2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題。1．在等比數(shù)列{an}中，若a2＝9，a4＝3，則a8＝．2．＝．3．若函數(shù)f（x）＝ex+ax在x＝2處取極值，則a＝．4．甲盒子中有3個(gè)不同的紅球，乙盒子中有7個(gè)不同的白球，某同學(xué)要在甲盒或乙盒中摸一個(gè)球，則不同的方法有．5．曲線y＝x2+8在點(diǎn)P（1，9）處的切線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為．6．已知無窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則{an}的各項(xiàng)和為．7．從1，2，3，4，9這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以得到種不同的對(duì)數(shù)值．8．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，，則{an}的通項(xiàng)公式為．9．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.69]＝0，[3.09]＝3．如果定義數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為，則x1+x2+…+x6n＝．10．近期，上海加大疫情的防控力度，上海疫情隔離點(diǎn)逐漸增多，如圖所示，A，B，C，D為上海某地四個(gè)隔離點(diǎn)，為了方便食物供應(yīng)，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個(gè)隔離點(diǎn)連接起來，則不同的建橋方法有種．11．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*，下列三個(gè)命題中錯(cuò)誤的序號(hào)有．①若（非零常數(shù)q，A，B滿足q≠1，A+B＝0），則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；②若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，……仍為等比數(shù)列；③{an}為嚴(yán)格遞增數(shù)列是{Sn}為嚴(yán)格遞增數(shù)列的必要非充分條件．12．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且滿足（an+1﹣an﹣3）（an+1﹣2an）＝0對(duì)任意n∈N*都成立，則能使am＝2023成立的正整數(shù)m的最小值為．二、選擇題。13．已知函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處可導(dǎo)，則等于（）A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．014．對(duì)于不等式＜n+1（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，＜1+1，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即＜k+1，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，＝＜＝＝（k+1）+1，∴當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式成立．則上述證法（）A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確15．（理科）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種，且相鄰部分不能栽種同一種顏色的花，則不同的栽種方法種數(shù)為（）A．120 B．360 C．480 D．54016．已知等比數(shù)列{an}首項(xiàng)a1＞1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，函數(shù)f（x）＝x（x+a1）（x+a2）……（x+a7），若f'（0）＝1，給出以下結(jié)論：①{lgan}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列；②使得Tn＞1成立的n的最大值為6．則（）A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤三、解答題。17．公差非零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3，a7的等比中項(xiàng)，S8＝32．（1）求S10；（2）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝a13，數(shù)列{bn}的公差為﹣4，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，Tn是否存在最大或者最小值？如果存在，求出最大或者最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．18．已知二次函數(shù)y＝f（x）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）＝2x，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y＝f（x）的圖像上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．19．上海的疫情牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，全國(guó)各地送來了很多支援上海的防疫物資，除此之外一些蔬菜中轉(zhuǎn)廠，通過向農(nóng)場(chǎng)購(gòu)買蔬菜進(jìn)行儲(chǔ)存，再賣給上海各個(gè)小區(qū)，也為上海居民提供了蔬菜來源．某蔬菜中轉(zhuǎn)廠的每日進(jìn)貨的蔬菜量最多不超過20噸，由于蔬菜采購(gòu)，運(yùn)輸，管理等因素，蔬菜每日浪費(fèi)率p與日進(jìn)貨量x（噸）之間近似地滿足關(guān)系式，已知每售出一頓蔬菜可盈利2千元，而浪費(fèi)一噸蔬菜則虧損1千元．（蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日利潤(rùn)y＝日售出盈利額﹣日浪費(fèi)虧損額）．（1）將該蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日利潤(rùn)y（千元）表示成日產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)；（2）當(dāng)該蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日進(jìn)貨量為多少噸時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是幾千元？20．已知函數(shù)f（x）＝lnx，g（x）＝（a＞0），設(shè)F（x）＝f（x）+g（x）．（Ⅰ）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若以y＝F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）為切點(diǎn)的切線的斜率k恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y＝g（）+m﹣1的圖象與y＝f（1+x2）的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．21．已知數(shù)列{an}，{bn}分別滿足a1＝1，|an+1﹣an|＝2，且b1＝﹣1，，其中n∈N*，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn；若數(shù)列{cn}滿足：存在唯一的正整數(shù)k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，則稱數(shù)列{cn}為“k墜點(diǎn)數(shù)列”．（1）若數(shù)列{an}，{bn}都為遞增數(shù)列，求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{an}為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求Sn；（3）若數(shù)列{an}為“p墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列{bn}為“q墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，使Sm+1＝Tm？若存在，求m的最大值；若不存在，說明理由．

2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題。1．在等比數(shù)列{an}中，若a2＝9，a4＝3，則a8＝．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則，∴，∴＝9×＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．2．＝0．【分析】直接利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則，求解即可．【解答】解：＝＝＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．3．若函數(shù)f（x）＝ex+ax在x＝2處取極值，則a＝﹣e2．【分析】依題意，由f′（2）＝e2+a＝0，可求得答案．【解答】解：∵f（x）＝ex+ax在x＝2處取極值，∴f′（2）＝e2+a＝0，解得a＝﹣e2，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，故答案為：﹣e2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．4．甲盒子中有3個(gè)不同的紅球，乙盒子中有7個(gè)不同的白球，某同學(xué)要在甲盒或乙盒中摸一個(gè)球，則不同的方法有10．【分析】根據(jù)題意，分別分析在甲盒和乙盒中摸一個(gè)球的方法，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，某同學(xué)要在甲盒中摸一個(gè)球，有3種方法，在乙盒中摸一個(gè)球，有7種方法，則有3+7＝10種不同的取法，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意分步．分類計(jì)數(shù)原理的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．5．曲線y＝x2+8在點(diǎn)P（1，9）處的切線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，7）．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，再令x＝0，即可得到所求縱坐標(biāo)．【解答】解：y＝x2+8的導(dǎo)數(shù)為y′＝2x，可得在點(diǎn)P（1，9）處的切線斜率為：2，曲線在點(diǎn)P（1，9）處的切線方程為y﹣9＝2（x﹣1），令x＝0，可得y＝7．曲線y＝x2+8在點(diǎn)P（1，9）處的切線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，7）．故答案為：（0，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知無窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則{an}的各項(xiàng)和為1．【分析】由已知先求出首項(xiàng)及公比，然后結(jié)合等比數(shù)列各項(xiàng)和公式可求．【解答】解：因?yàn)闊o窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以a1＝，q＝則{an}的各項(xiàng)和為＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．從1，2，3，4，9這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以得到9種不同的對(duì)數(shù)值．【分析】分構(gòu)成的對(duì)數(shù)式含1，不含1兩種情況討論，注意重復(fù)情況．【解答】解：當(dāng)構(gòu)成的對(duì)數(shù)式含有1時(shí)，得到的對(duì)數(shù)值為0；當(dāng)構(gòu)成的對(duì)數(shù)式不含1時(shí)，有＝12種，其中l(wèi)og23＝log49，log24＝log39，log32＝log94，log42＝log93，重復(fù)4個(gè)，有12﹣4＝8個(gè)；綜上，可以得到1+8＝9種不同的對(duì)數(shù)值，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】該題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、排列知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．8．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，，則{an}的通項(xiàng)公式為．【分析】由Sn與an關(guān)系：，求通項(xiàng)．【解答】解：∵，∴，n≥2，兩式相減得：，n≥2，∴an+1＝4an，n≥2，又，S1＝a1，∴a2＝3a1＝3，∴數(shù)列{an}除去首項(xiàng)1后，是一個(gè)以a2＝3為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，，n≥2，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由Sn與an關(guān)系求通項(xiàng)，等比數(shù)列廣義通項(xiàng)公式：，屬基礎(chǔ)題．9．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.69]＝0，[3.09]＝3．如果定義數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為，則x1+x2+…+x6n＝3n2﹣2n．【分析】利用n＝6k﹣6，6k﹣5，6k﹣4，6k﹣3，6k﹣2，6k﹣1，xn＝＝k﹣1（k≥2，k∈N*）．x6n＝＝n．即可得出結(jié)論．【解答】解：n＝1，2，3，4，5時(shí)，xn＝＝0；n＝6，7，8，9，10，11，xn＝＝1；……，n＝6k﹣6，6k﹣5，6k﹣4，6k﹣3，6k﹣2，6k﹣1，xn＝＝k﹣1（k≥2，k∈N*）．x6n＝＝[n]＝n．∴x1+x2+…+x6n＝5×0+6×（1+2+…+n﹣1）+n＝0+6×+n＝3n2﹣2n．故答案為：3n2﹣2n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了取整函數(shù)的性質(zhì)、分類討論方法、數(shù)列求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．近期，上海加大疫情的防控力度，上海疫情隔離點(diǎn)逐漸增多，如圖所示，A，B，C，D為上海某地四個(gè)隔離點(diǎn)，為了方便食物供應(yīng)，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個(gè)隔離點(diǎn)連接起來，則不同的建橋方法有16種．【分析】根據(jù)題意，由建橋的方式可以分為兩類：從一個(gè)隔離點(diǎn)出發(fā)向其他三個(gè)隔離點(diǎn)各建一橋，一個(gè)隔離點(diǎn)最多建兩座橋，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：第一類，從一個(gè)隔離點(diǎn)出發(fā)向其他三個(gè)隔離點(diǎn)各建一橋，共有4種方法；第二類，一個(gè)隔離點(diǎn)最多建兩座橋，但是下面這樣的兩個(gè)排列對(duì)應(yīng)一種建橋方法，A﹣B﹣C﹣D，D﹣C﹣B﹣A，要去掉重復(fù)的這樣，因此共有×A＝12種建橋方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，知道共有4+12＝16種；故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*，下列三個(gè)命題中錯(cuò)誤的序號(hào)有②③．①若（非零常數(shù)q，A，B滿足q≠1，A+B＝0），則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；②若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，……仍為等比數(shù)列；③{an}為嚴(yán)格遞增數(shù)列是{Sn}為嚴(yán)格遞增數(shù)列的必要非充分條件．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊值法，即可依次求解．【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝Aq+B＝Aq﹣A＝A（q﹣1）≠0，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝Aqn﹣Aqn﹣1＝Aqn﹣1（q﹣1），經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，a1＝A（q﹣1）滿足，∴，∴＝，∴數(shù)列{an}是以A（q﹣1）為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，故①正確，對(duì)于②，若數(shù)列{an}為：1，﹣1，1，﹣1，???，則{an}為等比數(shù)列，當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，此時(shí)S2，S4﹣S2，S6﹣S4不是等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，若{an}為等差數(shù)列，且a2n＝2n﹣9，則，此時(shí){an}為嚴(yán)格遞增數(shù)列，但{Sn}是先減后增的數(shù)列，充分性不成立，若Sn＝2n+1，則a1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2（n﹣1）﹣1＝2，∴，∴數(shù)列{an}不是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，故必要性不成立，故③錯(cuò)誤．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．12．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且滿足（an+1﹣an﹣3）（an+1﹣2an）＝0對(duì)任意n∈N*都成立，則能使am＝2023成立的正整數(shù)m的最小值為18．【分析】由已發(fā)等式得an+1﹣an＝3或an+1＝2an，當(dāng){an}為等差或等比數(shù)列時(shí)，可知不滿足題意，則{an}為等數(shù)列差與等比的交叉數(shù)列，要使m最小，則可利用遞推關(guān)系式所滿足的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)得到結(jié)果．【解答】解：由（an+1﹣an﹣3）（an+1﹣2an）＝0知an+1﹣an＝3或an+1＝2an，當(dāng)an+1﹣an＝3時(shí)，數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，則am＝3m﹣1＝2023，解得m＝（舍去），當(dāng)an+1＝2an時(shí)，數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2?2n﹣1＝2n，則am＝2m＝2023，解得m＝log22023（舍去），∴數(shù)列{an}為等數(shù)列差與等比的交叉數(shù)列，又a1＝2，a2＝4或a2＝5；若要m最小，則am＝2023＝2020+3＝2×1010+3，∴am＝4×505+3＝4×（501+3）+3＝4×（498+6）+3＝4×（2×299+6）+3＝4×（2×（296+3）+6）+3＝4×（2×（2×148+3）+6）+3＝4×（2×（4×74+3）+6）+3＝4×（2×（8×（34+3）+3）+6）+3＝4×（2×8×（28+9）+3）+6）+3＝4×（2×8×（4×7+9）+3）+6）+3＝4×（2×8×（4×（4+3）+9）+3）+6）+3，即am＝4×（2×8×（4×（a2+3）+9）+3）+6）+3＝4×（2×8×（4×a3+9）+3）+6）+3＝4×（2×8×（a5+9）+3）+6）+3＝4×（2×（8×a8+3）+3）+6）+3＝4×（2×（4×a11+3）+6）+3＝4×（2×（2×a12+3）+6）+3＝4×（a13+6）+3＝4×a15+3＝a17+3＝a18，∴正整數(shù)m的最小值為18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)列的遞推式求符合條件的項(xiàng)，屬中檔題．二、選擇題。13．已知函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處可導(dǎo)，則等于（）A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處可導(dǎo)，＝＝2f′（x0），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．14．對(duì)于不等式＜n+1（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，＜1+1，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即＜k+1，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，＝＜＝＝（k+1）+1，∴當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式成立．則上述證法（）A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確【分析】此證明中，從推出P（k+1）成立中，并沒有用到假設(shè)P（k）成立的形式，不是數(shù)學(xué)歸納法．【解答】解：在n＝k+1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，即從n＝k到n＝k+1的推理不正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n0）成立（奠基）2°假設(shè)P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立15．（理科）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種，且相鄰部分不能栽種同一種顏色的花，則不同的栽種方法種數(shù)為（）A．120 B．360 C．480 D．540【分析】由題意來看6部分種4種顏色的花，又從圖形看知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求．②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，③與⑤同色，則②④或⑥④同色，②與④且③與⑥同色，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：從題意來看6部分種4種顏色的花，又從圖形看知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求．（1）②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1＝4×3×2×2×1＝48種；（2）③與⑤同色，則②④或⑥④同色，所以共有N2＝4×3×2×2×1＝48種；（3）②與④且③與⑥同色，則共有N3＝4×3×2×1＝24種．∴共有N＝N1+N2+N3＝48+48+24＝120種．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是如何分類，屬于基礎(chǔ)題．16．已知等比數(shù)列{an}首項(xiàng)a1＞1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，函數(shù)f（x）＝x（x+a1）（x+a2）……（x+a7），若f'（0）＝1，給出以下結(jié)論：①{lgan}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列；②使得Tn＞1成立的n的最大值為6．則（）A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出a4＝1，由a1＞1，可得0＜q＜1，即可判斷①正確與否；因?yàn)閍1a2…a7＝1，且a1＞a2＞…＞a7＞0，所以a1a2…a6＞1，0＜a7＜1，即可判斷②正確與否．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝x（x+a1）（x+a2）……（x+a7），則f′（x）＝（x+a1）（x+a2）……（x+a7）+x[（x+a1）（x+a2）……（x+a7）]′，因?yàn)閒'（0）＝1，所以a1a2…a7＝1，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a7＝a2a6＝a3a5＝a42，所以a1a2…a7＝a47＝1，所以a4＝1，由a1＞1，可得0＜q＜1，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}首項(xiàng)a1＞1，公比為q，所以＝q，則lgan+1﹣lgan＝lg＝lgq＜0，故{lgan}為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，故①錯(cuò)誤；因?yàn)閍1a2…a7＝1，且a1＞a2＞…＞a7＞0，所以a1a2…a6＞1，0＜a7＜1，所以使得Tn＞1成立的n的最大值為6，故②正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．三、解答題。17．公差非零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3，a7的等比中項(xiàng)，S8＝32．（1）求S10；（2）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝a13，數(shù)列{bn}的公差為﹣4，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，Tn是否存在最大或者最小值？如果存在，求出最大或者最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），由等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求和；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得b1，由等差數(shù)列的求和公式可得Tn，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合n為正整數(shù)可得所求最值．【解答】解：（1）設(shè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3，a7的等比中項(xiàng)，S8＝32，則a42＝a3a7，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+6d），即3d+2a1＝0，又8a1+28d＝32，解得d＝2，a1＝﹣3，則S10＝10×（﹣3）+45×2＝60；（2）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝a13，數(shù)列{bn}的公差為﹣4，則b1＝﹣3+12×2＝21，Tn＝21n﹣n（n﹣1）×4＝﹣2n2+23n＝﹣2（n﹣）2+，所以當(dāng)n＝6時(shí)，Tn存在最大值，且為66，無最小值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．已知二次函數(shù)y＝f（x）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）＝2x，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y＝f（x）的圖像上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．【分析】（1直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法和恒成立問題的應(yīng)用求出m的最小值．【解答】解：（1）二次函數(shù)y＝f（x）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)f（x）＝ax2+bx（a≠0），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）＝2ax+b＝2x，所以b＝0，a＝1；所以f（x）＝x2；由于點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y＝f（x）的圖像上，所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）；故an＝2n﹣1；（2）由（1）得：；故＝；故對(duì)于對(duì)所有n∈N*都成立，只需滿足即可，故m≥15，即m的最小整數(shù)為15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法的求和，恒成立問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．19．上海的疫情牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，全國(guó)各地送來了很多支援上海的防疫物資，除此之外一些蔬菜中轉(zhuǎn)廠，通過向農(nóng)場(chǎng)購(gòu)買蔬菜進(jìn)行儲(chǔ)存，再賣給上海各個(gè)小區(qū)，也為上海居民提供了蔬菜來源．某蔬菜中轉(zhuǎn)廠的每日進(jìn)貨的蔬菜量最多不超過20噸，由于蔬菜采購(gòu)，運(yùn)輸，管理等因素，蔬菜每日浪費(fèi)率p與日進(jìn)貨量x（噸）之間近似地滿足關(guān)系式，已知每售出一頓蔬菜可盈利2千元，而浪費(fèi)一噸蔬菜則虧損1千元．（蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日利潤(rùn)y＝日售出盈利額﹣日浪費(fèi)虧損額）．（1）將該蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日利潤(rùn)y（千元）表示成日產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)；（2）當(dāng)該蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日進(jìn)貨量為多少噸時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是幾千元？【分析】（1）根據(jù)蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日利潤(rùn)y＝日售出盈利額﹣日浪費(fèi)虧損額，列出函數(shù)式將p代入即可；（2）對(duì)分段函數(shù)分別求其單調(diào)性以及最值即可得出日利潤(rùn)最大值．【解答】解：（1）依題意得，y＝2x（1﹣p）﹣px＝，（2）當(dāng)f（x）＝，1≤x≤9時(shí)，f'（x）＝2﹣，令f′（x）＝0解得：x＝15﹣3，∴當(dāng)1≤x＜15﹣3時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)15﹣3＜x≤9時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；∴當(dāng)x＝15﹣3時(shí)，f（x）取得極大值，也是最大值，又x∈N*，f（8）＝，f（9）＝9，∴f（x）最大值為，當(dāng)f（x）＝﹣，10≤x≤20時(shí)，f'（x）＝≤0，∴f（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝10時(shí)，f（x）取得最大值，∵＞，∴當(dāng)該蔬菜中轉(zhuǎn)廠的日進(jìn)貨量為10噸時(shí)，日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)是千元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)建模思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．20．已知函數(shù)f（x）＝lnx，g（x）＝（a＞0），設(shè)F（x）＝f（x）+g（x）．（Ⅰ）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若以y＝F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）為切點(diǎn)的切線的斜率k恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y＝g（）+m﹣1的圖象與y＝f（1+x2）的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．【分析】（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0求出F（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率k，根據(jù)恒成立將a分離出來，，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；（III）p函數(shù)y＝g（）+m﹣1的圖象與y＝f（1+x2）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程有四個(gè)不同的根，分離出m后，轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最大值和最小值．【解答】解：（I），．因?yàn)閍＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；由F′（x）＜0?x∈（0，a），所以F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．（Ⅱ）由題意可知對(duì)任意0＜x0≤3恒成立，即有對(duì)任意0＜x0≤3恒成立，即，令，則，即實(shí)數(shù)a的最小值為．（III）若y＝g（）+m﹣1＝的圖象與y＝f（1+x2）＝ln（x2+1）的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，即有四個(gè)不同的根，亦即有四個(gè)不同的根．令，則．當(dāng)x變化時(shí)G'（x）．G（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，0）（0，1）（1，+∞）G'（x）的符號(hào)+++﹣G（x）的符號(hào)↑↓↑↓由表格知：．又因?yàn)榭芍?，?dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的解．∴的圖象與y＝f（1+x2）＝ln（x2+1）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．21．已知數(shù)列{an}，{bn}分別滿足a1＝1，|an+1﹣an|＝2，且b1＝﹣1，，其中n∈N*，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn；若數(shù)列{cn}滿足：存在唯一的正整數(shù)k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，則稱數(shù)列{cn}為“k墜點(diǎn)數(shù)列”．（1）若數(shù)列{an}，{bn}都為遞增數(shù)列，求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{an}為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求Sn；（3）若數(shù)列{an}為“p墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列{bn}為“q墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，使Sm+1＝Tm？若存在，求m的最大值；若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意推導(dǎo)出數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，可求出an，求出b2的值，根據(jù)題意可知數(shù)列{bn}從第2項(xiàng)開始成以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）列舉出數(shù)列{an}，分n≤4，n≥5兩種情況求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)分式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可