目前十八頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點誤差的區(qū)間（〃）Δ為負Δ為正0.00~0.500.50~1.001.00~1.501.50~2.002.00~2.502.50~3.003.00~3.503.50~∞0.3020.100.040.020.000.300.260.040.020.00和-4-3-2-1012340.10.2目前十九頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率ni/n，而所有條形的總面積等于1。頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律。用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：-4-3-2-1012340.10.2目前二十頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)當觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→

0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。-4-3-2-1012340.10.2目前二十一頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點正態(tài)分布：正態(tài)分布的密度函數(shù)：數(shù)學期望和方差：五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)目前二十二頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點正態(tài)分布的數(shù)字特征數(shù)學期望：——位置特征。方差：——離散特征，表示曲線的形狀。

小，曲線頂點愈高，曲線陡峭，高瘦；大，曲線頂點愈低，曲線扁平，矮胖。今后，我們將正態(tài)分布作為研究偶然誤差的數(shù)學工具。目前二十三頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差處理方式目前二十四頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點精密度——表示同一量各觀測值之間的密集或離散的程度。準確度——又稱偏差，是指觀測值的數(shù)學期望與其真值之差。它表征了觀測結果系統(tǒng)誤差大小的程度。

精確度——表示觀測值與其真值的接近程度。測量中的精度嚴格意義講是指精密度，由于假定了觀測值僅有偶然誤差，觀測值數(shù)學期望與真值相同，所以精度也是精確度。目前二十五頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、中誤差某觀測值真值X已知；設在相同觀測條件下，對任一個未知量進行了n次觀測，其觀測值分別為、、，n個觀測值的真誤差、、。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以一組獨立的偶然真誤差平方中數(shù)的平方根作為評定該組每一個觀測值精度的標準，即m稱為中誤差，m小精度高；m大精度低。n－觀測值個數(shù)真誤差目前二十六頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點例:設有甲、乙兩個小組，對三角形的內(nèi)角和進行了9次觀測，分別求得其真誤差為：甲組：乙組：試比較這兩組觀測值的中誤差。二、中誤差說明乙組的觀測精度比甲組高。目前二十七頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點三、極限誤差1、定義2、極限誤差的表示方法一定測量條件下，偶然誤差的最大允許值目前二十八頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點2、極限誤差的表示方法絕對值大于3倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為0.27%絕對值大于2倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.55%三、極限誤差目前二十九頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點問題：誰的精度高？四、相對誤差(相對中誤差)目前三十頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點定義:說明：誤差值與相應觀測結果之比。一個量的中誤差與相應觀測值之比——相對中誤差。相對誤差是個無名數(shù)，一般將其分子化成1，寫成1/N

的形式相對誤差一般用于長度測量真誤差、中誤差、極限誤差稱為絕對誤差四、相對誤差(相對中誤差)目前三十一頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點平面三角形中，閉合差是真誤差，采用中誤差公式，計算閉合差的中誤差，即如何計算測角中誤差m？一、誤差傳播定律Question：?目前三十二頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律Question：在三角形ABC中，已測得兩個角A、B及一條邊

，則依可計算b邊。

已知上述三個觀測量的精度，那么如何估計邊長b的精度ABC目前三十三頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律定義：獨立觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間的關系式，稱為誤差傳播定律。如何由觀測值精度評定觀測值函數(shù)精度目前三十四頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差設：為獨立觀測值設有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差上式全微分：(a)由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：(b)目前三十五頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(b)式為：對Z觀測了k次，有k個式(c)目前三十六頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差(d)對(c)式平方求和可以得到：(e)對K個(d)式取總和，然后再除以K得：(f)目前三十七頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差由偶然誤差的抵償性知：(f)目前三十八頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差(g)(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。目前三十九頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：1.列出函數(shù)式；2.對函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差目前四十頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點中誤差傳播公式一、誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)目前四十一頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、誤差傳播定律的應用例1：在1：500地形圖上量得某兩點間的距離，其中誤差，圖上距離d=0.2345m，求該兩點間的地面水平距離D的值及其中誤差。解:目前四十二頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、誤差傳播定律的應用解:例2：設對某一個三角形觀測了其中αβ，兩個角，測角中誤差分別為，試求第三個角的中誤差。目前四十三頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、誤差傳播定律的應用解:例3：試推導出算術平均值中誤差的公式：()目前四十四頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、算術平均值設在相同的觀測條件下，對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值l1,l2,···,ln,則該量的算術平均值為x：目前四十五頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、算術平均值證明：算術平均值為該量的最可靠值：設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為：當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最可靠值。目前四十六頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、觀測值改正數(shù)未知量的最可靠（最或是）值x與觀測值li之差稱為觀測值改正數(shù)vi，即目前四十七頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差目前四十八頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差令目前四十九頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點四、算術平均值中誤差算術平均值的中誤差Mx，可由下式計算:目前五十頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、權定義：在計算不同精度觀測值的最或然值時，精度高的觀測值在其中占的“比重”大一些，而精度低的觀測值在其中占的“比重”小一些。這里，這個“比重”就反映了觀測的精度?！氨戎亍笨梢杂脭?shù)值表示，在測量工作中，稱這個數(shù)值為觀測值的“權”。定義公式：設以Pi表示觀測值li的權，則權的定義公式為：目前五十一頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、權若pi＝1時，稱為單位權中誤差，即權為1的觀測值中誤差。單位權所對應的觀測值稱為單位權觀測值權與中誤差的平方成反比，即精度愈高，權愈大目前五十二頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點權的相對性一、權目前五十三頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點一、權

可見，用中誤差衡量精度是絕對的，而用權衡量精度是相對的，即權是衡量精度的相對標準。目前五十四頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點對于中誤差為mi的觀測值（或觀測值的函數(shù)），其權Pi為:則相應的中誤差的另一表示式可寫為:一、權目前五十五頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點二、權的性質（1）權與中誤差平方成反比，中誤差越小，權越大，表示觀測值越可靠，精度越高；反之，中誤差越大，權越小，表示觀測值越不可靠，精度越低。（3）同一組權中，只能選定一個單位權中誤差，否則，就會破壞權之間的比例關系。（5）中誤差和權都是衡量精度高低的數(shù)值，中誤差是絕對數(shù)值，權是相對數(shù)值。對于單一觀測值而言，權無意義。（4）權的大小隨的不同而不同，但權之間的比例關系不變。（2）權始終取正號。目前五十六頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點三、測量中常用的確權方法1、同精度觀測值算術中數(shù)的權算術中數(shù)中誤差平方設一次觀測權為p，算術中數(shù)權算術中數(shù)的權是一次觀測值權的n倍目前五十七頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點三、測量中常用的確權方法2．權在水準測量中的應用(測站)

設每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為m站，則不同測站數(shù)的水準路線觀測高差的中誤差為：取C個測站的高差中誤差為單位權中誤差，即：則各水準路線的權為當各測站觀測高差的精度相同時，水準路線觀測高差的權與測站數(shù)成反比。目前五十八頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點三、測量中常用的確權方法2．權在水準測量中的應用(距離)設單位長度（一公里）的觀測高差中誤差為m，則長度為L公里的觀測中誤差為取長度為C公里的觀測中誤差為單位權中誤差，即則得距離為L的權為：當每公里水準測量的精度相同時，水準路線觀測的權與路線長度成反比。目前五十九頁\總數(shù)六十八頁\編于十八點

水準測量中，當每測站高差中誤差相同時，則各條水準路線高差觀測值的權與測站成反比水準測量中，