四年級奧數(shù)知識點(上)

四年級奧數(shù)基礎(chǔ)講練教程四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第1頁。第一講加減法的巧算速算四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第2頁。

奧數(shù)知識：在巧算方法里，蘊含著一種重要的解決問題的策略。轉(zhuǎn)化問題法即把所給的算式，根據(jù)運算定律和運算性質(zhì)，或改變它的運算順序，或減整從而變成一個易于算出結(jié)果的算式。

【例題1】

計算9+99+999+9999

【思路】這四個加數(shù)分別接近10、100、1000、10000。在計算這類題目時，常使用減整法，例如將99轉(zhuǎn)化為100－1。這是小學(xué)數(shù)學(xué)計算中常用的一種技巧。9+99+999+9999=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）=10+100+1000+10000－4=11106四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第3頁。【例題2】計算489+487+483+485+484+486+488

【思路】認真觀察每個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)490接近，所以選490為基準(zhǔn)數(shù)。489+487+483+485+484+486+488=490×7－1－3－7－5－6－4－2=3430－28=3402想一想：如果選480為基準(zhǔn)數(shù)，可以怎樣計算？.四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第4頁?！纠}3】計算下面各題。（1）632－156－232（2）128+186+72－86

【思路】在一個沒有括號的算式中，如果只有第一級運算，計算時可以根據(jù)運算定律和性質(zhì)調(diào)換加數(shù)或減數(shù)的位置。（2）128+186+72－86=128+72+186－86=（128+72）+（186－86）=200+100=300（1）632－156－232=632－232－156=400－156=244四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第5頁。【例題4】計算：1.248+（152－127）2.324－（124－97）【思路】在計算有括號的加減混合運算時，有時為了使計算簡便可以去括號，如果括號前面是“+”號，去括號時，括號內(nèi)的符號不變；如果括號前面是“－”號，去括號時，括號內(nèi)的加號就要變成減號，減號就要變成加號。

我們可以把上面的計算方法概括為：括號前面是加號，去掉括號不變號；括號前面是減號，去掉括號要變號。1.248+（152－127）2.324－（124－97）=248+152－127=324-124+97=400－127=200+97=273=297

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第6頁?！纠}5】計算下面各題。（1）286+879－679（2）812－593+193

【思路】在計算沒有括號的加減法混合運算式題時，有時可以根據(jù)題目的特點，采用添括號的方法使計算簡便，與前面去括號的方法類似，我們可以把這種方法概括為：括號前面是加號，添上括號不變號；括號前面是減號，添上括號要變號。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第7頁。小結(jié)：加減法的巧算速算共5種典型題型一是減整法二是選定基數(shù)法三是調(diào)換運算順序法四是去括號法五是添括號法四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第8頁。練習(xí)：【練習(xí)1】1.99999+9999+999+99+92.9+98+996+9997

3.1999+2998+396+4974.198+297+396+495

5.1998+2997+4995+59946.19998+39996+49995+69996.【練習(xí)2】1.50+52+53+54+512.262+266+270+268+264

3.89+94+92+95+93+94+88+96+874.381+378+382+383+379

5.1032+1028+1033+1029+1031+10306.2451+2452+2446+2453.【練習(xí)3】1.1208－569－2082.283+69－1833.132－85+684.2318+625－1318+375

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第9頁?！揪毩?xí)4】1.348+（252－166）2.629+（320－1293.462－(262－129)4.662－(315－238)5.5623－(623－289)+452－(352－2116.736+678+2386－(336+278)－186【練習(xí)5】1.368+1859－8592.582+393－2933.632－385+2854.2756－2748+1748+2445.612－375+275+（388+2866.756+1478+346－（256+278）－246四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第10頁。第二講

乘除法的巧算速算

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第11頁。奧數(shù)知識：

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的運算定律和運算性質(zhì)以及積、商的變化規(guī)律，通過對算式適當(dāng)變形，將其中的數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百、整千…的數(shù)，或者使這道題計算中的一些數(shù)變得易于口算，從而使計算簡便?！纠?】計算325÷25。

【思路】在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。利用這一性質(zhì)，可以使這道計算題簡便。325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第12頁?！纠?】計算25×125×4×8

【思路】經(jīng)過仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：在這道連乘算式中，如果先把25與4相乘，可以得到100；同時把125與8相乘，可以得到1000；再把100與1000相乘就簡便了。這就啟發(fā)我們運用乘法交換律和結(jié)合律使計算簡便。25×125×4×8=（25×4）×（125×8）=100×1000=100000四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第13頁?！纠?】計算（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15

【思路】兩個數(shù)的和（或差）除以一個數(shù)，可以用這個數(shù)分別去除這兩個數(shù)，再求出兩個商的和（或差）。

利用這一性質(zhì)，可以使這道題計算簡便。（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15=360÷36+108÷36=450÷15－75÷15=10+3=30－5=13=25四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第14頁?！纠?】計算158×61÷79×3。

【思路】在乘除法混合運算中，如果算式中沒有括號，計算時可以根據(jù)運算定律和性質(zhì)調(diào)換因數(shù)或除數(shù)的位置。

158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第15頁?！纠?】計算下面各題。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）

【思路】這兩道題都是乘除混合運算式題，我們可以根據(jù)這兩道題的特點，采用加括號或去括號的方法，使計算簡便。其方法與加減混合運算添、去括號的方法類似，可以概括為：括號前是乘號，添、去括號不變號；括號前是除號，添、去括號要變號。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）=123×（96÷16）=200÷25×4=123×6=8×4=738=32

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第16頁。小結(jié)：乘除法的巧算速算常用3種方法：一是同時擴大（縮?。┏龜?shù)與被除數(shù)倍數(shù)湊整二是調(diào)換運算順序湊整三是去括號（添括號）四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第17頁。【練習(xí)1】1.450÷252.525÷253.3500÷1254.10000÷6255.9000÷225

【練習(xí)2】1.125×15×8×42.25×3.25×5×64×1254.125×25×325.75×166.125×16【練習(xí)3】計算下面各題。1．（720+96）÷242．（4500－90）÷453．8811÷894．73÷36+105÷36+146÷365．（10000－1000－100－10）÷10

【練習(xí)4】1.238×36÷119×52.624×48÷312÷8

3.138×27÷69×504.406×312÷104÷203【練習(xí)5】計算下面各題。1.612×366÷1832.1000÷（125÷4）3.（13×8×5×6）÷（4×5×6）4.241×345÷678÷345×（678÷241）

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第18頁。第三講小數(shù)巧算四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第19頁。知識點撥一、基本運算律及公式一、加法加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，他們的和不變。即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一數(shù)．例如，7＋8＝8＋7＝15.總結(jié)：多個數(shù)相加，任意交換相加的次序，其和不變．四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第20頁。加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，他們的和不變。即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一數(shù)．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).總結(jié)：多個數(shù)相加，也可以把其中的任意兩個數(shù)或者多個數(shù)相加，其和不變。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第21頁。二、減法在連減或者加減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時要帶數(shù)字前面的運算符號“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一個數(shù)．在加減法混合運算中，去括號時：如果括號前面是“＋”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變；如果括號前面是“－”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃保纾篴＋（b－c）＝a＋b－c四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第22頁。a－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、減法混合運算中，添括號時：如果添加的括號前面是“＋”，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號不變；如果添加的括號前面是“－”，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃?。如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第23頁。二、加減法中的速算與巧算速算巧算的核心思想和本質(zhì)：湊整常用的思想方法：1、分組湊整法．把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)．“補數(shù)”就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”．2、加補湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整．四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第24頁。3、數(shù)值原理法．先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加．4、“基準(zhǔn)數(shù)”法，基準(zhǔn)當(dāng)幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）例題精講四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第25頁。模塊一：分組湊整思想【例

1】91.8186.789.6270.490.288.891.5【鞏固】2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【例3】計算56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第26頁。模塊二、加補湊整思想【例

5】(1)0.999990.99990.9990.990.9(2)199.819.971.996(3)999999999.799.79.70.7【鞏固】（1）9.996＋29.98＋169.9＋3999.5（2）89＋899＋8999＋89999＋899999四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第27頁。模塊三、位值原理【例

7】924.68724.68524.68324.68124.68

模塊四、基準(zhǔn)數(shù)思想【例

8】計算

0.999990.99990.9990.990.9

【鞏固】199.819.971.996四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第28頁。第四講體育比賽中的數(shù)學(xué)問題

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第29頁。一、知識點總結(jié)1.單循環(huán)賽：每兩個隊之間都要比賽一場，無主客場之分。（通俗的說就是除了不和自己比賽，其他人都要比）四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第30頁。2.雙循環(huán)賽：每兩個隊都要比賽一場，有主客場之分。

（每個隊和同一個對手交換場地賽兩次）

一共比賽場數(shù)=（人數(shù)-1）×人數(shù)3.淘汰賽：每兩個隊用一場比賽定勝負，經(jīng)過若干輪之后，最后決出冠軍。

（每場比賽輸者打包回家）

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第31頁。二、做題方法1.點線圖2.列表法3.極端性分析------根據(jù)個人比賽場數(shù)，猜個人最高分根據(jù)得分，猜“戰(zhàn)況”

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第32頁。例題分析

例題1：三年級四個班進行足球比賽，每兩個班之間都要賽一場，每個班賽幾場？一共要進行多少場比賽？

解析：除了不和自己賽，和其他班都要賽，所以每個班賽4-1=3場。

一共進行的場數(shù)：3×4÷2=6場

練習(xí)1：每個學(xué)校都要賽一場，共賽了28場，那么有幾個學(xué)校參加比賽？

解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+……7=287+1=8個方法二：（人數(shù)-1）×人數(shù)=28×2=567×8=56，所以為8人四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第33頁。例題2：20名羽毛球運動員參加單打比賽，淘汰賽，那么冠軍一共要比賽多少場？解析：第一輪：20÷2=10（場），10名勝利者進入下一輪

第二輪：10÷2=5（場），5名勝利者進入下一輪第三輪：5÷2=2（場）....1人，3名勝利者進入下一輪第四輪：2÷2=1（場）勝利者和第三輪中剩下的一人進入下一輪比賽第五輪：2÷2=1（場）冠軍一共參加了5場比賽。決出冠軍一共要比賽的場數(shù)：一場比賽淘汰一人，除了冠軍不被淘汰：20-1=19場

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第34頁。例題3：A,B,C,D,E,五位同學(xué)一起比賽象棋，單循環(huán)比賽，A已經(jīng)賽了4盤，B已經(jīng)賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，此時E賽了幾盤？

解析：利用點線圖四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第35頁。

例題4：A,B,C,D,E,五位同學(xué)一起比賽乒乓球，單循環(huán)比賽，勝者得2分，負者不得分，比賽結(jié)果如下：(1)A與E并列第一(2)B是第三名(3)C和D并列第四名求B得分？解析：根據(jù)個人比賽場數(shù)猜最高分每人比賽4場，全勝得8分，有并列第一，就沒有全勝，所以不可能得8分；有并列倒數(shù)第一，所以沒有全敗，沒有0分；而每個人得分是個偶數(shù)，在0和8之間的偶數(shù)只有2,4,6，三個分數(shù)，三個名次，所以B得4分

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第36頁。學(xué)案5：四名同學(xué)單循環(huán)比賽，勝者得2分，負者得0分，平者各得1分。已知甲乙丙三人得分分別為3分，4分，4分，且丙無平局，甲有勝局，乙有平局，那么丁同學(xué)得分？解析：共比賽場數(shù)3×4÷2=6場每場比賽兩人共得2分，6場比賽共得6×2=12分所以丁得分12-2-4-4=1分四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第37頁。第五講整除

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第38頁。概念復(fù)習(xí)：約數(shù)：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數(shù)，b稱為a的約數(shù)。如：4是2的倍數(shù)，2是4的約數(shù)。公約數(shù)：亦稱“公因數(shù)”。它是幾個整數(shù)同時均能整除的整數(shù)。如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的約數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；如：3是6和9的公約數(shù)；30和40，它們的公約數(shù)有1，2，5，10。最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。如30和40，它們的最大公約數(shù)是10?；ベ|(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。稱兩數(shù)互質(zhì)。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第39頁。

整除的特性：一、看末位：能被2整除的特征：如果一個數(shù)的個位數(shù)字是偶數(shù)，那么這個數(shù)能被2整除。能被5整除的特征：如果一個數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么這個數(shù)能被5整除。能被4（或25）整除的特征：如果一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個數(shù)能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的特征：如果一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個數(shù)能被8（或125）整除。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第40頁。二、看數(shù)字和：能被3（9）整除的特征：如果一個數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（9）整除，那么這個數(shù)能被3（9）整除。能被99整除的特征：如果一個數(shù)從右向左兩位兩位和能被99整除，那么這個數(shù)能被99整除。能被999整除的特征：如果一個數(shù)從右向三位三位和能被999整除，那么這個數(shù)能被999整除。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第41頁。三、看數(shù)段差

能被7（11/13）整除的特征：如果一個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）能被7（11/13）整除，那么這個數(shù)能被7（11/13）整除。當(dāng)一個多位數(shù)中有一個或幾個數(shù)字用字母表示時，為防止理解錯誤，就在這個多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個多位數(shù)。例如，表示這個三位數(shù)的百、十、個位依次是3，a，5；四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第42頁。例1：判斷下列各數(shù)是否能被3整除：2574，38974，587931例2：六位數(shù)能被3整除，字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。例3：已知一個6位數(shù)14A52B能被5和9整除，求這個6位數(shù)。【解題步驟】能被5整除的數(shù)的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的數(shù)字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。當(dāng)B=0時，A取6；當(dāng)B=5時，A取1。所以這個6位數(shù)是141525或146520四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第43頁。例4：

在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除：

那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，

所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；

如果56□2能被8整除：

那么6□2應(yīng)能被8整除，

所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；

如果56□2能被4整除：

那么□2應(yīng)能被4整除，

所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第44頁。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：

如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2：

如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性質(zhì)3：如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第45頁。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例5：要使六位數(shù)18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，這個六位數(shù)是多少？四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第46頁?！景l(fā)散思維】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互質(zhì)，所以這個6位數(shù)既能被4整除又能被9整除。

再考慮“所得的商最小”這個條件，應(yīng)首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小?！窘忸}步驟】18ABC6能被4整除，則C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。18ABC6能被9整除，則1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。

要使所得的商最小，就要使18ABC6盡可能小，即ABC盡可能小，因此首先A盡可能小，其次B,最后C盡可能小。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第47頁。

先試取A=0，此六位數(shù)之和為15+B+C,欲使B+C盡可能小，而且15+B+C能被9整除，則（B+C）取3，因為B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。則C=3,B=0.當(dāng)A=0,B=0,C=3時，此六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，為180036÷36=5001。例6：

五位數(shù)

能被72整除，A與B各代表什么數(shù)字？分析與解：已知

能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以

既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要能被8整除，那么末三位數(shù)

能被8整除，由此可確定B＝6。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第48頁。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征（各位數(shù)字之和能被9整除），即：A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，能被9整除因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第49頁。

【鞏固練習(xí)】在865后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能得小。解：假設(shè)這個數(shù)為865ABC，因為能被5整除，所以C為0或5因為能被4整除，所以末兩位BC數(shù)能被4整除，當(dāng)C為0時，B為2、4、6、8；當(dāng)C為5時，B沒有取值，所以，C只能為0；

因為能夠被3整除，所以各位數(shù)字之和能被3整除，即8+6+5+A+B+C能被3整除。8+6+5+A+B+C=8+6+5+A+B+0=19+A+B當(dāng)B為2時，19+A+B=21+A，所以A為0、3、6、9；當(dāng)B為4時，

19+A+B=23+A，所以A為1、4、7當(dāng)B為6時，

19+A+B=25+A，所以A為2、5、8四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第50頁。當(dāng)B為8時，19+A+B=27+A，所以A為0、3、6、9因為要求這個數(shù)值盡可能的小，所以A、B、C要盡可能的小，所以：A=0，B=2，C=0，所以這個數(shù)為：865020例7：要使六位數(shù)

能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數(shù)字？四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第51頁。分析與解：因為36＝4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)

應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要

能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使

這個六位數(shù)

盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)

的各位數(shù)字之和為12＋B＋C。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使

盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。當(dāng)A=0，B=1，C＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第52頁。例8：

判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。

一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和（大數(shù)減小數(shù)）所得的差除以11的余數(shù)相同。

例9：求

除以11的余數(shù)。

分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，

11-7=4，所求余數(shù)是4。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第53頁。

例10：六位數(shù)

能被33整除，求A+B。

分析與解：

由33=3×11，且3與11互質(zhì)，所以六位數(shù)

既能被3整除又能被11整除。

因為能被3整除，

所以5+A+6+3+4+B=18+A+B能被3整除，所以：A+B可以為0、3、6、9、12、15、18

因為能被11整除，所以（A+3+B）-（5+6+4）=（A+B）-12能被11整除。

如果（A+B）—12能被11整除，則A+B可以為12、23.

因為A+B小于20，所以A+B=12四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第54頁。試除法和數(shù)字謎法：當(dāng)末尾數(shù)不知道，用試除法。當(dāng)前邊或中間數(shù)不知道，用數(shù)字謎法。例11：9是12的倍數(shù)，求這個數(shù)的末位？解：設(shè)=9，則99÷12=8......3，99-3=96，則=6例12：如果2能被79整除，求這個數(shù)的末兩位？解1：設(shè)這個數(shù)為299，則299÷79=3......62，299-62=237,這個數(shù)的末兩位為37.解2：設(shè)這個數(shù)為200，則200÷79=42，200+（79-42）=237四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第55頁。例13：能同時被7、17整除的最大和最小四位數(shù)是多少？解（一）設(shè)這個數(shù)為9999：則：9999÷7=1428......3，說明能被7整除的最大四位數(shù)是9999-3=9996，那么9996-n×7都能被7整除，依次為9989、9982、9975......9999÷17=576......7，說明能被17整除的最大四位數(shù)是9999-7=9992，那么9992-n×17都能被17整除，依次為9975、9958、9941......綜上，能同時被7、17整除的最大四位數(shù)是9975。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第56頁。（二）設(shè)這個數(shù)為1000：則1000÷7=142......6，說明能被7整除的最小四位數(shù)是1000+（7-6）=1001，那么1001+n×7都能被7整除，依次為1008、1015、1022、1029、1036、1043、1050、1057、1064、1071、1078.....1000÷17=58......14，說明能被17整除的最小四位數(shù)是1000+（17-14）=1003，那么1003+n×17都能被17整除，依次為1020、1037、1054、1071......。綜上，能同時被7、17整除的最小四位數(shù)是1071四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第57頁。例14：一個五位數(shù)的末三位為999，如果這個數(shù)能被23整除，那么這個五位數(shù)最小是多少？（數(shù)字謎法）

解：設(shè)這個五位數(shù)數(shù)為999。999除以23，可以是四位數(shù)或三位，因為求最小值，所以，商為三位數(shù)，設(shè)為

，則得豎式：

×23

999

根據(jù)上圖計算，這個五位數(shù)為25999四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第58頁。第六講

列方程式解應(yīng)用題

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第59頁。一、解簡易方程

什么是方程？首先，它是一個等式（用等號連接的式子）。例如：X+2=7這里的x是我們要求的數(shù)，在沒有求出之前我們還不知道x是多少，稱它為未知數(shù)。像上面的“含有未知數(shù)的等式”叫做方程。

求方程的未知數(shù)的值（叫做方程的解）的過程叫做解方程。

使得方程的左右兩邊都相等的未知數(shù)的值稱之為方程的解。

二、等式的基本性質(zhì)1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，結(jié)果還是等式.2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果還是等式.四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第60頁。

【例】下列各式，屬于方程的是？（1）68-3.4=-x（2）5x-3.6÷1.2(3)x÷3.2=6(4)0=x(5)x+y=5(6)6(x-2)>7(7)2.3(1-1.5)x=x+x【例】解方程。

6x+5-7=164×0.9-4x=1.2600÷（15－x）=200x÷6－2.5=1.1四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第61頁。三、解方程的一般步驟

（一）把一個數(shù)從方程的一邊移動到另一邊，要改變符號（加變減，減變加，乘變除，除變乘）。

10-3x=43x-5+2x+4=1445-6x+9x=157x+18-6x+12=60（二）有多個未知數(shù)的方程，要把含有未知數(shù)的部分移動到方程的同一邊，不含有未知數(shù)的部分移動到方程的另一邊。

3x+5=6x-105x-8=16-3x20-4x=x+516-2x=46-8x（三）有括號的先打開括號（原則：乘法對加減法的分配律）。2×(4x+3)=x+13×(2x-3)=22x-3(4x-9)=x-6括號前面的乘號可以省略：2(2x+7)=5-4(x-1)+21四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第62頁。四、列方程解應(yīng)用題的一般步驟是（五步）

①弄清題意，找出已知條件和所求問題；

②設(shè)未知數(shù)x，依題意確定等量關(guān)系；③根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

④解方程；

⑤檢驗，寫出答案?！纠恳阎粋€三角形的面積是40平方厘米，它的高時8厘米，請問高所在的底邊長多少？

【解析】1、已知兩個條件：三角形面積=40平方厘米，高=8厘米。求一個量：高所在的底邊長？四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第63頁。2、依題意確定等量關(guān)系：三角形面積公式：面積=底邊長×高；設(shè)未知數(shù)x：設(shè)高所在的底邊長為x厘米：底×高÷2

=三角形面積

設(shè)為X8厘米40平方厘米3、列方程：40=x×8÷24、解方程：x=10（厘米）5、檢驗，把x=10帶入方程，看等式兩邊是否相等。6、寫答案：答：高所在的底邊長為10厘米。*紅字為解題過程四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第64頁。六、方程解應(yīng)用題與算術(shù)解應(yīng)用題的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：都是以四則運算的意義，相互關(guān)系以及常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)和依據(jù)的

區(qū)別：1、解題思路不同。列方程解應(yīng)用題，以字母“X”代替未知數(shù),按題中的等量關(guān)系,使字母“X”直接參與列式計算；而算術(shù)解時,

未知數(shù)處于特殊的地位,不能直接參加運算,只根據(jù)已知條件和問題間的數(shù)量關(guān)系直接用已知數(shù)量列出算式。例3：一個三角形的面積是100平方厘米，它的底是20厘米，高是多少厘米？如果本例用算術(shù)解，就屬于逆向思考的問題，從而使學(xué)生思考困難，會出現(xiàn)不應(yīng)有的錯誤。這時，應(yīng)利用三角形的面積計算公式列出方程求解。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第65頁。2、解題的步驟與方法不同。列方程解應(yīng)用題是利用等式的性質(zhì)進行計算，而算術(shù)解主要通過四則運算及其定律進行計算。比如上面例3就可用方程解：20×X÷2＝100；算術(shù)解則就是100÷20×2。3、難易程度不同。算術(shù)法比較曲折、間接、不大容易掌握。而方程解則比較簡明、清晰、容易掌握。在小學(xué)的應(yīng)用題教學(xué)中，即使學(xué)了方程解法，也不宜用其完全代替算術(shù)解法。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第66頁。例4：買3張桌子和4把椅子一共用了308元。每把椅子32元，每把桌子多少元？本例是逆向思考的題目，如果用算術(shù)方法來想，解題思路和列式就很難。如果把每張桌子的價錢用X表示，進行順向思考，按照數(shù)量間的相等關(guān)系列方程就比較容易。桌子椅子總數(shù)個數(shù)34每個的錢數(shù)設(shè)為X

32花費總數(shù)3X+32×4=308

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第67頁。七、設(shè)未知數(shù)的方法。列方程解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)X,是關(guān)鍵。一般來說，設(shè)未知數(shù)有兩種方法：1.直接設(shè)未知數(shù)。題目問什么（求什么）就設(shè)什么。例5：少年宮合唱隊有64人，比舞蹈隊人數(shù)的2倍多16人，舞蹈隊有多少人？這題就直接設(shè)題目中問什么，即設(shè)舞蹈隊人數(shù)有x人。根據(jù)題目的意思，列出方程：2X＋16＝64。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第68頁。2、間接設(shè)未知數(shù)。用間接法求出的X并不是題目要求的結(jié)果，求出X后，還要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系求出題中要求的未知量。例6：果園里桃樹和杏樹一共180棵，杏樹的棵數(shù)是桃樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？這例要求的未知數(shù)有兩個，有很多的同學(xué)就會直接設(shè)桃樹和杏樹各有X棵。這樣設(shè)的話，就顯得模棱兩可的，不知道到底是設(shè)哪一個量。如果設(shè)杏樹為X棵，就會給列方程和解方程帶來困難。間接設(shè)桃樹為X棵,就顯得容易多了.四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第69頁。八、正確分析數(shù)量關(guān)系，掌握列方程解應(yīng)用題的思路和途徑。列方程解應(yīng)用題的思路和途徑是多種多樣的：。1.利用數(shù)形結(jié)合找等量關(guān)系列方程。在感知應(yīng)用題情景的基礎(chǔ)上，畫出示意圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法分析數(shù)量關(guān)系，實際上使視覺參與了解題過程，它能直觀地再現(xiàn)題目的數(shù)量關(guān)系，便于列出方程。例：同學(xué)們種向日葵，四年級種的棵數(shù)是三年級的3倍，還知道四年級比三年級多種128棵，問兩個年級各種多少棵？解：設(shè)三年級種X棵，那么，四年級種3X棵。三年級：X四年級：3X可列出方程：3X－X＝128四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第70頁。2、借助數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系很多，比如面積、體積公式；常見的“三量”關(guān)系（單價×數(shù)量＝總價、．．．．．．），幾何圖形的特征等。根據(jù)數(shù)量關(guān)系就可列出方程。例8：已知：∠1＝37°、∠2＝63°。求：∠3＝？。這題就根據(jù)“任意三角形的內(nèi)角和是180°”這個特征來列出一個方程：37°＋63°＋X＝180°，這樣既簡單又明了。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第71頁。九、直接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題例1：長方形周長是66厘米，長比寬多3厘米，求長方形的長和寬各是多少厘米？

周長=

2

×（長+寬）66厘米X+3厘米設(shè)為X厘米解：依題意設(shè)長方形的寬是x厘米，則長方形的長3+x（厘米）

則：[（3+x）+x]×2=666+4x=66

4x=60

x=15（厘米）

x+3=18（厘米）

答：長方形的長18厘米，長方形的寬是15厘米四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第72頁。例2：某八位數(shù)形如

2abcdrfg

，它與3的乘積形如abcdrfg4，則七位數(shù)abcdrfg

應(yīng)是

？解：設(shè)abcdrfg=x則：2abcdrfg

=20000000+abcdrfg=20000000+xabcdrfg

4=10×abcdrfg+4=10x+4依據(jù)題意列方程：3×

（20000000+x）=10x+460000000+3x=10x+459999996=7xx=8571428答：七位數(shù)abcdrfg

應(yīng)是8571428。

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第73頁。例3：有三個連續(xù)的整數(shù)，已知最小的數(shù)加上中間的數(shù)的兩倍再加上最大的數(shù)的三倍的和是68，求這三個連續(xù)整數(shù)。解：設(shè)最小的那個數(shù)為X，那么中間的數(shù)和最大的數(shù)分別為X+1和X+2。則X+2（X+1）+3（X+2）=686X+8=686X=60X=10所以這三個連續(xù)整數(shù)依次為10、11、12．四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第74頁。二、間接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題例：平行四邊形ABCD的周長是80厘米（cm），以AD邊為底時，高為12cm，以AB為底邊時，高為20cm，求ABCD的面積。分析：平行四邊形的周長是兩條鄰邊之和的2倍，所以：AB+AD=40cm設(shè)：AB=Xcm，則AD=（40-X）cm根據(jù)平行四邊形面積公式，得AB×

20=AD×

12，則：20X=12（40-X）解得：X=15所以：平行四邊形面積=15×20=300（平方厘米）四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第75頁。例：小龍、小虎、小方和小圓四個孩子共有45個球，但不知道每個人各有幾個球，如果變動一下，小龍的球減少2個，小虎的球增加2個，小方的球增加一倍，小圓的球減少一半，那么四個人球的個數(shù)就一樣多了．求原來每個人各有幾個球？設(shè)：變動后，每個孩子有X個球

小龍

小虎

小方

小圓

共有原來：X+2X-2X÷2X×245個得：（X+2）+（X-2）+（X÷2）+（X×2）=45解：4.5X=45X=10所以：小龍有12個，小虎8個，小方5個，小10個。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第76頁。練習(xí)：1.已知三個連續(xù)奇數(shù)之和為為75，求這三個數(shù)？2.兄弟二人共養(yǎng)鴨550只，當(dāng)哥哥賣掉自己養(yǎng)鴨總數(shù)的一半，弟弟賣出70只時，兩人余下的鴨只數(shù)相等，求兄弟兩人原來各養(yǎng)鴨多少只？3.一人看見山上有一群羊，他自言自語到：“我如果有這些羊，再加上這些羊，然后加上這些羊的一半，又加上這些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有

只羊”．山上的羊群共有______只．4.某班原分成兩個小組活動，第一組26人，第二組22人，根據(jù)學(xué)?；顒悠鞑牡臄?shù)量，要將一組人數(shù)調(diào)整為二組人數(shù)的一半，應(yīng)從一組調(diào)多少人到二組去？四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第77頁。第七講行程問題

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第78頁。相遇問題：所謂相遇問題就是指兩個運動物體以不同的地點作為出發(fā)地作相向運動的問題?；竟剑合嘤雎烦?速度和×相遇時間相遇時間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時間例1：甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米。兩人幾小時后相遇？分析與解答：這是一道相遇問題。根據(jù)題意，出發(fā)時甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時縮短6＋4=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時相遇，就是求20千米里面有幾個10千米。因此，兩人20÷（6＋4）=2小時后相遇。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第79頁。例2：王欣和陸亮兩人同時從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時間。根據(jù)題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時間，根據(jù)題意可知：狗與主人是同時行走的，狗不斷來回所行的時間就是王欣和陸亮同時出發(fā)到兩人相遇的時間，即2000÷（110＋90）=10分鐘。所以狗共行了500×10=5000米。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第80頁。所謂相背問題是指兩個運動的物體作背向運動的問題。在相背問題中，相遇問題的基本數(shù)量關(guān)系仍然成立。例3：甲每小時行7千米，乙每小時行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時相背而行，幾小時后兩人相隔54千米？分析與解答：這是一道相背問題。根據(jù)題意，甲乙兩人共行的路程應(yīng)該是54－18=36千米，而兩人每小時共行7＋5=12千米。要求幾小時能行完36千米，就是求36千米里面有幾個12千米。所以，36÷12=3小時。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第81頁。追及問題：追及問題的地點可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。根據(jù)速度差、距離差和追及時間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：速度差=快的速度-慢的速度距離差（路程差）=速度差×追及時間追及時間=距離差（路程差）÷速度差速度差=距離差（路程差）÷追及時間平均速度=總路程÷總時間解題的關(guān)鍵是：在互相關(guān)聯(lián)、互相對應(yīng)的距離差、速度差、追及時間三者之中，找出兩者，然后運用公式求出第三者來達到解題目的。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第82頁。例4：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時向東而行，甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米。幾小時后甲可以追上乙？分析與解答：這是一道追及問題。根據(jù)題意，甲追上乙時，比乙多行了24千米（路程差）。甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米，甲每小時比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小時可以追上乙8千米。所以要求追上乙所用的時間，就是求24千米里面有幾個8千米。因此，24÷8=3小時甲可以追上乙。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第83頁?；疖囆谐虇栴}：

1、火車＋樹(電線桿)：一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度

解法：總路程(火車車長)＝火車速度×通過時間；路程長火車車長四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第84頁。2、火車過橋（隧道）：一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，

解法：火車車長＋橋(隧道)長度(總路程)＝火車速度×通過的時間；

火車車長橋長路程長四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第85頁。3、火車＋人：一個有長度、有速度，一個沒長度、但有速度（1）火車＋迎面行走的人：相當(dāng)于相遇問題，

解法：路程和

(火車車長)＝(火車速度＋人的速度)×迎面錯過的時間；火車車長(路程和)人路程火車路程四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第86頁。（2）火車＋同向行走的人：相當(dāng)于追及問題，解法：路程差

(火車車長)＝(火車速度—人的速度)×追及的時間；人路程車路程火車車長(路程差)

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第87頁。4、火車＋火車：一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度，（1）錯車問題：相當(dāng)于相遇問題，解法：路程和(快車車長＋慢車車長)＝(快車速度＋慢車速度)×錯車時間；慢車路程路程和快車路程快車車長慢車車長四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第88頁。（2）超車問題：相當(dāng)于追及問題

解法：路程差

(快車車長＋慢車車長)＝(快車速度—慢車速度)×錯車時間；快車路程慢車路程路程差慢車車長快車車長四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第89頁。例1：一列火車通過一條長240米的鐵路橋用了30秒，用這樣的速度通過320的隧道用了34秒，求火車的車長和車速。分析與解：從圖中可知，火車過橋行駛的路程是橋長+車長；同樣的道理，火車過隧道行駛的路程是隧道長+車長。兩次所用時間的不同是因為鐵路橋與隧道的長度不同引起的，利用兩次的時間差與路程差可以求出火車的速度。

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第90頁。解：火車的速度：（320－240）÷（34－30）=20米/秒；

車長：20×30－240=360米。答：火車的車長是360米，車速是20米/秒。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第91頁。第八講加法原理和乘法原理

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第92頁。1、加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。每一種方法都能夠直接達成目標(biāo)。2、乘法原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第93頁。3、注意區(qū)分兩個原理。要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來。4、口訣加法原理：類類獨立；乘法原理：類類相關(guān)。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第94頁。例1：從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達。從甲地到乙地共有多少種走法？

【思路導(dǎo)航】加法原理。

分類：第一類，“走公路”，共有3種方法。

第二類，“走鐵路”，共兩種方法。

所以從甲地到乙地的方法總和是3+2=5（種）

解答：從甲地到乙地共有5種走法。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第95頁。例2：十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。請問：最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來?

【分析】任意取一把鑰匙去試開鎖，要試9次；其次，再從剩下的9把鑰匙中任取一把去試開鎖，要試8次?照此方法進行下去，最后，只剩下一把鑰匙和一把鎖，就不需要試了。運用加法原理。

解：9+8+7+......+3+1=45

答：最多試開45次，就能把鎖和鑰匙配起來。四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第96頁。例3：用0,1,2,3,4,5,6組成四位數(shù)的密碼共有幾種？思路：其實就是組成四位數(shù)（千位可以為0）。分四步：確定個位數(shù)字個數(shù)、確定十位數(shù)字個數(shù)、確定百位數(shù)字個數(shù)、確定千位數(shù)字個數(shù)。（用乘法原理）。每一位都有0,1,2,3,4,5,6，六種選擇（加法原理）四位數(shù)個數(shù)=個位數(shù)字個數(shù)×十位數(shù)字個數(shù)×百位數(shù)字個數(shù)×千位數(shù)字個數(shù)=6×6×6×6四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第97頁。例4：如圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丁地有三條路，從甲地到丙地有兩條路，從丙地到丁地有四條路。問：從甲地到丁地有多少條路？【分析】1、甲到丁，是完成一件事，有兩種途徑，即：甲經(jīng)乙到丁和甲經(jīng)丙到丁，用加法原理。即：甲地到丁的路=甲經(jīng)乙到丁+甲經(jīng)丙到丁2、甲經(jīng)乙到丁，分兩步：即甲先到乙，由乙到丁，屬完成一件事情的兩步，用乘法原理，即甲經(jīng)乙到丁的路=甲到乙的路×乙到丁的路=3×3同理，甲經(jīng)丙到丁的路=甲到丙的路×丙到丁的路=2×4。所以：甲地到丁的路=甲經(jīng)乙到丁+甲經(jīng)丙到丁=（甲到乙的路×乙到丁的路）+（甲到丙的路×丙到丁的路）=3×3+2×4=9+8=17四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第98頁。例5：從1到500的所有自然數(shù)中,不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個?分析：從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．

一位數(shù)中：不含4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；

兩位數(shù)中：不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況．個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有8×9=72個數(shù)不含4．

四年級奧數(shù)知識點(上)全文共318頁，當(dāng)前為第99頁。三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1