方差的分析與正交的設(shè)計(jì)c6

第五章方差分析與正交設(shè)計(jì)

§1.單因素方差分析

在實(shí)際問(wèn)題中，人們常常需要在不同的條件或不同的狀態(tài)下,對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),

從而得到若干組數(shù)據(jù)（樣本）。方差分析就是一種分析、處理多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)均值間差異顯著

性的統(tǒng)計(jì)分析方法。其主要任務(wù)是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理，搞清各試驗(yàn)條件以及它們所處的

狀態(tài)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果（又稱(chēng)試驗(yàn)指標(biāo)）的影響，以便有效地指導(dǎo)實(shí)踐，提高經(jīng)濟(jì)效益或科研水平。

1.1基本概念

例1某燈泡廠(chǎng)用四種不同材料的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，除燈絲材料不同外，其他生產(chǎn)條件

完全相同。今由每批燈泡中隨機(jī)地抽取若干個(gè)燈泡，測(cè)得使用壽命（單位：h）數(shù)據(jù)如表（1）

所示，現(xiàn)在要求推斷出燈泡使用壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異。

表⑴

燈泡12345678

壽命

燈絲

A,1600161016501680170017001780

15001640140017001750

A2

A316401550160016201640160017401800

A4151015201530157016401680

如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中，只有?個(gè)因素變化，其他因素保持不變，我們稱(chēng)這種試驗(yàn)為單因素試驗(yàn)。

因素所處的狀態(tài)稱(chēng)為水平。

本例考慮的是一個(gè)因素即燈絲，這個(gè)因素具有四個(gè)水平，即四個(gè)不同材料的燈絲，A,,A2,A3.

A40

從表中的數(shù)據(jù)看到，即使對(duì)于同一種材料的燈絲，雖然生產(chǎn)條件都一樣，但燈泡的使用壽命

還是可以不相等的，這說(shuō)明燈泡的使用壽命是一隨機(jī)變量。現(xiàn)在用。，2,芻，以表示四種材

料的燈絲所生產(chǎn)的燈泡的使用壽命，這樣就有四個(gè)總體。若從這四個(gè)總體中分別隨機(jī)地抽取

容量為〃，的樣本如，品，…，/，i=1,2,3,4,我們應(yīng)用這四個(gè)樣本來(lái)推斷四個(gè)總體之間有

無(wú)顯著差異。要判斷不同燈絲材料的燈泡對(duì)使用壽命的影響問(wèn)題，就是要辨別使用壽命之間

的差異是主要由抽樣誤差造成的還是由燈絲材料不同造成的。這一問(wèn)題可以歸結(jié)為判斷四個(gè)

總體是否具有相同的分布。另外，在方差分析中，總是假定各總體相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)

分布。由于除因素外，試驗(yàn)的其他條件都認(rèn)為相同，這樣就可以假設(shè)每個(gè)總體的方差相同。

因此推斷四個(gè)總體是否具有相同分布的問(wèn)題，就歸結(jié)為檢驗(yàn)四個(gè)具有相同方差的正態(tài)總體，

其均值是否相等的問(wèn)題。實(shí)際上，方差分析就是檢驗(yàn)若干個(gè)具有相同方差相互獨(dú)立的正態(tài)總

體，它們的均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。

前幾章中我們?cè)榻B了檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值間差異顯著性的，檢驗(yàn)法?，F(xiàn)在對(duì)多個(gè)正態(tài)總

體，我們能否仍用，檢驗(yàn)法兩兩進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)?？結(jié)論是否定的。設(shè)想有十組數(shù)據(jù)，客觀(guān)上它們

來(lái)自同一正態(tài)總體，因而有相同的均值。在這種情況下，任取兩組數(shù)據(jù)采用f檢驗(yàn)法檢驗(yàn)其

均值是否相等。設(shè)a=0.05,則接受假設(shè)認(rèn)為兩組均值相等的概率為1—a=0.95。但從十組

數(shù)據(jù)中任取兩組，共有Gj=45種不同的取法，所以接受/的概率為（0.95/比0.099。

客觀(guān)上十組數(shù)據(jù)均值相等，而采用f檢驗(yàn)法兩兩檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類(lèi)錯(cuò)誤(認(rèn)為至少有兩組均

值不等)的概率為0.901?由此可見(jiàn)，當(dāng)組數(shù)增多時(shí)，采用f檢驗(yàn)法兩兩檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類(lèi)

錯(cuò)誤的概率將大大增加，使我們判斷的結(jié)果很不可靠。

波蘭數(shù)學(xué)家R.A.Fisher(1923)提出的方差分析法，可同時(shí)判斷多組數(shù)據(jù)均值間差異的顯著性。

下面給出單因數(shù)方差分析的一般概念。

設(shè)有〃個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體i=1,2,…，p,

設(shè)前看,2，…，是從第i個(gè)總體。中抽取的容量為〃，的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

由于。廠(chǎng)N(M，cr2)(i=1,2,…，p；j=1,2,—,%),務(wù)與M的差與一從可以看成是一

個(gè)隨機(jī)誤差。因此為滿(mǎn)足

務(wù)=4+%，(1)

而為~N(0,cr2),且互相獨(dú)立，其中i=1,2,…，p；j=1,2,-,%。要求檢驗(yàn)假設(shè)

?〃1=〃2==〃po

1.2統(tǒng)計(jì)分析

下面構(gòu)造檢驗(yàn)假設(shè)“0:〃產(chǎn)〃2=…=〃"用的統(tǒng)計(jì)量。記

P一]"1

卻=—Z扁。(2)

;=1%;=|,

這是第i個(gè)總體&的樣本均值，也叫做組平均值。稱(chēng)

_八一?fp之_務(wù)=1—pf_⑶

〃Z=1./=!幾i=l

為總平均值?！ㄊ菑膒個(gè)總體抽得的樣本的總?cè)萘?。?2),(3)兩式可得

]“"1___

一易3，)?T)=°。

〃/=1./=1

由此得到

s產(chǎn)=EE[(^--^)]2

i=lj=\i=\j=\

P_P——

=??「口2+》〃,4T)2=s,+s,。(4)

i=l；=li=l

其中

P2!i__P__

乂=2之（務(wù)苫，）2,5小》〃陽(yáng)-3。

i=lj=\Z=1

ST是所有觀(guān)察資料與與總平均值占的差的平方和，稱(chēng)為總偏差平方和。它是描述所得全部

數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)指標(biāo)。由上式知，總偏差平方和可以分解為S,、SA兩項(xiàng)之和。

我們?cè)賮?lái)看S,、S,的意義。記

1P

〃=一￡〃,“（5）

〃,=1

是各均值的平均，叫做均值的總平均。令

%=從一〃，i=1,2,—,p<.

它是各總體的均值與理論總均值M的差異。見(jiàn)稱(chēng)為因素的第i個(gè)水平的效應(yīng)。

易知〃個(gè)效應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式

P

Z〃,a=o。

/=]

當(dāng)假設(shè)“0:〃[=〃2==〃〃成立時(shí)，由（5）式可得〃]=〃2=…=〃〃=〃，從而（Zj=0

Ci=1,2,-,p）o故假設(shè)“°也可寫(xiě)為

H0?,—exp—0o

式（1）用水平的效應(yīng)表示，可以寫(xiě)成

曷=〃,+%=〃+%+%（i=l,2,…，p；j=1,2,—,%）

此時(shí)

,=一￡勃=一￡（〃+%+%）=〃+/+￡，。

?,?,>1

其中

—1n\

￡,=—是第7個(gè)總體樣本誤差的平均，又

〃，日

_]0P、_1w,_1]_

△一X%己二一￡%（&=〃+￡。

幾/=!〃f=l〃/=1

_1p_1p?i

其中￡=上￡〃/產(chǎn)士表示所有樣本誤差的平均，從而有

〃/=1〃/=1）=1

P_P__P_

s,=￡Z（務(wù)—},）2=xE（〃+%+%—〃—%—￡，）?=￡￡（￡i—￡>尸。

/=!j=li=l；=1i=lj=l

p__p__p__

SA=￡〃,G,-?）?=￡〃,（〃+%+￡，—〃—￡）2=￡々（%+￡,一￡）2。

1=1/=1i=[

由這兩式可以看出，S,僅依賴(lài)于隨機(jī)誤差%,SA除與隨機(jī)誤差有關(guān)外，還與各水平間的

效應(yīng)%=從一〃有關(guān)。這就是引起扁.波動(dòng)的兩個(gè)原因：一個(gè)純粹是由隨機(jī)誤差為引起的,

另一個(gè)在一定程度上是由各總體均值M之間的差異引起的。

如何構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量呢？這可以從S“SA的數(shù)學(xué)期望得到啟發(fā)，因?yàn)?/p>

1"|一

bj=\

所以

3=￡￡1(部3,)2卜力如T,)2

/=1J=1J/=1L)=1

為

二Z(n—\)/=(〃-p)02。

j=i

P__p__p

ESA=E\Y-萬(wàn)=X〃,E&Y)2=(P—l)/+￡〃j(M一〃)2。

.i=lJi=li=l

記

SS.

C92_e9c2_“八

o?一,o2—0

n-pp-1

則有

1p

ES；=/,ES^a2+——V2?

P-1；=i

由此可見(jiàn)，不論對(duì)從的假設(shè)如何，S：是/的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，而S；僅當(dāng)假設(shè)名:

〃產(chǎn)〃2=…=4p成立時(shí)，它才是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，否則它的期望值要大于這說(shuō)

明比值

“S；（u_p）S,

一謠一（P-DS,'

在假設(shè)“0不成立時(shí)，有偏大傾向。

下面討論F的分布。

當(dāng)"o成立時(shí)，M=42=…=〃p=〃，此時(shí)，務(wù)于是由（4）式有

EE(^-A)2=￡之嗚

/=17=1i=l；=1

P之?]?廣_分+LP￡(?]^_-A)]2+2Pt力務(wù)-_I)(_“M

/=1j=\/=1j=\/=1j=\

=￡2④T)2+/-獷

/=1j=l

=、+%+〃(占一〃)2。

對(duì)于S,，它有〃個(gè)線(xiàn)性關(guān)系之（與一己）=0,i=l,2,…，P，所以它的秩為〃—P。時(shí)

六1

于L，它含有一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系-孑）=0,所以它的秩為P-1。對(duì)于〃（甘-〃）2,其

i=\

秩為1。

sS

由于（〃一p）+（p—l）+l=〃，故由Cochran定理知，當(dāng)假設(shè)”。成立時(shí)，一彳和苫相互獨(dú)

立，且

SS

*~/(〃-P),演4"-1),

由此知

S；=("P)S,A

?F(p_\,n_p)o

f—5-1電

給定顯著性水平a,由尸分布的分位數(shù)知

P{F>Fi_a(p-l,n-p)}=a。

當(dāng)尸的觀(guān)察值/>尸——P）時(shí)，拒絕假設(shè)”0,否則認(rèn)為試驗(yàn)結(jié)果與假設(shè)”0無(wú)顯

著差異。為應(yīng)用方便起見(jiàn)，將上面討論中所需的結(jié)果列成方差分析表，如表（2）。

例2檢驗(yàn)例1的四種燈絲材料對(duì)燈泡使用壽命是否有顯著影響（二=0.05）。

解

4

n=Z%=7+5+8+6=26,

i=i

計(jì)算得

SA=44360.7,S?=151350.8

02S44360.7

S；=—^A-=--------=14786.9,

2p-13

151350.8

=6879.58,

n-p26-4

14786.9

22.15。

―1879.58

把計(jì)算結(jié)果整理列成下面的方差分析表（表（3）)o

表（2）

方差來(lái)源平方和自由度均方和F值

因素的影響

p-1c2_SA

〃府,tJ

1=1

誤差n-p

p勺—

當(dāng)務(wù)T)2工

/=!j=\n-p

總和n-1

P_

S產(chǎn)s2

/=!j=I〃一1

表(3)

方差來(lái)源平方和自由度均方和F值

因素的影響2.15

p-l=3S；=14786.9

SA=44360.7

誤差n—p=22

5f=151350.8S；=6879.58

總和〃-1=25

=195711.5S2=7828.46

這里P的自由度為（3,22）,若給定顯著性水平。=0.05,查得臨界值五5（3,22）=3.05。因?yàn)?/p>

F=2.15<3.05=Fl_a（3,22）,故應(yīng)接受“°，即認(rèn)為四種燈絲生產(chǎn)的燈泡其平均使用壽命之間

沒(méi)有顯著的差異。

§2.雙因素方差分析

在實(shí)際問(wèn)題中，影響試驗(yàn)結(jié)果（試驗(yàn)指標(biāo)）的因素往往都不止一個(gè)，而是兩個(gè)或更多。此時(shí),

要分析因素的作用，就要用到多因素試驗(yàn)的方差分析。這里只討論兩個(gè)因素的方差分析。至

于更多因素的問(wèn)題，用正交試驗(yàn)法比較方便。

在兩個(gè)因素的試驗(yàn)中，不但每一個(gè)因素單獨(dú)對(duì)試驗(yàn)起作用，往往兩個(gè)因素會(huì)聯(lián)合起來(lái)起作用。

這種作用叫做這兩個(gè)因素的交互作用。例如，有些含金，當(dāng)單獨(dú)加入元素A或元素B時(shí)，

性能變化不大，但當(dāng)兩者同時(shí)加入時(shí)，合金性能的變化就特別顯著。交互作用在多因素的方

差分析中把它當(dāng)成?個(gè)新因素來(lái)處理。

2.1不考慮交互作用的方差分析

設(shè)因素有個(gè)不同的水平…，；因素有個(gè)不同水平…，。

ApA],A2,Ap6q4,82,Bq

對(duì)每種情況（4,鳥(niǎo)）進(jìn)行一次獨(dú)立試驗(yàn),共得pq個(gè)試驗(yàn)結(jié)果與（i=1,2,-,p；j=1,2,-,

q）,如表（1）所示。

表⑴

.??

平均值百

B?紇

因素4

…

4梟丸九4

???

A2射基A

11111

11111

A以1以2%

…

31

平均值Ej2

其中

_14

3=一￡與，，=12…，P，

一1&

自『一￡部,j=1,2,…，q,

Pi=\

_1P(1

設(shè)島是相互獨(dú)立的服從正態(tài)分布N（人,『）的隨機(jī)變量，即卻是從服從正態(tài)分布

N（〃“b2）的總體中抽得的樣本。由于認(rèn)為兩個(gè)因素間不存在交互作用，故假定其均

值/=〃+%+",,i=1,2,…，p；)=1,2,…，q,

1〃q

其中"贏注

%為因素A的第i個(gè)水平的效應(yīng)，它表示因素A的各個(gè)水平的影響的大小。

用為因素3的第j個(gè)水平的效應(yīng)，它表示因素B的各個(gè)水平的影響的大小。

記

1。

，I=1,2,…，p，

qj=i

ip

j=1,2，…，q，

P/=1

a產(chǎn)出一N,i=1,2,-,p,

4=〃廠(chǎng)〃，，=1，2,…，q，

則顯然有

pq

=0,Z4=。,

i=\j=l

這樣，無(wú)交互作用的方差分析模型為

扁.=〃+?+￡,.+%,1=1,2,—,p；j=1,2,—,q,（1）

p<?

=6ZAZ

i=lj=\

%iid,4~N（O,b?）o

符號(hào)“iid”表示獨(dú)立同分布，因此要判斷因素A的影響是否顯著，就等價(jià)于要檢驗(yàn)假設(shè)

“（）1:%==%=…=%=0。

要判斷因素8的影響是否顯著，就等價(jià)于要檢驗(yàn)假設(shè)

"（）2：B\=。2=…=4=。。

下面來(lái)尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

和前面類(lèi)似，將總偏差平方和力進(jìn)行分解：

p<7_pg———————

5產(chǎn)=￡￡（（&一鼻_九+9+（儲(chǔ)T）+4T））2

i=\j=li=lj=\

=匯（/Y）2+p/儲(chǔ)3）2+f之④j+J）2

i=lj=li=lj=l

=SA+SB+Set>

其中

P__<7__P<7___

SA=q￡?T)2,S產(chǎn)p￡(03)2,S,=￡￡?廠(chǎng)/-口+4)2。

<=1j=\i=lj=\

由式(1)%=〃+%.+/3j+￡q知

_]q]qiq

/二-2易=-Z(〃+/+//+%)=〃+/十一2%

qj=\qj=\q六]

=〃+%+￡”，i=1,2,-,po(2)

_|q

其中

q六?

同理

務(wù)=〃+/?j+￡.j,j=1,2,—,q,(3)

—Ip

其中￡./=—￡為。

Pi=\

又

-1J——

^=—EE^==-E(〃+%+￡「)=〃+￡,(4)

Pqi=\j=\P/=1

_iP1Pq

其中￡=上￡j=」-￡￡%為所有樣本誤差的平均。

p,=1pq,=i；=i

將(2),(3),(4),三式代入上面SA，$8,S,的表示式中得

p__P__

SA=qg(短一分=q￡(4.+￡”一￡)2

i=\i=\

q__p__

SB=P￡(EJ—?)2=p￡(夕+￡j—￡),

j=lj=l

PJI___PV___

s,=￡￡(務(wù)Ti.-%+J)2=￡￡(￡)2。

i=l)=1i=\j=\

由此可知，S,反映了誤差引起的波動(dòng)，S,除與誤差有關(guān)外，還反映了因素4各水平效應(yīng)間

的差異，Sp除與誤差有關(guān)外，還反映了因素6各水平效應(yīng)間的差異。

還可以求得

P

E(S,)=(p-DM+qZ。；,

i=[

E(SB)=(q-lR，p￡4,

j=l

E(S,)=(p-1)—

記

s；=L,s；=工s”——,

p-l-q-\(p-W-1)

則

E(S：)=a2+——-fa：,

P-l,=i

E(S3=b，\￡l3〉

q-TM

E(Sj)=o-2。

與單因素方差分析類(lèi)似，可采用下面統(tǒng)計(jì)量：

5；_(p-岫-1)SA

s；p-1S,

Fs；(p-D(q-l)SB

S；P-lS,

當(dāng)假設(shè)“01不成立時(shí)，"偏大，故可用來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)“0”當(dāng)假設(shè)”02不成立時(shí)，4偏大，

故可用來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)“02。

再討論統(tǒng)計(jì)量乙，0的分布。

當(dāng)假設(shè)“01和”02成立時(shí)，有叫=〃，此時(shí)一切務(wù)~比(〃,。2),于是

pgp(i___

￡￡④-M2=X￡嶼苫)+c-〃)產(chǎn)=s7+網(wǎng)《-〃)2

i=lj=li=l>1

2

=SA+SB+Se+pq(^-^),

其中％,SB，Se，pqg-〃)2都是非負(fù)二次型。

p__p__

SA=q￡(短一分，包含一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系￡(3—K=0,故L的秩為p—l。

/=1/=1

SB=pEgj-ay,包含一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系故兒的秩為q—i。

j=lJ=i

S"ft(每一心一己+甘)2，包含P+4個(gè)線(xiàn)性關(guān)系f?「己.一占」+孑)=0，

i=lj=li=l

q___p<7___

J=I,2,…，g和X(-j+?)=0,i=l,2,…,p,由于￡￡(易看「/+?)

J=1i=lj=\

=0,故上面p+q個(gè)線(xiàn)性關(guān)系中，只有p+q-1個(gè)是獨(dú)立的，因而S,的秩為

pq—(p+<7—1)=(p-1)(<7—1)o又pq?—〃)2的秩是1。而以上各項(xiàng)的秩相加得

(p-1)+(q—1)+(〃-l)(q—1)+1=pq。

ssS

由Cochran定理知，當(dāng)及"02同時(shí)成立時(shí)，T，g，3■相互獨(dú)立，且

bb

SSS

~r~z2(p-D>—y~z2(^-1),—^~%2((p-i)(q-i))。

(y~bcy~

從而當(dāng)Hoi，”02為真時(shí)

FS：(p-W-l)S

F,\=F=-----------:-----丁~F((p-1),(p-l)(q-l)),

S3PTSe

&二冬=(P—1X：_D,率?"((g—1)，5—1)(-1))。

S3p-is?

將上面的結(jié)果列成方差分析表(表(2))所示。

表(2)

方差平方和自由度均方和產(chǎn)值

來(lái)源

A的

P__

5l近乙一療P-1s；告

影響A

Fa=gT2

/=1P-1?3

B的

工——s2

SB=P￡(^一身q-1

影響FB=《

;=1q-iJ3

誤差

P</___(P-W-D52=S?

3

/=1j=\~(p-D(q-l)

總和

P(!一pq-i

S產(chǎn)務(wù)3)2

/=1；=1

例1為了研究蒸儲(chǔ)水的pH值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中的白蛋白與球蛋白的影響，

對(duì)蒸儲(chǔ)水的pH值（A）取了四個(gè)不同水平，對(duì)硫酸的濃度（B）取了三個(gè)不同水平，在不

同水平組合（4,鳥(niǎo)）下，各測(cè)一次白蛋白與球蛋白之比，將其結(jié)果列成表（3）。試在a=0.05

下檢驗(yàn)兩個(gè)因素對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著差異。

表(3)

4當(dāng)4或

3.52.32.07.8

4

2.62.01.96.5

A2

2.01.51.24.7

A3

1.40.80.32.5

9.56.65.4

解檢驗(yàn)假設(shè)

Hgj?6Z|=（X^——0o

H°2:Pl=B2=04=0。

通過(guò)計(jì)算得方差分析表（表（4））。

表（4）

方差來(lái)源平方和自由度均方和尸值

A的影響3

S=5.29S：=1.76

AFA=40.9

B的影響2

S=2.22s；=1.11

BFB=25.8

誤差6

5?=0.26S3=0.043

總和11

=7.77

由于當(dāng)“01假設(shè)成立H寸，F(xiàn)A~F（3,6）,查F分布表得F?（3,6）=4.8。因?yàn)?/p>

4=40.9>4.8=F~(3,6),所以拒絕Hm,即因素A的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有顯著影響。

FF

又由于當(dāng)“02假設(shè)成立時(shí)，B~(2,6)，查尸分布表得小&(2,6)=5.1。因?yàn)?/p>

%=25.8>5.1=瑪_0(2,6),所以拒絕Ho2,即因素8的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有顯著影響。

2.2考慮交互作用的方差分析

在以上討論中，由于只對(duì)A,8兩個(gè)因素各水平的組合進(jìn)行了一次觀(guān)察，所以不能了解A,8

兩因素之間是否存在交互作用的影響。上面假設(shè)均值

/=〃+%+%i=1,2,-,p；j=1,2,—,q?

而現(xiàn)在要考慮A,B各水平的交互作用，很自然出j#〃+a,+3,我們稱(chēng)%=4一〃一a,

一0為因素4的第i個(gè)水平與因素B的第j個(gè)水平的交互效應(yīng)(即交互作用的影響)。

對(duì)兩個(gè)因素A和8的各水平(4,嗎)，i=1,2,-,p；j=1,2,-,4,重復(fù)進(jìn)行r次觀(guān)察,

設(shè)其觀(guān)察值為

匕冰，i-1,2,—,p；j=1,2,—,q,%=1,2,…，r,

并假設(shè)

(1)金獨(dú)立,嬴~N(〃u，cr2),)=1,2,…,P.j=1,2,—,q,k=l,2,—,r；

(2)勺=〃+%+￡,+琢。

于是

POPq

Z%=0,=0,=0,/=12…，q，=0,i=1,2,…，po

i=lJ=1i=lj=\

這樣就得到兩個(gè)因素有交互作用的方差分析模型為

務(wù)k=4〃=〃+6+4+%+￡孤，

pqp。

=0,ZAZ=°，Z%ZB=°,

i=lj=1i=l;=i

￡泌iid，.-NO/)

(i=p；j=l,2,…，q，k=1,2,—,r)o

因此要判斷因素A,8的影響以及交互作用的影響是否顯著，分別等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)

“01:a產(chǎn)出=…=a〃=0,

H02?仇=02=…=Pq=*，

“03：&=0,i=l,2,…，p；/=1,2,…，qo

為了檢驗(yàn)上述假設(shè)，類(lèi)似地將總偏差平方和S7進(jìn)行分解o

S產(chǎn)P￡之<7r￡（金-_0

/=1j=\k=\

_________

品Y）+（%3）+（勃-品-%+9+（金TQ]2

/=1j=lk=l

=fP之q￡r（盤(pán)-_3+t/>之<//￡■（_占「_方+fp之qr廠(chǎng)_盤(pán)君_/+工_+

/=1j=\k=\i=\j=\k=\/=1j=\k=\

pq一

￡￡￡（金-%.）2

i=\j=\k=T

=+SAxB+Seo（5）

其中

〃</，.__

SA=tW?T）2="pt?_T_）2,

/=]；=1k=lZ=I

Pqr__q__

i=\j=\k=\j=l

（嘉-昂-日.+E）2=」X彘-J.+3，

i=lj=l左=1i=1j=l

P（!r_

=隔-%.）2。

/=1j=\k=\

iqr

△￡短.,i=12…，p,

q./=i

j=l,2,…，q,

_1Prr

pqr/=1k=\k=\

在平方和分解公式（5）中，5〃除反映誤差波動(dòng)外，還反映了4因素的各水平間效應(yīng)的差

異；SB除反映誤差波動(dòng)外，還反映了B因素的各水平間效應(yīng)的差異；S.e除反映誤差波動(dòng)

外，還反映了交互作用的差異所引起的波動(dòng)；&僅僅反映了誤差的波動(dòng)。

可以計(jì)算得

E(SA)=(p-l)cr2+“￡a：,

/=!

p

E(SB)=(q-Db2+pr￡用,

j=l

pq

E(S.*B)=(P—l)(q—+%

1=1J=1

E(Se)=pq(r-l)(j2。

令

c2_5八SA*B9s

°I—7s；，S”——J—

P-lq—i(P-W-Dpq(r-l)

則得

E(S：)=，+言12

pq

E(S；)=，+m，

(P-W-Di=lj=\

E（S：）=/。

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：

22

sS；s

入=3，F(xiàn)B%=油

d4d4

當(dāng)假設(shè)不成立時(shí)，

工有偏大傾向，故可用死檢驗(yàn)假設(shè)“0”當(dāng)假設(shè)”02不成立時(shí)，F(xiàn)B

有偏大傾向，故可用心檢驗(yàn)假設(shè)“02；當(dāng)假設(shè)“03不成立時(shí)，&8有偏大傾向，故可用乙B

檢驗(yàn)假設(shè)“03。

可以證明

喜?力2(pq(r—l))。

b

S

當(dāng)“01成立時(shí)，T?,2(P-D，且與1獨(dú)立，所以

O"

FA-F(p-\,pq(r-1))。

s

當(dāng)”02成立時(shí)，T?/(q—D，且與S,獨(dú)立，所以

b

FB~F(q-l,pq(r-X))a

s

當(dāng)“03成立時(shí)，T??力2((q—l)q—1)),且與S,獨(dú)立，所以

(y~

將上面的結(jié)果列成有交互作用的方差分析表(表(5))。

表(5)

方差平方和自由度均方和產(chǎn)值

來(lái)源

八2

G,p-1s；告s

的影=企(a3FA=-^T

P-ld

響1=14

B<7__

qto2SB

的影Ss=p，￡?j.Y)2§2=i&幸

q-i

響;=1?4

§2=SAx8

交52

5/1x8=(P-D(？-i)

影響F4B=TT

d4

A

戊之魂.一

X

B1=1J=1

誤差

pq_pq(r-Y)

7=1y=lk=lpq(r-i)

總和

Pqr—pgr-1

s產(chǎn)

i=\j=\k=\

例2在某橡膠配方中，考慮三種不同的促進(jìn)劑，四種不同分量的氧化鋅，同樣的配方重復(fù)

一次，測(cè)得300%的定伸強(qiáng)力如表(6)所示。試問(wèn)氧化鋅、促進(jìn)劑以及它們的交互作用對(duì)

定伸強(qiáng)力有無(wú)顯著影響(a=0.01)?

表（6）

B、B,

31,33343635,3639,38

Ai

33,3436,3737,3938,41

&

35,3737,3839,4042,44

解由表（6）數(shù)據(jù)可算得相應(yīng)的方差分析，結(jié)果見(jiàn)表（7）所示。

表⑺

方差來(lái)源平方和自由度均方和Ffl'L顯著性

A2髭著

：

SA=56.6S=28.3%=19.4

B3顯著

S1=44.1

=132.2FB=30.2

AXB6不顯著

SAX8=4.7S；=0.8%=0.55

誤差12

Se=17.5S：=1.46

總和211.023

由顯著性水平a=0.01,查產(chǎn)分布表得

K_a（2,12）=691（3,12）=60;F?（6,12）=4.82。

所以在顯著性水平a=0.01下，促進(jìn)劑種類(lèi)影響和氧化鋅總量的影響都是顯著的，而它們之

間的交互作用則認(rèn)為可以忽略。

§3正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的直觀(guān)分析

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)較大的分支，它的內(nèi)容十分豐富，這里只介紹正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（簡(jiǎn)

稱(chēng)正交設(shè)計(jì)或正交試驗(yàn)）。這種方法第二次世界大戰(zhàn)后在日本全國(guó)普遍推廣，據(jù)日本某些專(zhuān)

家估計(jì)，''（日本）經(jīng)濟(jì)發(fā)展中至少有10%的功勞歸于正交設(shè)計(jì)”，可見(jiàn)其經(jīng)濟(jì)效益之大。在

我國(guó)，正交設(shè)計(jì)也有很多應(yīng)用，它的進(jìn)一步推廣將會(huì)在我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)中獲得更加豐碩的成

果。

正交設(shè)計(jì)是利用“正交表”進(jìn)行科學(xué)地安排與分析多因素試驗(yàn)的方法。它的主要優(yōu)點(diǎn)是，能

在很多試驗(yàn)方案（也稱(chēng)試驗(yàn)條件）中挑選出代表性強(qiáng)的少數(shù)試驗(yàn)方案，并通過(guò)對(duì)這少數(shù)試驗(yàn)

方案的試驗(yàn)結(jié)果的分析，推斷出最優(yōu)方案，同時(shí)還可以作進(jìn)一步的分析，得到比試驗(yàn)結(jié)果本

身給出的還要多的有關(guān)各因素（也稱(chēng)因子）的信息。

在§2中介紹的兩個(gè)因素的方差分析的計(jì)算已經(jīng)比較復(fù)雜，當(dāng)因素及水平數(shù)較多時(shí)，試驗(yàn)次

數(shù)是驚人的。例如，考慮5個(gè)因素4水平的試驗(yàn)，若每個(gè)因素的水平搭配（水平組合）只做

2次重復(fù)試驗(yàn)，就要做2x45=2048次試驗(yàn)，而且，對(duì)這么多試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算，也

將是非常繁重的任務(wù)。此時(shí)如果用正交設(shè)計(jì)來(lái)安排試驗(yàn)，則試驗(yàn)次數(shù)會(huì)大大減少，而統(tǒng)計(jì)分

析的計(jì)算也將變得簡(jiǎn)單。按“正交表”來(lái)安排回歸試驗(yàn)，也會(huì)使多元線(xiàn)性回歸分析的計(jì)算變

得更簡(jiǎn)單。

對(duì)正交試驗(yàn)結(jié)果的分析，通常采用兩種方法，?種是直觀(guān)分析法或稱(chēng)極差分析法，另一種是

方差分析法。在實(shí)際工作中兩種方法都有用，本節(jié)討論直觀(guān)分析法。

3.1正交表

下面的表(1)是一張正交表，把它記為L(zhǎng)8(2’)。

表⑴

號(hào)1234567

試驗(yàn)

11111111

21112222

31221122

41222211

52121212

62122121

72211221

82212112

記號(hào)及(27)中的“L”代表正交表，L右下角的數(shù)字“8”表示這個(gè)正交表有8行，即安排8

次試驗(yàn)，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字“2”表示集中只出現(xiàn)“1”和“2”兩個(gè)數(shù)字，它們分別是因子的1

水平和2水平的代號(hào)，數(shù)字2的右上角“7”表示這張正交表有7歹正交表的列是用來(lái)安

放因