結(jié)構(gòu)動力學(xué)講義三

第二章（續(xù)）

單自由度系統(tǒng)的振動5/17/20231先考慮沖量荷載作用于系統(tǒng)的響應(yīng)?！?.2單自由度系統(tǒng)一般動荷載作用下

的受迫振動1、瞬時沖量

5/17/20232設(shè)體系在時處于靜止?fàn)顟B(tài)，然后施加瞬時沖量。(在時間內(nèi)作用荷載，其沖量。體系將產(chǎn)生初速度，但初位移仍為零。在時作用瞬時沖量所引起的動力響應(yīng)為：5/17/20233如果在時作用有瞬時沖量，則在以后任一時刻的動力響應(yīng)為：5/17/202342、無阻尼Duhamel積分任意的一般性荷載，在時刻的荷載強(qiáng)度為在一短時間間隔范圍內(nèi)作用這荷載，則會在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生一個短持續(xù)時間的沖量，沖量導(dǎo)致的響應(yīng)：5/17/20235表示在的整個響應(yīng)時程范圍內(nèi)微分沖量的微分響應(yīng)，不是時間間隔內(nèi)的變化。整個荷載時程可看作由一系列瞬時沖量組成，每一個脈沖將產(chǎn)生一個如式所示的微分響應(yīng)。對線性彈性體，總響應(yīng)為荷載作用時間的全部微分響應(yīng)的疊加，即對下式進(jìn)行積分。5/17/20236特點(diǎn)：計算任意形式的動力荷載作用下無阻尼單自由度體系的動力響應(yīng)。無阻尼體系的杜哈梅（Duhamel）積分自由振動、瞬態(tài)在荷載變化很不規(guī)則時，計算可能需要利用數(shù)值積分來進(jìn)行。如果初始位移和初始速度不為零，則總位移為:強(qiáng)迫振動、穩(wěn)態(tài)5/17/20237寫成：式中：卷積積分（convolutionintegral）單位脈沖響應(yīng)意義：表示在時，在一個單位大小“1”的脈沖作用下，結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)。（pulseresponsefunction）

5/17/20238有阻尼體系在一般動力荷載下的響應(yīng)的杜哈梅積分。當(dāng)時，微分沖量引起的動力響應(yīng)為3、有阻尼杜哈梅積分

有阻尼：無阻尼：5/17/20239在整個荷載作用時間內(nèi)對這些微分響應(yīng)求和，則有阻尼體系的振動響應(yīng)為:有阻尼體系對單位脈沖的動力響應(yīng)為:5/17/2023104、杜哈梅積分的數(shù)值計算1)荷載函數(shù)是可積的，則結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)可利用下式進(jìn)行計算。2）對于許多實際情況，如果荷載的變化規(guī)律是用一系列離散數(shù)據(jù)表示（如試驗數(shù)據(jù)），此時的響應(yīng)計算就必須借助于數(shù)值分析方法。有阻尼：無阻尼：5/17/202311無阻尼體系的動力響應(yīng)積分表達(dá)式：杜哈梅積分的數(shù)值計算，實質(zhì)上就是對上式進(jìn)行數(shù)值積分。其中：5/17/202312考慮等時間增量，令

三種基本數(shù)值計算近似方法，其求和表達(dá)式為：1）簡單求和法：

討論積分項5/17/2023132）梯形法則：

3）辛普森（Simpson）法則：

對于辛普森法則，式中必須是偶數(shù)。5/17/202314

目的：計算一系列相繼時刻的響應(yīng)，其中兩相鄰時刻的間隔為（用辛普森法則時為）。為了獲得整個響應(yīng)歷程特征，把方程寫成增量形式：1）簡單求和法：

5/17/2023152）梯形法則：

3）辛普森法則：

其中，表示在時刻所得到的和。同理，積分項可用相同的方法進(jìn)行計算。5/17/202316注：數(shù)值積分解答的精確度與計算中選擇和微小時段有關(guān)，一般可取小于系統(tǒng)自振周期的十分之一，便可得到較好的結(jié)果。因此，無阻尼體系動力響應(yīng)的數(shù)值解：同理，也可求得有阻尼體系動力響應(yīng)。5/17/202317單自由度系統(tǒng)如圖所示三角形沖擊荷載F(t)試求該系統(tǒng)的動力位移和動力系數(shù)，已知系統(tǒng)的初位移和初速度均為零。

例2-5：5/17/202318沖擊荷載作用的時間很短，在系統(tǒng)產(chǎn)生最大位移之前，阻尼因素所吸收的能量很少，因此，沖擊荷載作用下的計算，一般不計阻尼的影響。解：將荷載F(t)代入杜哈梅（Duhamel）積分，得5/17/202319為了求最大動力位移，由y(t)對時間求導(dǎo)等于零來達(dá)到最大位移的時間tm，即即，則可得最大動力位移：動力系數(shù)：

5/17/202320應(yīng)該指掠出，上禽式必須妨滿足時才秤成立瓶，即，解此不述等式得蹤蝶，這就說狂明：當(dāng)時，最第大動力支位移發(fā)剛生在時段內(nèi)笛，上式慘應(yīng)用有溝效；當(dāng)最大釘動力掠位移籠發(fā)生柄在時的自由車振動狀態(tài)嫌下。時，雙則5/拾4/胖20炕2321為了求時的鬧動力煌位移載，先贏求和速牲度時的樹位移將其煉帶入毫自由昂振動翅方程厚得此自由疏振動的肚幅值為蜘：5/4闊/20班2322動力惕系數(shù)揮：動力解系數(shù)黨只與下表列鉆出不同坑值時的脊動力系紗數(shù)。有關(guān)爆，即京只與歷有凈關(guān)t1/T0.1250.200.250.3710.400.500.751.001.502.000.390.660.731.001.051.201.421.551.691.762.00表剩不同值時鬼的動這力系倡數(shù)表5/4此/20兔2323圖示水布塔，受她爆炸荷斷載F(t)作用綢。設(shè)校水塔督質(zhì)量，剛度芒系數(shù)和初速第度均為傻零，阻仔尼比積分干法求陜動力撥位移流。例2-售5:，已知茂初位移，試用付數(shù)值5/4牛/20義2324水塔時的自掃振頻喪率和鍬周期篩分別肯為解:取微小煎時段，約毒相當(dāng)?shù)糜谒畱嵥苑琳?。為書簡便主清楚醉起見您將計探算過目程列周期的1/2蓬0表顯示炊。詳細(xì)濟(jì)過程嘩參見沸課本佳。5/4拴/20消2325§2傳.8阻尼理尖論與阻爸尼比的棋量測1、關(guān)于澆粘滯阻過尼理論原的討論阻尼是結(jié)紙構(gòu)體叨系的騙重要符特性界之一史。單自警由度疊體系黎，按鋼照粘農(nóng)滯阻碑尼理恩論建挺立了易體系的自縫由振動勾和強(qiáng)迫勝振動方替程：5/4掌/20稠2326在簡諧縱荷載鋤作用下拘，設(shè)結(jié)鄉(xiāng)豐構(gòu)的穩(wěn)拍態(tài)響應(yīng)釀為：相應(yīng)的削速度為見：粘滯阻概尼的阻載尼力為紫：因此：5/4研/20艦2327表示阻孤尼力怖和太位移浮之間吼呈橢圓型關(guān)系戲。阻尼力達(dá)和位歸移貫都隨時懂間變化噴，在一卻周期內(nèi)做懼的總稀功可塘以看聾成是究在各棍個時掩間微帳量諷上所做功旗的總籌和。時間妥增加推時鏈相應(yīng)的惜位移增崇量為粥，故毀總功為制：等于象橢圓爸所包欲圍的惡面積堂。5/暴4/津20渴2328用牙表示粘轟滯阻尼摟振動一盛個周期白時的能容量耗散慘，通常示稱為耗奪能，即粘滯阻賺尼理論軍的耗能予和外加撤荷載的遼頻率成勺正比，頌振動越素快，每雖周耗散侍的能量響越大。實驗閉結(jié)果兇表明：對于莖許多結(jié)享構(gòu)振動撕一個周車期的耗棉能與頻粥率無關(guān)貌，即耗鴨能與振與動的快鄉(xiāng)豐慢無關(guān)獄。5/鳴4/甩20恨2329利用粘汪滯阻尼嚼理論分肝析結(jié)構(gòu)慨振動的徹結(jié)果，教并不能扒與實驗堅結(jié)果很靜好地吻罵合，尤趴其是在嫌能量耗門散機(jī)理只上表現(xiàn)癢出與實裳驗結(jié)論笨的不一雁致性。但是，粘推滯阻返尼理舒論使慈體系跡的振伐動微雀分方襖程保交持為哥線性烏，計舍算簡后便，程因此技仍然序得到引廣泛日應(yīng)用共。5/帆4/均20暫23302、阻尼稱比的量夢測多數(shù)得情況普下，惕結(jié)構(gòu)孫的質(zhì)墳量和極剛度剃可以租較容販易地肉用物蕩理方墨法進(jìn)競行分味析與奴計算吳，通常榜不可浴能用文計算暈的方教法來驢確定拴阻尼足系數(shù)囑。許臟多結(jié)儀構(gòu)體追系的記阻尼派必須仙直接私用試驗的方胸法來婦量測侍。用實測政結(jié)果計獄算結(jié)構(gòu)扒阻尼的亂幾個主斑要方法匹。5/4弄/20猾2331a）自由幕振動按衰減歉法自由振濕動衰減綢試驗：最撐簡單輝且最寺常用擊的方江法方法：用任能意手段逝使一個帽體系產(chǎn)集生自由時振動后懂，阻尼丸比可用摧相隔浩周后量牌得的兩壤個位移鹿幅值的籌比來確禾定。求解：如果樹是在蝕任一時趟刻的振區(qū)動幅值際，而缺為周后的春幅值，鬼則阻尼悼比：5/4街/20難2332為對數(shù)澇衰減率弄，沿和筆分別為巷無阻尼侍和有阻掩尼時的施固有頻鹽率。一般幟阻尼蹄比都打小于0.2，不考糊慮阻尼寒引起的揚(yáng)頻率變煩化。自由振冠動方法狂的主要滲優(yōu)點(diǎn)：所啞需儀勒器設(shè)挽備少預(yù)，可要用任籃何簡輝便的伶方法茅產(chǎn)生饑振動鋒。5/4喪/20會2333典型的位頻率響舟應(yīng)曲線昌如圖所難示。b)共振放同大法在結(jié)構(gòu)懶上作用矩包括共投振頻率誦在內(nèi)的開一系列床較密分噴布頻率妥的簡諧罪荷載翠，然浴后分析露振幅與華荷載頻攝率之間稍的關(guān)系盜曲線，那即結(jié)構(gòu)添頻率響屈應(yīng)曲線軍。5/湯4/業(yè)20坦2334任意給拾定頻率驚的動力放喇大系數(shù)是該財頻率翠的響盜應(yīng)幅能值與恢零頻煎率(靜止扁狀態(tài))響應(yīng)幅娘值的比泄值。阻尼比與共振批時的毅動力注放大它系數(shù)是緊密對相關(guān)的號。當(dāng)靜姑響應(yīng)蟲和共蓮振響聰應(yīng)幅輩值分胖別用封和稅表斷示時們，阻局尼比謎為：在實際城加載時咐，施加屠準(zhǔn)確的業(yè)共振頻晴率比較檔困難，而普確定最辜大響應(yīng)炕幅值逃則比貴較方便粘。5/寇4/尖20洪2335阻尼拾比：忽略洗了阻止尼對琴頻率憂的影盛響，堂對于犬一般驗的結(jié)構(gòu)而吃言，絨引起隔的誤疼差很朝小。優(yōu)缺善點(diǎn)：所車需儀旱器也魯很簡炒單，升但是簽，大巡壽多數(shù)趙加載勸體系弊不能涼在零兵頻率步時工懇作，摧因此哲在產(chǎn)方生靜驚位移俱時可嚼能會小出現(xiàn)良困難砍。5/4費(fèi)/20肌2336c)半功率坐譜法半功昨率法：利用每阻尼比陰對結(jié)構(gòu)歲動力響埋應(yīng)曲線煤有很大候影響，盲根據(jù)曲診線的變平化特性明來分析春結(jié)構(gòu)阻鞏尼比。方法：阻慨尼比寫由響抖應(yīng)減得小到共時弱的頻淡率來抵確定壺，在育此頻坐率下倉輸入助為共刊振功兼率的社一半愧。5/4舒/20貿(mào)2337式（2－52）確訪定的悄響應(yīng)臟幅值爸為式錄（2－97）所計咽算的共避振振幅礦的5/4環(huán)/20水2338將方脹程兩概邊平墾方，翼求得轟頻率糕比為屯：得兩丑個半進(jìn)功率銷頻率予為純：5/籠4/飛20瓜2339阻尼比貍等于這禾兩個半許功率頻屯率差值斜的一半。在共煌振響透應(yīng)幅劈燕值的賣處作期一條悄切割脈響應(yīng)叼曲線膜的水滔平線箭，此筍線與幅曲線飼相交賽的兩廉個頻初率間停的差待值，渴即為赴阻尼棗比的胞兩倍榜。優(yōu)點(diǎn)在于可課以避免利量測結(jié)猾構(gòu)靜響跟應(yīng)，但病需要得撞到較高際精度的臥共振響夏應(yīng)曲線匆。5/4襪/20團(tuán)2340等效元粘滯閉阻尼另比實際帽結(jié)構(gòu)訴并非冰粘滯屆阻尼項體系坐假咐設(shè)體滲系為型一個坡等效厲粘滯添阻尼掘（equ幣iva撒len瘋tv疑isc謊ous謎da艇mpi松ng）體系培。試驗裹結(jié)果晴表明，結(jié)恢構(gòu)在付振動踩時，鮮阻尼騾因素墊所起籍影響乳的大博小主慈要取敵決于憲耗能領(lǐng)的數(shù)路值，脹與一丑個周痰期內(nèi)胳形成扇能量貿(mào)損耗借的具傳體過襖程無妹顯著柏關(guān)系遠(yuǎn)。建立門等效束粘滯隊阻尼拘比的加計算由理論徑。利用凝粘滯廳阻尼扔體系善簡化叮的計鉆算結(jié)器論5/4斯/20見2341假設(shè)等猛效粘滯聚阻尼體旺系一個算振動周矩期內(nèi)所綠損耗的面能量正鵲好與實臘際結(jié)構(gòu)味在一個譜振動周殊期內(nèi)所善損耗的姐能量相切等，且薯兩者具候有相等智的位移斗振幅值檔。5/欲4/扒20射2342實線表示實鵲際結(jié)構(gòu)湯的滯回革曲線（hy江st俊er功et士ic剪c辨ur環(huán)ve），包押圍面積樣為孟：虛線所表示歌的橢圓希為等效差的滯回傻曲線，栽包圍的沫面積為嗽；碗兩者面宰積相等布，并有惕相同的規(guī)位移振吵幅A。等效粘奴滯阻尼丸體系中斥的阻尼憐常數(shù)和捧阻尼比分別為鵝等效阻約尼常數(shù)驚和普等效阻朵尼比炭。5/4腹/20燭2343于是在簡諧貨荷載作技用下發(fā)饞生共振面時，慣鐮性力和貢彈性力浩等值反