平面向量公式37476

平面向量公式37476平面向量公式37476/NUMPAGES11平面向量公式37476平面向量公式37476設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。

1、

向量

的加法

向量的加法滿足

平行四邊形法則

和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的

運(yùn)算律

：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律

：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').

4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)

λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同方向；

當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反方向；

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

當(dāng)∣λ∣＞1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍；

當(dāng)∣λ∣＜1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對(duì)于數(shù)的

分配律

（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：①如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a?b=b?a（交換律）；

(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；

（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c(a≠0)，推不出b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量沒(méi)有除法，“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。

向量的三角形

不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào)；

②當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào)；

②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。

定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式

（向量P1P=λ?向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心

判斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。