數(shù)學(xué)的魅力數(shù)學(xué)難題(免費(fèi))

幾個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題范圍：古代三大難題；近代三大難題;現(xiàn)代七大幾個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題

的歷史與現(xiàn)狀幾何作圖三大難題化圓為方倍立方體三等分角費(fèi)馬大定理哥德巴赫猜想四色猜想龐加萊猜想選題原則：典型、重要、著名、合適范圍：古代三大難題；近代三大難題;現(xiàn)代七大希爾伯特第一節(jié)幾何作圖三大難題幾何作圖三大難題InThisSection一家人化圓為方三等分角倍立方體=×2=（公元前5世紀(jì)——1882年）求作一個(gè)正方形，其面積等于已知圓的面積這就是化圓為方問(wèn)題該問(wèn)題直到1882年才被德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852——1939）證明為不可能。這就是著名的“倍立方體問(wèn)題”，又叫“第羅問(wèn)題”：求作一個(gè)正方體，其體積等于已知正方體體積的兩倍該問(wèn)題直到1837年才由萬(wàn)鍥爾（P.L.Wantzel,1814--1848）給出否定的答案。要確定北門(mén)和小橋的位置，關(guān)鍵是算出夾角。記a

為南門(mén)S與居室H連線SH與河流之間的夾角，則通過(guò)幾何知識(shí)可以算出北門(mén)N南門(mén)SH公主居室小橋P河流a?這個(gè)問(wèn)題流傳下來(lái)，直到1837年才由萬(wàn)鍥爾給出否定的答案。這就是著名的“三等分任意角”問(wèn)題求作一個(gè)角，等于已知角的三分之一3三大作圖難題

難在何處？直尺和圓規(guī)能做什么？作圖工具——直尺和圓規(guī)能做什么？直觀地看：（1）通過(guò)兩點(diǎn)作直線；（2）以已知點(diǎn)為圓心，已知線段為半徑作圓；（3）定出兩條已知非平行直線的交點(diǎn)；（4）定出兩個(gè)已知圓的交點(diǎn)；（5）定出已知直線與已知圓的交點(diǎn)。1837年數(shù)學(xué)家萬(wàn)鍥爾（P.L.Wantzel,1814--1848）注意到：直線方程是（一次）線性的，而圓的方程是二次的。通過(guò)上述五種手段所能做出的交點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求一次與二次方程組的解的問(wèn)題。簡(jiǎn)單的代數(shù)知識(shí)告訴我們：通過(guò)直尺與圓規(guī)所能做出的只能是已知線段（長(zhǎng)度）的和、差、積、商以及開(kāi)平方的有限次組合。三大作圖問(wèn)題要作什么？（1）“倍立方體”，要作出數(shù)值三大作圖問(wèn)題的不可能性（2）“化圓為方”，要作出數(shù)值（3）“三等分角”，如果記a=cosA,要作出角度A/3,也必作出相應(yīng)的余弦值x=cos(A/3),由三倍角公式，此值x是方程的解。三大作圖問(wèn)題是不可能的（1）“倍立方體”，要作出數(shù)值，

“三等分角”，要作出是三次方程的解。1837年萬(wàn)鍥爾證明，這兩個(gè)問(wèn)題都是用直尺和圓規(guī)不能作出的。（2）“化圓為方”，要作出數(shù)值，1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852——1939）證明了是超越數(shù)，隨即解決了“化圓為方”問(wèn)題的不可能性。其前提是尺規(guī)作圖。如果不限于尺規(guī)，它就會(huì)成為可能，目前已知的方法就有好幾種。“三等分角問(wèn)題”除了尺規(guī)要求外，還有一點(diǎn)常被人忽略，那就是三等分的是“任意角”，對(duì)于某些具體的角度，比如90，它就是可能的。

幾何三大作圖難題是已經(jīng)解決了的，結(jié)論為“不可能”。zwj@第二節(jié)Fermat大定理第二節(jié)

Fermat大定理

方程沒(méi)有正整數(shù)解。（1637年——1994年）該書(shū)第二卷命題8給出了方程

x2+y2=z2的整數(shù)通解。若m,n

是兩個(gè)正整數(shù)，且2mn是完全平方數(shù)，則通解為

1637年，費(fèi)馬在閱讀這一命題后，在該命題旁邊空白處用拉丁文寫(xiě)下一段具有歷史意義的批注：

“將一個(gè)正整數(shù)的立方表為兩個(gè)正整數(shù)的立方和；將一個(gè)正整數(shù)的四次方表為兩個(gè)正整數(shù)的四次方和；或者，一般地，將一個(gè)正整數(shù)的高于二次的冪表為兩個(gè)正整數(shù)的同一次冪的和，這是不可能的。對(duì)此，我找到了一個(gè)真正奇妙的證明，但書(shū)頁(yè)的空白太小，無(wú)法把它寫(xiě)下?！?/p>

用式子來(lái)表達(dá)這段話就是：方程xn+yn=zn(1)在n>2時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解。在費(fèi)馬去世五年后的1670年，費(fèi)馬的兒子在整理父親遺留的書(shū)籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這一批注，并公開(kāi)出版。兩個(gè)特例：n=3,42新人出擊瑞士人。

18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。世上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。13歲入大學(xué)，17歲取得碩士學(xué)位，30歲右眼失明，60歲完全失明。歐拉

LeonhardEuler

(1707-1783)歐拉（1707-1783）n=4的費(fèi)馬大定理證明：

無(wú)窮遞降法基本思想：（歐拉：1738）假如（1）有正整數(shù)解(a,b,c),即a4+b4

=c4

(2)則在正整數(shù)解中總有使數(shù)c最小者，然后從這組解(a,b,c)出發(fā)，導(dǎo)出一組新的正整數(shù)解(a1,b1,c1)

，而且c1<c

，這與c的最小性相矛盾

費(fèi)馬發(fā)明了一種“無(wú)窮遞降法”，用以給出了一個(gè)定理，由這個(gè)定理可以給出n=4的情形。這個(gè)定理是：邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形的面積不是一個(gè)完全平方數(shù)。用這種方法可以證明方程x4+y4=z2

（3）沒(méi)有正整數(shù)解。從而方程（2）也沒(méi)有正整數(shù)解。證明依賴(lài)于勾股數(shù)的表示（見(jiàn)本課程第3章）。此處從略。法國(guó)人。少數(shù)研究數(shù)學(xué)的女性。提出將“費(fèi)馬大定理”分成兩種情況：

(I) n能整除x、y、z。

(II) n

不能整除x、y、z。索菲婭SophieGermain(1776-1831)新的方向1831年，一位完全靠自學(xué)成材的法國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家索菲婭，依靠自己的聰明才智，把結(jié)果向前推進(jìn)了一大步：在x,y,z與n互素的前提下，證明了對(duì)所有小于100的奇素?cái)?shù)，費(fèi)馬大定理成立。

如果n是不超過(guò)100的奇素?cái)?shù)，則不存在正整數(shù)組（x,y,z

），使得x,y,z與n互素且滿(mǎn)足方程xn+yn=zn。理想數(shù)的誕生庫(kù)墨爾

ErnstEdwardKummer(1810-1893)德國(guó)人1845至1847年間，提出了“分圓整數(shù)”、“理想數(shù)”、“正規(guī)質(zhì)數(shù)”等概念。證明當(dāng)n<100時(shí)，“費(fèi)馬大定理”成立。1857年，獲巴黎科學(xué)院頒發(fā)獎(jiǎng)金三千法郎。

1847年，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栍靡环N精巧的證明方法，取消了上述“x,y,z與n互素”的條件限制，實(shí)現(xiàn)了第一次重大突破。他因此在1857年獲得巴黎科學(xué)院頒發(fā)獎(jiǎng)金3000法郎。

如果n是不超過(guò)100的奇素?cái)?shù)，則方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解。問(wèn)題轉(zhuǎn)化代數(shù)問(wèn)題方程xn+yn=zn的正整數(shù)解的可解性代數(shù)問(wèn)題方程xn+yn=1的正有理數(shù)解的可解性幾何問(wèn)題平面曲線xn+yn=1上是否有縱橫坐標(biāo)都是正有理數(shù)的所謂的正有理點(diǎn)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程xn+yn=1的正有理數(shù)解的可解性費(fèi)馬猜想每條曲線xn+yn=1上沒(méi)有正有理點(diǎn)法廷斯證明莫代爾猜想平面曲線分類(lèi)：（1）有理曲線：包括直線和所有二次曲線；（2）橢圓曲線：即三次曲線y2=x3+ax+b,其中，a,b是整數(shù)，并且方程x3+ax+b=0沒(méi)有重根；（3）其它曲線。（比如：平面曲線xn+yn=1，n>2

)

法廷斯證明莫代爾猜想

1922年，英國(guó)數(shù)學(xué)家莫代爾提出猜想：

每條第三類(lèi)曲線上最多只有有限多個(gè)有理點(diǎn)1983年，法廷斯證明了莫代爾猜想.

從而每條曲線xn+yn=1上上最多只有有限多個(gè)有理點(diǎn)費(fèi)馬猜想每條曲線xn+yn=1上沒(méi)有正有理點(diǎn)差一點(diǎn)兒……符雷的發(fā)現(xiàn)法廷斯證明莫代爾猜想，吸引了許多幾何高手加入研究費(fèi)馬大定理的行列，為費(fèi)馬大定理的證明開(kāi)辟了多條道路，其中德國(guó)數(shù)學(xué)家符雷偶然發(fā)現(xiàn)了一條蹊徑：費(fèi)馬大定理與第二類(lèi)曲線（橢圓曲線）有密切關(guān)系。志村-谷山-外依猜想關(guān)于（第二類(lèi)）橢圓曲線，有許多重要猜想，其中一個(gè)由日本數(shù)學(xué)家志村和谷山，以及法國(guó)數(shù)學(xué)家外依在1950年提出的猜想，稱(chēng)之為志村-谷山-外依猜想:有理數(shù)域上的每條橢圓曲線都是模曲線。1985年德國(guó)數(shù)學(xué)家符雷在一次會(huì)議上宣布：如果對(duì)某個(gè)n>2費(fèi)馬大定理不成立，他可以具體構(gòu)造一個(gè)橢圓曲線，使志村-谷山-外依猜想對(duì)這條曲線不成立。因此（逆否命題）若志村-谷山-外依猜想成立，則對(duì)所有n>2費(fèi)馬大定理成立！1997

年6

月27日，外爾斯榮獲德國(guó)懸賞的10萬(wàn)馬克獎(jiǎng)金。最后勝利1.Fermat-Catalan猜想

若正整數(shù)m,n,k滿(mǎn)足

1/m+1/n+1/k<1則不定方程xn+ym=zk只有有限多個(gè)互素的正整數(shù)解組（a,b,c）.1995年，H.Damon和A.Granville找到了10個(gè)這樣的解，它們是：2.Beal猜想若正整數(shù)m,n,k3，則不定方程xn+ym=zk沒(méi)有異于（2，2，2）的正整數(shù)解組（a,b,c）。這一猜想是由一個(gè)銀行職員AndrewBeal

提出的。他為此提供5千美圓的征解獎(jiǎng)金，而且每延長(zhǎng)一年，獎(jiǎng)金增加5千美圓，最高到5萬(wàn)美圓。zwj@第三節(jié)Goldbach猜想Goldbach猜想n>2時(shí)，2n=p+q,其中，p,q是素?cái)?shù)(1742年——?!)zwj@數(shù)的分解問(wèn)題

整數(shù)的分解與分拆：對(duì)于乘法，

算術(shù)基本定理：任一自然數(shù)都可以唯一分解為若干個(gè)素?cái)?shù)之積。數(shù)的分解問(wèn)題

對(duì)于加法，人們也可以研究自然數(shù)的構(gòu)成：將一個(gè)自然數(shù)寫(xiě)成若干個(gè)較小的自然數(shù)之和，這個(gè)過(guò)程叫做數(shù)的分拆。其結(jié)論是極其復(fù)雜的。如：

5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1一般地，如果用p(n)表示整數(shù)n的加法表示種數(shù)，則它往往是一個(gè)很大的數(shù)。

P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=5,P(5)=7,P(6)=11,P(7)=15,P(8)=22,…，

P(100)=190,569,292（1億9千萬(wàn)）

P(200)=3,972,999,029,388(4萬(wàn)億)?？梢?jiàn)，如果不加以限制，這樣的問(wèn)題是復(fù)雜的，也是沒(méi)有太大意義的。于是，人們研究各種限制下的整數(shù)分拆問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題被華羅庚稱(chēng)為“堆壘數(shù)論”。華羅庚這里面第一個(gè)問(wèn)題就是分拆為方冪和的問(wèn)題。1770年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange,1736—1813)證明了：

每個(gè)正整數(shù)都是不超過(guò)四個(gè)正整數(shù)的平方和，也是不超過(guò)九個(gè)正整數(shù)的立方和，還是不超過(guò)十九個(gè)正整數(shù)的四次方和。對(duì)于這種形式的分拆，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert,1862—1943)證得：

對(duì)任一正整數(shù)k，都存在一個(gè)正整數(shù)c(k),使得每個(gè)正整數(shù)都是c(k)個(gè)正整數(shù)的k次方和.但是，他并不知道c(k)的具體大小。對(duì)于偶數(shù)，一個(gè)明顯的分拆是可以寫(xiě)成兩個(gè)奇數(shù)之和。而任意奇數(shù)都可以分解為若干個(gè)奇素?cái)?shù)之積，因此可以肯定：每一個(gè)大于4的偶數(shù)都是“若干(m)”個(gè)奇素?cái)?shù)的積加上另外“若干(n)”個(gè)奇素?cái)?shù)的積。這里的“若干(m或n)”都可以限制為1,即“n>2時(shí)，2n=p+q,其中，p,q是素?cái)?shù)”問(wèn)題:這里的“若干”能不能有個(gè)限度。哥德巴赫經(jīng)過(guò)大量的驗(yàn)算后猜想：Goldbach

猜想2哥德巴赫（C.Goldbach，1690--1764）是德國(guó)數(shù)學(xué)家，畢業(yè)于哥尼斯堡大學(xué)。他本來(lái)是住俄羅斯的一位公使，業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué),后任圣彼得堡科學(xué)院教授、院士。從1729年起，哥德巴赫和瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉經(jīng)常通信討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種聯(lián)系長(zhǎng)達(dá)35年之久。公元1742年6月7日，住在圣彼得堡的哥德巴赫在給歐拉的信中提出：“我不相信關(guān)注那些雖沒(méi)有證明但很可能正確的命題是無(wú)用的。即使以后它們被驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，也會(huì)對(duì)發(fā)現(xiàn)新的真理有益。比如費(fèi)馬的……。我也想同樣冒險(xiǎn)提出一個(gè)猜想：如果一個(gè)整數(shù)可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)的和，則它也是許多素?cái)?shù)的和，這些素?cái)?shù)像人們所希望的那么多，……?？磥?lái)無(wú)論如何，任何大于2的數(shù)，都是三個(gè)素?cái)?shù)的和（注：當(dāng)時(shí)認(rèn)為1也是素?cái)?shù)）。例如：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3；5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1”同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中指出“每一個(gè)大偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，雖然我不能完全證明它，但我確信這個(gè)論斷是完全正確的?！薄懊恳粋€(gè)大于或等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和?！备绲掳秃詹孪朊恳粋€(gè)大于或等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。簡(jiǎn)稱(chēng)（1+1）：“1”個(gè)素?cái)?shù)加（+）“1”個(gè)素?cái)?shù)；觀察以上兩句話，我們會(huì)發(fā)現(xiàn):第一句是基本的，第二句可以由第一句導(dǎo)出。這第一句話就是后人所稱(chēng)的哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想引起了眾多數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者的極大興趣，但它的證明極其困難，直到19世紀(jì)末的160年間，沒(méi)有取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。毫無(wú)疑問(wèn)，證明或否定哥德巴赫猜想，是對(duì)歷代數(shù)學(xué)家智慧與功力的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。它的魅力就在于：簡(jiǎn)單而艱深!Goldbach

猜想的研究31.研究方向：蘭道的方向：1912年，德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道在第五屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上指出：即使要證明較弱的命題：“每一個(gè)大于4的偶數(shù)都是m（m是一個(gè)確定整數(shù)）個(gè)奇素?cái)?shù)之和?！币彩乾F(xiàn)代數(shù)學(xué)力所不及的。18年后，一位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家證明：這樣的m一定是存在的！這為人們提供了第一個(gè)研究方向。

因子哥德巴赫問(wèn)題方向

先證明：對(duì)于某個(gè)具體的m,n,

每一個(gè)大于4的偶數(shù)都是不超過(guò)m個(gè)奇素?cái)?shù)的積加上另外不超過(guò)n個(gè)奇素?cái)?shù)的積，簡(jiǎn)稱(chēng)(m+n)。

2N=p1p2…pj+q1q2…qk,(j≤m,k≤n)

然后再一步一步地減小m,n,最后降到m=n=1時(shí)(2N=p1+q1)，就完成了證明。2.研究方法：篩法；圓法；三角和法篩法：這是一種由古老方法演變而來(lái)的數(shù)學(xué)方法，是迄今為止研究哥德巴赫猜想最為有效且獲得最好結(jié)果的方法。兩千多年前古希臘學(xué)者愛(ài)拉托士散納(Eratosthenes)創(chuàng)造了一種得到素?cái)?shù)的方法：在紙上由2開(kāi)始順次寫(xiě)下足夠多個(gè)自然數(shù)，將其中2的倍數(shù)（當(dāng)然不包括2，下同）都劃掉，然后是3的倍數(shù)，5的倍數(shù)……如此往復(fù)，則最后剩下該范圍內(nèi)所有的素?cái)?shù)。篩法就是以這種方法為基礎(chǔ)演化而來(lái)的。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100圓法：圓法是在20世紀(jì)20年代，由英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)與李特伍德(Littlewood,1885-1977)系統(tǒng)地開(kāi)創(chuàng)與發(fā)展起來(lái)的研究堆壘素?cái)?shù)論的方法.1923年，他們利用“圓法”及一個(gè)未經(jīng)證實(shí)的猜測(cè)——黎曼猜測(cè)證明了任一充分大的奇數(shù)都是三素?cái)?shù)之和．圓法內(nèi)容比較復(fù)雜，此處不予介紹。三角和法：20世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉托夫創(chuàng)造了一種“三角和法”。1937年，維諾格拉托夫本人利用“圓法”及他自己創(chuàng)造的“三角和法”基本上證明了“任一充分大的奇數(shù)都是三素?cái)?shù)之和．”3.研究進(jìn)展：蘭道的方向：1930年,蘇聯(lián)25歲的數(shù)學(xué)家史尼爾勒曼證明了命題“每一個(gè)大于4的偶數(shù)都是m個(gè)奇素?cái)?shù)之和”并估計(jì)這個(gè)數(shù)m不會(huì)超過(guò)800000.1935年m2208(蘇聯(lián)羅曼諾夫)1936年m271(德國(guó)海爾布倫,蘭道,等)1937年m267(意大利里奇)1950年m220(美國(guó)夏彼羅,瓦爾加)1956年m218(中國(guó)尹文霖)1976年m26(旺格漢)因子哥德巴赫問(wèn)題先證明：對(duì)于某個(gè)具體的m,n,

每一個(gè)大于4的偶數(shù)都是不超過(guò)m個(gè)奇素?cái)?shù)的積加上另外不超過(guò)n個(gè)奇素?cái)?shù)的積，簡(jiǎn)稱(chēng)(m+n)。

2N=p1p2…pj+q1q2…qk,(j≤m,k≤n)

逐步縮小m,n,最后降到m=n=11920年，挪威數(shù)學(xué)家布龍率先證明了（9+9）;1924年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷德馬赫證明（7+7）；1932年，英國(guó)數(shù)學(xué)家埃斯特曼證明（6+6）；1937年，意大利數(shù)學(xué)家黎絲證明了(5+7）,(4+9)等；1938年和1940年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃先后證明了（5+5），（4+4）；1957年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明（2+3）；1962年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元與潘承洞證明（1+4）；1965年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維納格拉托夫等分別獨(dú)立證明了（1+3）；1966年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了（1+2）:

2n=p+q,或2n=p+q1q2至此，離哥德巴赫猜想（1+1）的證明只有一步之遙。陳景潤(rùn)與Goldbach猜想4陳景潤(rùn)其人陳景潤(rùn)（1933—1996）中國(guó)當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家1933年5月22日出生于福建省從小酷愛(ài)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)刻苦，成績(jī)優(yōu)秀在高中時(shí)期，沈元老師教他數(shù)學(xué),沈老師向?qū)W生介紹了“Goldbach猜想”，并補(bǔ)充說(shuō)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇冠，而Goldbach猜想是皇冠上的明珠?！标惥皾?rùn)對(duì)哥德巴赫的研究1966年5月，陳景潤(rùn)經(jīng)過(guò)7個(gè)寒暑的艱辛研究，依靠他超人的勤奮和頑強(qiáng)的毅力證明了（1+2）：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)加上另外不超過(guò)2個(gè)素?cái)?shù)的積。他的論文手稿長(zhǎng)達(dá)200多頁(yè)，沒(méi)有全部發(fā)表。經(jīng)過(guò)壓縮整理，1973年正式發(fā)表。這一研究成果在國(guó)際數(shù)學(xué)界引起極大反響，在國(guó)內(nèi)家喻戶(hù)曉。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈伯斯坦姆與德國(guó)數(shù)學(xué)家李希特合著的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《篩法》，原有10章，付印后見(jiàn)到陳景潤(rùn)的論文，便加入了第十一章，章目為“陳氏定理”，并寫(xiě)信給陳景潤(rùn)，稱(chēng)贊他說(shuō)：“您移動(dòng)了群山！”是的，“陳氏定理”離哥德巴赫猜想（1+1）的證明只有一步之遙了。雖然哥德巴赫猜想還沒(méi)有最終被證明，但是，在數(shù)學(xué)家們一次次的攻關(guān)過(guò)程中，產(chǎn)生了許多新方法、新理論。從這個(gè)意義上講，在向世界難題進(jìn)軍過(guò)程中所作的努力和嘗試所對(duì)數(shù)學(xué)的促進(jìn)與推動(dòng)，其意義要大于難題的最終解決。zwj@第四節(jié)四色猜想繪制任一地圖，只要四種顏色就夠了！四色猜想（1852年——1976年）zwj@一個(gè)故事1國(guó)王的遺囑從前有個(gè)國(guó)王，他有五個(gè)兒子，臨終立下一條遺囑并留下一個(gè)錦盒：“我死后，請(qǐng)孩子們將國(guó)土劃分為五個(gè)區(qū)域，每人一塊，形狀任意，但任一塊區(qū)域必須與其它四塊都相鄰。如果在劃分疆土?xí)r遇到困難，可以打開(kāi)錦盒尋找答案?！卞\盒中國(guó)王的親筆信：囑托五位王子要精誠(chéng)團(tuán)結(jié)，不要分裂，合則存，分則亡。這個(gè)故事告訴我們?cè)谄矫嫔弦胧谷我粎^(qū)域都與其它四個(gè)區(qū)域相鄰的五個(gè)區(qū)域可能是不存在的。四色猜想的來(lái)歷2四色猜想的來(lái)歷大約在1852年，英國(guó)FrancisGuthrie發(fā)現(xiàn)：繪制地圖，一般至少需要四種顏色。但不論多么復(fù)雜的地圖，只需要四種顏色就足夠了。FrancisGuthrie告訴堂兄FrederickGuthrie。FrederickGuthrie請(qǐng)教老師A.DeMorgan

(1806—1871)。A.DeMorgan在1852年10月23日寫(xiě)信給英國(guó)三一學(xué)院的著名數(shù)學(xué)家W.R.Hamilton

(1805-1865),信中在介紹了四色猜想之后寫(xiě)到：“就我目前的理解，如果四個(gè)區(qū)域中的每一個(gè)都和其它三個(gè)區(qū)域相鄰，則其中必有一個(gè)區(qū)域（下圖中的紅色區(qū)域）被其它三個(gè)區(qū)域包圍，因而任何第五個(gè)區(qū)域都不可能與它相鄰。若這是對(duì)的，則四色猜想成立?！盌eMorgan還畫(huà)出了三個(gè)具體的圖形來(lái)說(shuō)明上述理解，并說(shuō)：“我越想越覺(jué)得這是顯然的事情。如果您能舉出一個(gè)簡(jiǎn)單的反例來(lái)，說(shuō)明我像一頭蠢驢?！?/p>

Hamilton為此努力了13年，未果而終（死）。1878年6月13日，英國(guó)數(shù)學(xué)家A.Cayley(1821-1895)在倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)正式提出四色猜想。1879年，他又向英國(guó)皇家地理學(xué)會(huì)提交一篇“關(guān)于地圖染色”的短文，該文刊登在該學(xué)會(huì)會(huì)刊創(chuàng)刊號(hào)上，公開(kāi)征求對(duì)四色猜想的解答。該文肯定這個(gè)問(wèn)題是由已故數(shù)學(xué)家A.DeMorgan提出的，并指出了解決四色猜想的困難所在。Cayley的論文引起了人們的重視，四色猜想因此才廣泛流傳開(kāi)來(lái)。哈密頓﹐W.R,(Hamilton﹐WilliamRowan)1805年8月4日生于愛(ài)爾蘭都柏林；1865年9月2日卒于都柏林(Dublin)。力學(xué)﹑數(shù)學(xué)﹑光學(xué)。凱萊﹐A.(Cayley﹐Arthur)1821年8月16日生于英國(guó)薩里的里士滿(mǎn)；1895年1月26日卒于英國(guó)劍橋。數(shù)學(xué)﹑天文學(xué)?？掀盏摹白C明”3最先聲稱(chēng)證明了四色猜想的是英國(guó)律師肯普?？掀漳贻p時(shí)曾拜數(shù)學(xué)家Cayley為師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他閱讀了Cayley“關(guān)于地圖染色”的論文，并認(rèn)真研究了Cayley所指出的證明困難所在，試圖用一“退”一“進(jìn)”的思想來(lái)克服這一困難。所謂“退”，就是設(shè)法從n個(gè)國(guó)家（區(qū)域）的地圖中去掉一個(gè)區(qū)域，使之化為具有n-1個(gè)區(qū)域的地圖。所謂“進(jìn)”，就是如果對(duì)具有n-1個(gè)區(qū)域的地圖可以用四色染色，進(jìn)而證明，再添加所去掉的區(qū)域后的n個(gè)區(qū)域的地圖也可以用四色染色。在Cayley提出四色猜想的當(dāng)年，即1879年，肯普就聲稱(chēng)證明了四色猜想。他的證明雖然11年后被人發(fā)現(xiàn)有漏洞，但卻是富有啟發(fā)性的。其成功之處在于他提出了“正規(guī)地圖”，證明了任一地圖均可以修改為正規(guī)地圖，而不需增加制圖色彩。指出了任一正規(guī)地圖都必然有的四種“不可避免組”（如下頁(yè)圖）。四種“不可避免組”希伍德的重要發(fā)現(xiàn)：五色定理的證明4

在肯普“證明”四色猜想11年以后的1890年，年僅29歲的英國(guó)青年數(shù)學(xué)家希伍德（P.J.Heawood,1861--1955）在《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》上發(fā)表題目為“地圖染色定理”的論文，指出了肯普在1879年所給證明中的錯(cuò)誤。同時(shí)，希伍德利用肯普的證明思想，成功地證明了五色定理：

五色定理：

任何地圖都可以用五種顏色正確染色希伍德關(guān)于五色定理的證明并不困難，除了使用肯普的證明思想外，歐拉公式是一個(gè)重要工具。

歐拉公式:對(duì)于任一給定的多面體或平面地圖，其面數(shù)f、邊數(shù)e和頂點(diǎn)數(shù)v

有下列關(guān)系：五色定理的證明要點(diǎn)：一個(gè)概念：

正規(guī)地圖——任一頂點(diǎn)處相交的區(qū)域數(shù)恰為三個(gè)的地圖。五色定理證明步驟：（1）任一地圖均可以修改為正規(guī)地圖，而不需增加制圖色彩。因此，只需對(duì)正規(guī)地圖證明五色定理即可。（2）在任一張正規(guī)地圖中，必有一個(gè)區(qū)域的頂點(diǎn)數(shù)（邊界數(shù)、相鄰區(qū)域數(shù)）不超過(guò)5（四種“不可避免組”）證明：事實(shí)上，如果區(qū)域數(shù)本身少于6，則結(jié)論自然成立。一般情況下，記fk為邊界上恰有k個(gè)頂點(diǎn)的區(qū)域數(shù)（面數(shù)），則區(qū)域總數(shù)為容易知道，邊界上有k個(gè)頂點(diǎn)的區(qū)域有kfk條邊界，而每條邊界都由兩個(gè)國(guó)家共用，每個(gè)頂點(diǎn)都由三個(gè)國(guó)家共用。從而，邊界總數(shù)e、頂點(diǎn)總數(shù)v必滿(mǎn)足

根據(jù)歐拉公式和上述三式可以看出：即

整理得上式左邊，故至少有一個(gè)結(jié)論得證。

（3）對(duì)正規(guī)地圖中所含區(qū)域（國(guó)家）的個(gè)數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明五色定理。

當(dāng)國(guó)家數(shù)f=2,3,4,5時(shí)，結(jié)論是自明的。假設(shè)當(dāng)fk

時(shí)五色定理成立，即對(duì)國(guó)家個(gè)數(shù)不超過(guò)k的地圖，可以用五種顏色正確著色。我們證明，當(dāng)f=

k+1時(shí)，也有同樣結(jié)論。根據(jù)（2），這樣的地圖必有一個(gè)邊數(shù)不多于5的國(guó)家。我們只考慮這樣的一個(gè)國(guó)家的邊數(shù)為5的情況。（其他情況更簡(jiǎn)單，證明從略）設(shè)A是這樣的一個(gè)國(guó)家，考慮與A相鄰的國(guó)家的情況。關(guān)鍵證明斷言：與A相鄰的國(guó)家中，必然有兩個(gè)國(guó)家是互不相鄰的。事實(shí)上，由于是正規(guī)地圖，任一頂點(diǎn)處相交的國(guó)家數(shù)為3，通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)，與A相鄰的國(guó)家情況，不外乎下圖中的三種之一。

圖1是A的鄰國(guó)中有一個(gè)國(guó)家（圖中黃色的國(guó)家）與A有兩條公共邊界，此時(shí)a國(guó)與b國(guó)是不相鄰的；圖2是A的鄰國(guó)中有兩個(gè)國(guó)家（圖中的黃色與綠色國(guó)家）在另一不同的邊界相交，此時(shí)亦有兩個(gè)國(guó)家，a國(guó)與b國(guó)，是不相鄰的；圖3是最簡(jiǎn)單的一種情況，A有五個(gè)互不包含的鄰國(guó)，顯然，此時(shí)a國(guó)與b國(guó)也是不相鄰的?，F(xiàn)在，我們把這張地圖中a、A、b三國(guó)合并成一國(guó)，這構(gòu)成了一個(gè)只有k-1個(gè)國(guó)家的正規(guī)地圖，按照歸納假設(shè)，是可以用五色繪制的。（如下圖4、5、6）由于A的邊界只有5條，其鄰國(guó)也最多有5個(gè)，現(xiàn)在合并掉兩個(gè)后，還剩下最多3個(gè)鄰國(guó)，因此，在A及其鄰國(guó)處只須4種顏色就夠了。現(xiàn)在，再把a(bǔ)、A、b三國(guó)恢復(fù)，a、b國(guó)保持原有顏色，而將A涂上第5種顏色，這樣這個(gè)具有k+1個(gè)國(guó)家的地圖也可以用5種顏色繪制了。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)所有地圖，五色定理成立。不可小看的四色猜想5五色定理的證明，給了人們很大信心，當(dāng)時(shí)許多人都認(rèn)為四色猜想是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。比如，當(dāng)消息流傳到俄羅斯時(shí)，愛(ài)因斯坦的數(shù)學(xué)導(dǎo)師、著名數(shù)學(xué)家Minkovski(1864-1909)就認(rèn)為這是一個(gè)顯然的問(wèn)題。他一次在課堂上偶然提到這個(gè)問(wèn)題時(shí)說(shuō)道：“地圖著色問(wèn)題之所以一直沒(méi)有解決，是因?yàn)闆](méi)有第一流的數(shù)學(xué)家來(lái)解決它?！苯又赜谐芍竦啬闷鸱酃P在黑板上推導(dǎo)起來(lái)，結(jié)果卻沒(méi)有成功。他極不甘心，下一節(jié)課又繼續(xù)嘗試，依然沒(méi)有進(jìn)展。一連幾天如此，都是毫無(wú)結(jié)果。有一天，天下大雨，他剛跨進(jìn)教室，疲倦地注視著依舊掛著他的“證明”的黑板，正要繼續(xù)他的推導(dǎo)時(shí)，突然雷聲大作，震耳欲聾。他突然醒悟，馬上愧疚地對(duì)學(xué)生說(shuō)，這是上天在責(zé)備我狂妄自大，我解決不了這個(gè)問(wèn)題。從此以后，人們才真正認(rèn)識(shí)到四色猜想是不可小看的。四色猜想成為近代數(shù)學(xué)三大難題之一。閔科夫斯基(Minkowski﹐Hermann)1864年6月22日生于俄國(guó)阿列克索塔斯(今屬立陶宛)；1909年1月12日卒于德國(guó)格丁根。四色猜想證明的進(jìn)展6

進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，人們一直在不斷地研究四色猜想，也取得了一定成就。1913年，哈佛大學(xué)教授伯克霍夫給出了檢查大的構(gòu)形的可約性的技巧；1920年，F(xiàn)ranklin證明當(dāng)國(guó)家個(gè)數(shù)不超過(guò)25個(gè)時(shí)，四色猜想是正確的；1926年，雷諾茲進(jìn)一步證明當(dāng)國(guó)家個(gè)數(shù)不超過(guò)27個(gè)時(shí)，四色猜想是正確的；1936年，

Franklin再次把國(guó)家個(gè)數(shù)擴(kuò)大到31個(gè)；1940年，Winn把國(guó)家個(gè)數(shù)擴(kuò)大到35個(gè)；1968年，挪威數(shù)學(xué)家O.Ore又把國(guó)家個(gè)數(shù)擴(kuò)大到40個(gè)；1975年，國(guó)家數(shù)提高到了52個(gè)。但這離關(guān)于所有地圖都成立的四色猜想的解決還是遙遙無(wú)期。四色定理機(jī)器證明引起的爭(zhēng)論與困惑7四色猜想難在哪里？難就難在要解決四色猜想，要做出大約兩百億次邏輯判斷。而一個(gè)人即使每秒鐘做一次邏輯判斷，他要工作將近700年，才能完成這些判斷?？梢?jiàn)，如果沒(méi)有超智慧的理論突破，單靠一個(gè)人的力量是不可能解決這一問(wèn)題的?？掀盏乃枷耄由嫌?jì)算機(jī)的加盟，給四色猜想的解決帶來(lái)了曙光。1976年9月，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦的《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊》上載文宣布，美國(guó)Illinois大學(xué)的兩位數(shù)學(xué)家K.I.Appel和W.Haken，根據(jù)肯普的證明思想，利用3臺(tái)IBM360型超高速電子計(jì)算機(jī)，耗時(shí)約1200小時(shí)，終于證明了四色猜想（全文發(fā)表在次年9月的《IllinoisJ.Math.》V.21上）。這一成就震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界，影響到全社會(huì)。當(dāng)天，Appel所在的厄巴納郵局為了紀(jì)念這一創(chuàng)舉與成功，特別在郵戳上加蓋了FourCoulorsSuffice

四色猜想的機(jī)器證明開(kāi)辟了數(shù)學(xué)證明的廣闊前景：人類(lèi)提供思想，計(jì)算機(jī)提供計(jì)算與判斷，是理論方法與實(shí)驗(yàn)方法完美結(jié)合的一個(gè)典范。這一證明，意義重大，它說(shuō)明，機(jī)器不僅可以進(jìn)行計(jì)算，也可以進(jìn)行推理。目前，我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊、張景中等已經(jīng)系統(tǒng)地建立了機(jī)器證明的理論方法，并成功地解決了許多問(wèn)題。但同時(shí)也有不少人對(duì)四色猜想的機(jī)器證明提出異議：一是程序難以檢驗(yàn)，二是錯(cuò)誤無(wú)法識(shí)別。1985年1月，有人找出了上述機(jī)器證明中的一個(gè)錯(cuò)誤，全美數(shù)學(xué)大會(huì)宣布他們的證明錯(cuò)誤。但后來(lái)這一錯(cuò)誤得到修復(fù)，四色猜想是正確的。盡管如此，四色猜想能否用邏輯演繹方式而非機(jī)器來(lái)加以證明，至今仍是一個(gè)值得研究的未解之謎。結(jié)束語(yǔ)六個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，跨越2000多年，傾注了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的心血。有些已經(jīng)解決，有些尚未解決。有些有明顯的應(yīng)用價(jià)值，有些卻看不到直接的應(yīng)用前景。但是它們的確是數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)縮影，反映了數(shù)學(xué)問(wèn)題的共同特征：在多數(shù)情況下，在向世界難題進(jìn)軍過(guò)程中所作的努力與嘗試，所產(chǎn)生的思想與方法等，這些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)與推動(dòng)，其意義要大于難題本身的意義和難題的最終解決。zwj@第五節(jié)七個(gè)千禧年數(shù)學(xué)難題之Poincare猜想第五節(jié)七個(gè)千禧年數(shù)學(xué)難題

（2000年5月24日：巴黎）ClayMathematicsInstitute

1.Riemann猜想（Riemann假設(shè)）

Riemann猜想與素?cái)?shù)有關(guān)。早在古希臘時(shí)期，歐幾里得就巧妙地證明了：素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。但是這些素?cái)?shù)的存在有一個(gè)固定的模式嗎？十九世紀(jì)中葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(BernhardRiemann,1826—1866)提出猜想：素?cái)?shù)不僅有無(wú)窮多個(gè)，而且這無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)以一種微妙和精確的模式出現(xiàn)。Riemann猜想的具體表述依賴(lài)于黎曼函數(shù)：

多項(xiàng)式函數(shù)有兩種表示方法，即

P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

和

P(x)=an

(x-x1)(x-x2)…(x-xn)。

仿照多項(xiàng)式情形，歐拉把黎曼函數(shù)表示為無(wú)窮乘積的形式：黎曼又把它開(kāi)拓到整個(gè)復(fù)數(shù)平面，成為復(fù)變量s的函數(shù)，這包含了非常多的信息，當(dāng)然它包含了所有素?cái)?shù)的信息。正如多項(xiàng)式的情形一樣，函數(shù)的信息大部分包含在其零點(diǎn)的信息當(dāng)中，因此，黎曼函數(shù)的零點(diǎn)就成為大家關(guān)心的頭等大事?？梢灾?，黎曼函數(shù)在負(fù)偶數(shù)–2,-4,-6,…等處有零點(diǎn)，人們稱(chēng)這些為“平凡零點(diǎn)”。Riemann猜想是關(guān)于黎曼函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的特征的，具體講為：

Riemann猜想（1859年）黎曼函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部等于1/2，即滿(mǎn)足

0

1/2

1平凡零點(diǎn):-2,-4,-6,….無(wú)零點(diǎn)復(fù)平面ImRe無(wú)窮多零點(diǎn)黎曼﹐G.F.B.,(Riemann﹐GeorgFriedrichBernhard)1826年9月17日生于德國(guó)漢諾威的布雷斯塞倫茨(Breselenz)；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡(Selasca)。2.Poincare猜想

已經(jīng)解決了龐加萊(Poincare)猜想任何單連通的三維流形（正如我們所在的宇宙空間）一定是一個(gè)三維球面。

3.P問(wèn)題對(duì)NP問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題與哲學(xué)上什么是可知的，什么是不可知的問(wèn)題密切相關(guān),屬于計(jì)算復(fù)雜性理論。在一個(gè)盛大晚會(huì)上。你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的朋友向