一階電路響應

一階電路響應以下均為個人理解，如有錯誤，請大佬指出，小生立馬就改正。以下均為理想化的模型。換路的概念在講接下來的主要內容前，我們要先說明下什么是換路。換路就是電路工作狀態(tài)的改變，比如突然接入或切除電源，改變電路結構或電路元件參數(shù)等換路定律：電容：由電容電壓連續(xù)性定理可知，如果在換路時刻電容電流有界，則電容電壓在換路時刻不能躍變，且連續(xù)，即uC(0+)=uC(0-)=uC(0)。電感：由電感電流連續(xù)性定理可知：如果在換路時刻電感電壓有界，則電感電流在換路時刻不能躍變，且連續(xù)，即iL(0+)=iL(0-)=iL(0)。1.一階電路響應的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電壓和電流。1.1RC電路的零輸入響應已知uCu_CuC?(0-)=uCu_CuC?(0+)=U0U_0U0?由基爾霍夫電壓定律（KVL）可知：-uRu_RuR?+uCu_CuC?=0（式1）。由此可知:i=-Cducdt\frac{duc}{dt}dtduc?（式2）uRu_RuR?=Ri將（式2）帶入（式1）可得：RCducdt\frac{duc}{dt}dtduc?+uCu_CuC?=0表明：①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；②響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關;令T=RC,稱T為一階電路響應的時間常數(shù)。一階電路響應的時間常數(shù)T=RC時間常數(shù)T的大小反映了電路過渡過程時間的長短T大→過渡過程時間長T小→過渡過程時間短C大（R一定）W=Cu2u^2u2/2儲能大放電時間長R大（C一定）i=u/R放電電流小放電時間長。時間常數(shù)T的幾何意義：uc=U0e?tRCu_c=U_0e^{-\frac{t}{RC}}uc?=U0?e?RCt?能量關系:電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢W=12CU02W={\frac{1}{2}}CU_0{^2}W=21?CU0?21.2RL電路的零輸入響應iL(0+)=iL(0?)=USR1+R=I0i_L(0+)=i_L(0-)={\frac{U_S}{R_1+R}}=I_0iL?(0+)=iL?(0?)=R1?+RUS??=I0?LdiLdt+RiL=0(t≥0)L{\frac{di_L}{dt}}+Ri_L=0(t\geq0)LdtdiL??+RiL?=0(t≥0)。由以上兩條式子，得出如下方程：iL(t)=I0e?RLti_L(t)=I_0e^{-{\frac{R}{L}}t}iL?(t)=I0?e?LR?tuL(t)=LdiLdt=?RI0e?RLtu_L(t)=L{\frac{di_L}{dt}}=-RI_0e^{-{\frac{R}{L}}t}uL?(t)=LdtdiL??=?RI0?e?LR?t。表明：①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；②響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與L/R有關;一階RL電路時間常數(shù):T=LRT={\frac{L}{R}}T=RL?③時間常數(shù)T的大小反映了電路過渡過程時間的長短T大→過渡過程時間長T小→過渡過程時間短能量關系：電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。12LI02{\frac{1}{2}}LI_0{^2}21?LI0?2。1.3結論①一階電路響應的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。②衰減快慢取決于時間常數(shù)TT=RCT=RCT=RCT=LRT={\frac{L}{R}}T=RL?R為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。③同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。④一階電路響應的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。2.一階電路響應的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應：動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中，外加激勵作用所產(chǎn)生的響應2.1RC電路的零狀態(tài)響應uC=US(1?e?tRC)u_C=U_S(1-e^{-{\frac{t}{RC}}})uC?=US?(1?e?RCt?)由上式可知：i=USRe?tRCi={\frac{U_S}{R}}e^{-{\frac{t}{RC}}}i=RUS??e?RCt?。表明：①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；②電容電壓由兩部分構成：穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）+暫態(tài)分量（自由分量）③響應變化的快慢，由時間常數(shù)T＝RC決定；T大，充電慢，T小充電就快。④能量關系：電源提供的能量：CUS2U_S^2US2?電阻消耗的能量：12{\frac{1}{2}}21?CCCUS2U_S^2US2?電容儲存的能量：12{\frac{1}{2}}21?CCCUS2U_S^2US2?。表明：①電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。2.2RL電路的零狀態(tài)響應iL=USR(1?e?RLt)i_L={\frac{U_S}{R}}(1-e^{-{\frac{R}{L}}t})iL?=RUS??(1?e?LR?t)同理，由上式可知：uL=USe?RLtu_L=U_Se^{-{\frac{R}{L}}t}uL?=US?e?LR?t3.直流一階電路響應的三要素法三要素法是一種求解直流一階電路響應的簡便方法。它可用于求解電路任一變量的零輸入響應和直流源作用下的零狀態(tài)響應、全響應。被求解的變量既可以是狀態(tài)變量，也可是非狀態(tài)變量。三要素法的依據(jù)是：直流一階電路響應中的響應都有初始值和穩(wěn)態(tài)值，而且響應都是從初始值開始按指數(shù)規(guī)律變化(增長或衰減)并趨向于穩(wěn)態(tài)值的，其變化過程唯一地由電路的時間常數(shù)T決定；同一一階電路響應中各支路電流和電壓的時間常數(shù)是相同的。在直流一階電路響應中，響應隨時間變化的方式有兩種可能的情況,如上圖所示。表示為：f(t)=f(∞)+[f(0+)?f(∞)]e?tTf(t)=f(∞)+[f(0_+)-f(∞)]e^{-{\frac{t}{T}}}f(t)=f(∞)+[f(0+?)?f(∞)]e?Tt?其中：f(t)可以是電路中任一支路電流或電壓；f(0+)(0_+)(0+?)表示該電流或電壓的初始值；f(∞)表示該電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值；T表示電路的時間常數(shù)。在直流一階電路響應的分析中把這種通過先求出初始值、穩(wěn)態(tài)值、時間常數(shù)，然后根據(jù)這三個要素確定響應的方法，稱為三要素法。3.1三要素法求解步驟（1）求初始值f(0+)。①求出電容電壓初始值uCu_CuC?(0+0_+0+?)或電感電流初始值iL(0+)；②用電壓為uC(0+)的直流電壓源等效電容或用電流為iL(0+)的直流電流源置換電感，所得電路為一直流電阻電路，稱為t=0+時的等效電路，由此電路可求得任一支路電壓或電流的初始值，即f(0+)。（2）求穩(wěn)態(tài)值f(∞)。用開路置換電容或用短路置換電感，所得到的電路為一直流電阻電路，稱為t=∞時的等效電路，由此電路可以得任一支路電壓或電流的穩(wěn)態(tài)值，即f(∞)。（3）求時間常數(shù)。①求出接在動態(tài)元件兩端的單口電阻網(wǎng)絡的戴維南等效電