方差分析概論

關(guān)于方差分析概論第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析(analysisofvariance)對多個樣本進行比較并評估其顯著性時，可以克服t檢驗存在的問題。它能夠幫助我們回答一個問題：是否可用一個總的指標說明實驗處理導(dǎo)致各個不同組間的平均數(shù)有差異？12.2平方和的概念從公式可以看出，若離差大，則方差也大，離差小，數(shù)據(jù)緊聚在平均數(shù)周圍，則方差也小。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月回憶一下兩樣本t檢驗計算公式：問：分子和分母分別表示意思?答：分子表示平均數(shù)之間的差異，而分母表示各組內(nèi)變異相加的估計值，稱為平均數(shù)差異的標準誤。平均數(shù)之間差異越大，則t值越大，否者t值越小第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月圖12-1要想得到統(tǒng)計學(xué)顯著性，平均數(shù)差異大小與變異大小之間的關(guān)系如果變異較小，則統(tǒng)計顯著性所需的平均數(shù)差異也較小如果變異較大，則統(tǒng)計顯著性所需的平均數(shù)差異也較大第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析包括對兩個方差的獨立估計：組間方差(between-groupvariance)組內(nèi)方差(with-groupvariance)方差分析一個基本概念就是平方和SS總=SS組內(nèi)+SS組間第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月12.3舉例說明：兩個組的情形12.3.1總平方和分解為組內(nèi)平方和與組間平方和實驗組X136313620413432343233和329X212969611296400168111561024115610241089和11083控制組X229342733102826313035和283X2841115672910891007846769619001225和8461實驗組平均數(shù)=32.9，控制組平均數(shù)=28.3SS總=(11083+8461)－(612)2/20=19544－18727.2=816.8SS1=11083－(329)2/10=11083－10824.1=258.9SS2=8461－(283)2/10=8461－8088.9=452.1SS組內(nèi)=258.9+452.1=711第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月=10824.1+8008.9－18727.2=18833－18727.2=105.8K=2，df=2－1=1方差的估計值S2=SS組間/1=105.8組內(nèi)自由度df=N－K=20－2=18SS組內(nèi)=711/18=39.5查F表，F(xiàn)0.05（1，18）=4.41注意：當組間自由度=1時，F(xiàn)=t2,2.678=1.6362df2

單側(cè)Pdf11180.018.290.054.412.678＜4.41，不拒絕H0。結(jié)論與前面的t檢驗一致。第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月12.4方差分析的基本思想1.總方差分為組間方差+組內(nèi)方差a.組間方差：由于受到實驗處理，包括自變量以及混雜因素影響而產(chǎn)生的系統(tǒng)差異，這些變量引起因變量的變化。b.組內(nèi)方差：由個體差異和非控制因素引起的因變量的變化。精良的設(shè)計需要使這個方差最小化。2.H0:μ1=μ2…=μk什么意思？所有樣本來自一個總體。3.H1:μ1,μ2,…,μk

不全相等什么意思？所有樣本不是來自一個總體。第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月4.F統(tǒng)計量=組間方差÷組內(nèi)方差通過查F臨界值以確定是否拒絕或接受H0。12.5以三個實驗組為例-----單因素方差分析例題：某項研究為了評價三種不同教學(xué)效果，從學(xué)生總體中隨機抽取21名被試，并隨機分為三組，讓他們接受三種不同的教學(xué)，完成教學(xué)后就進行測驗，測驗成績越高，說明解決邏輯問題的能力越高。是否有證據(jù)表明哪種方法更有效？方法13272524方法23379475方法3945910811第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)從μ1=μ2=μ3的總體中抽3個組，憑機遇很可能獲得(F比率小)(b)有時偶然可能獲得，F(xiàn)比值大，但是概率小于0.01.(c)憑機遇幾乎無法獲得，(F比率很大)，發(fā)生概率小于萬分之一第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第1步：計算總平方和方法13272524∑X1=25X29449425416∑X12=111方法23379475∑X2=38X2994981164925∑X22=238方法3945910811∑X3=56X28116258110064121∑X32=488第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月方法13272524∑X1=25X29449425416∑X12=111方法23379475∑X2=38X2994981164925∑X22=238方法3945910811∑X3=56X28116258110064121∑X32=488第2步.三組的組間平方和為；第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第3步：已知組間SS，總的SS，計算組內(nèi)SS。SS組內(nèi)=162.67－69.24=93.43第4步；計算組間方差估計值df組間=K－1=3－1=2第5步：計算組內(nèi)方差估計值df組內(nèi)=N－K=21－3=18第6步：計算F值在本例?？傋杂啥?N－1=20第7步；列出分析分析表第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月表12-3方差分析表變異源平方和自由度方差估計值F比率組間69.24234.626.67組內(nèi)93.43185.19總計162.672012.6F值的解釋查F臨界值表，F(xiàn)0.05(2,18)=3.55請問：這個問題是否到此就結(jié)束了？df2

單側(cè)Pdf12180.018.290.054.416.67>3.55,所以按照0.05拒絕H0，三個總體平均數(shù)不同，不是來自一個總體。第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1.事前比較或者計劃比較：如果想在研究前進行比較，可使用事前檢驗而不用做方差分析。2.事后比較：事前心中無數(shù)或者計劃不好，可先進行方差分析再事后做比較(也稱為兩兩比較)。1953年，普林斯頓大學(xué)Tukey提出HSD檢驗(honestlysignificantdifference,即真正的顯著性差異)，使用條件：F檢驗要有顯著性，并且各組樣本量相等。其中：qα=根據(jù)給定的α水平以及組內(nèi)自由度和k(平均值的個數(shù))，從附表查得。第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月表12-4樣本平均數(shù)以及各組之間平均數(shù)差異的矩陣=3.57=5.43=8.00=3.57－1.864.43=5.43－－2.57=8.00－－－查附表6q界值表當df=18,r=3,α=0.05時，查得q=3.61.因為只有第1和3組平均數(shù)之間的差異4.43>3.10，結(jié)論：第3種教學(xué)方法能夠顯著提高學(xué)生解決邏輯問題的能力。df

1-αr等級差數(shù)3180.953.610.994.70第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月12.7單變量實驗設(shè)計---相關(guān)樣本

行為或醫(yī)學(xué)研究中諸多因素都能導(dǎo)致分數(shù)的變異。諸如個體差異，在獨立樣本中無法識別和量化，其結(jié)果會增大誤差。剔除這些誤差的方法，可考慮相關(guān)樣本設(shè)計。這好比選擇天線一樣，長天線噪音最低，電臺信號就清晰了。12.8三個配對組設(shè)計挑選21名業(yè)余籃球隊員，按照投籃水平分為七個區(qū)組，每組3人投籃水平比較一致。每組站在罰球線位置，隨機使用三種不同的投籃方法，每個人投20次。試問這21人在不同的區(qū)組和不同的投籃方法上是否存在差異？第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月表12-5接受不同訓(xùn)練后3個配對組的投籃分數(shù)(每投20次投中的次數(shù))訓(xùn)練方法分組X1X2X3合計1151311392139103231210931411131236595721686418775214合計756155191第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月12.9計算平方和與方差估計值SS總=SS處理+SS區(qū)組+SS誤差12-81.計算總平方和12-9矯正項CT表12-6實驗處理情況區(qū)組X1X12X2X22X3X32區(qū)組和1152251316911121392131699811010032312144101009813141112113169121443659815257492168646364161877495252414和T1=75853T2=61605T3=55515191第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月∑X2=225…+4=853+605+515=1973矯正項CT=(∑X)2/nik=1912/21=1737.19SS總=∑X2－CT=1973－1737.19=235.81df總=nk－1=7×3－1=2012-10SS處理=(752+612+552)/7－1739.19=30.1012-11df處理=k－1=3－1=212-12區(qū)組X1X12X2X22X3X32區(qū)組和115225131691112139……………………77495252414和T1=75853T2=61605T3=555151912.計算SS處理及估計方差S2第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月SS處理=(752+612+552)/7－1739.19=30.1012-11df處理=k－1=3－1=212-12所以S2處理=30.10÷2=15.0512-13區(qū)組blbl2139152123210243319614361296521441618324714196和19157633.計算SS區(qū)組及估計方差S2=(1521+….+196)/3－1737.19=183.81df區(qū)組理=bl－1=7－6所以S2區(qū)組=183.81÷6=30.6412-16第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月SS總=235.81SS處理=30.10SS區(qū)組=183.81SS誤差=235.81－30.10－183.81=21.90df誤差=df總－df處理－df區(qū)組=20－2－6=123.計算SS誤差及估計方差S2所以S2誤差=21.90÷12=1.8212-17

表12-7隨機區(qū)組設(shè)計單因素方差分析表變異源平方和自由度方差估計值F比率實驗處理30.10215.058.27區(qū)組183.81630.6416.84誤差21.90121.82總計235.8120第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月變異源平方和自由度方差估計值F比率實驗處理30.10215.058.28區(qū)組183.81630.6416.84查F臨界值表，F(xiàn)0.01(2,12)=6.93,8.28>6.93，所以拒絕H0，認為這些訓(xùn)練項目在三種情境中有差異查F臨界值表，F(xiàn)0.01(6,12)=4.82.12.10平均數(shù)之間Tukey’sHSD顯著性檢驗進行三種實驗情境平均數(shù)差異的兩兩比較df2

單側(cè)Pdf12120.053.890.016.9316.84>4.82，所以拒絕H0，配對變量有效解釋了變異的總方差的大部分，可以解釋總平方和中的183.81/235.81=0.7795，或者78%。df2單側(cè)Pdf16120.014.82第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)組X1X2X31151311…………7752和T1=75T2=61T3=55平均數(shù)10.718.717.86表12-8平均數(shù)之間的差異的矩陣=10.71=8.71=7.86=10.71－2.00*2.85*=8.71－－0.85=7.86－－－查q表(N-K檢驗用)當df=12,k=3,α=0.05時，查得q=3.77.=3.77×0.5099=1.92df2

單側(cè)Pr3120.053.770.015.05第24頁