第多元正態(tài)分布演示文稿

第多元正態(tài)分布演示文稿2023/5/17目前一頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)2023/5/17（優(yōu)選）第多元正態(tài)分布目前二頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)1、一元正態(tài)分布的定義則稱x

服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布，記作x~N(,2)定義3.1

若r.v.x

的密度函數(shù)為為常數(shù)，其中亦稱高斯(Gauss)分布目前三頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布=0,=1

的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作x~N(0,1)密度函數(shù)記為3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布之間的關(guān)系記

u~N(0,1)，則x=+u

~N(,2)目前四頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)二、多元正態(tài)分布的定義定義3.2

設(shè)p維隨機(jī)向量

則u的密度函數(shù)為u的均值和協(xié)方差矩陣分別為u的分布稱為均值為0，協(xié)方差矩陣為I的p元正態(tài)分布，記作目前五頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)設(shè)p維隨機(jī)向量u~

Np(0,I)，下面考慮u的一個(gè)非退化變換

x=m+Au的分布，這里x的均值和協(xié)方差矩陣分別為x的密度函數(shù)為（3.1.5）目前六頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)x的分布稱為非退化的p元正態(tài)分布，記作更一般的，設(shè)p維隨機(jī)向量u~

Np(0,I)，為常數(shù)矩陣，則x=m+Au的分布稱為p元正態(tài)分布，記作其中.若rank(A)=p

，則S-1存在，此時(shí)x的分布稱為非退化的p元正態(tài)分布；若rank(A)<p

，則S-1不存在，此時(shí)x的分布稱為退化的p元正態(tài)分布，不存在概率密度.目前七頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)解

例3.1.1(二元正態(tài)分布)設(shè)，這里試寫出x的概率密度的表達(dá)式，并觀察其圖像。x的概率密度為目前八頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)目前九頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)目前十頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)1.設(shè)x是一個(gè)p維隨機(jī)向量，則x服從多元正態(tài)分布，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何線性組合a’x(a為p維常數(shù)向量)均服從一元正態(tài)分布。第二節(jié)多元正態(tài)分布的性質(zhì)目前十一頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)解解試寫出x1–x2的分布。目前十二頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)注意：性質(zhì)3說明了多元正態(tài)分布的任何邊際分布仍為多元正態(tài)分布，但反之不成立。目前十三頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)則目前十四頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)目前十五頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)注意：性質(zhì)7說明了多元正態(tài)變量的子向量之間互不相關(guān)和獨(dú)立是等價(jià)的。目前十六頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)則目前十七頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)第三節(jié)極大似然估計(jì)及估計(jì)量的性質(zhì)一、總體、樣本、樣本數(shù)據(jù)矩陣1.總體2.樣本，其中顯然3.樣本數(shù)據(jù)矩陣目前十八頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)二、多元樣本的數(shù)字特征1.樣本均值向量2.樣本離差矩陣3.樣本協(xié)方差矩陣？其中其中目前十九頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)目前二十頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)三、樣本的聯(lián)合概率密度由于？？目前二十一頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)所以這里？目前二十二頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)四、m和S的極大似然估計(jì)1.似然函數(shù)求解極值問題：可得m

和S

的極大似然估計(jì)，先固定S考慮目前二十三頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)？？于是目前二十四頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)由此引理可知，當(dāng)n>p時(shí)，A正定，m

和S

的極大似然估計(jì)分別為此時(shí)似然函數(shù)最大值為目前二十五頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)思考：當(dāng)m

已知時(shí)，S

的極大似然估計(jì)如何表示？答：目前二十六頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)五、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)1.極大似然估計(jì)的不變性設(shè)參數(shù)的極大似然估計(jì)是，變換是一一對應(yīng)的，則的極大似然估計(jì)就是2.簡單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)目前二十七頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)稱為樣本相關(guān)系數(shù)，為樣本相關(guān)矩陣？目前二十八頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)3.偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)目前二十九頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)對于p元總體，將樣本協(xié)方差矩陣S

作如下剖分則其中目前三十頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)4.復(fù)相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)目前三十一頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)為了對未知參數(shù)作出估計(jì),首先應(yīng)通過好的統(tǒng)計(jì)思想產(chǎn)生合理的估計(jì)量，而這樣的估計(jì)量往往不止一個(gè).問題(1)對于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?(2)評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)（無偏、有效、相合性和充分性）.六、估計(jì)量的性質(zhì)目前三十二頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)無偏估計(jì)的實(shí)際意義:無系統(tǒng)誤差.以買水果為例加以說明1.無偏性目前三十三頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)解

無偏有偏無偏估計(jì)是否唯一？目前三十四頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,所以無偏估計(jì)以方差小者為好.2.有效性目前三十五頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)3.相合性（一致性）4.充分性目前三十六頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)第四節(jié)抽樣分布一、隨機(jī)矩陣的分布目前三十七頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)二、Wishart（威沙特）分布1.定義目前三十八頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)2.性質(zhì)目前三十九頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)3.一個(gè)結(jié)論4.Wishart分布與c2分布之間的關(guān)系目前四十頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)三、T2分布1.定義T2分布是Hotelling于1931年由一元推廣而來的，又稱為Hotelling分布.目前四十一頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)2.性質(zhì)目前四十二頁\總數(shù)四十六頁\編于十八點(diǎn)3.