2022-2023學年廣西壯族自治區(qū)貴港市德智高級中學高二數學理期末試卷含解析

2022-2023學年廣西壯族自治區(qū)貴港市德智高級中學高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某高中共有2000名學生，其中各年級男生、女生的人數如表所示，已知在全校學生中隨機抽取1人，抽到高二年級女生的概率是0.19，現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則在高三年級中應抽取的學生人數是（）

高一高二高三女生373mn男生377370pA．8 B．16 C．28 D．32參考答案：B【考點】系統抽樣方法．【分析】根據題意，在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19，可得=0.19，解可得m的值，進而可得高三年級人數，由分層抽樣的性質，計算可得答案．【解答】解：根據題意，在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19，有=0.19，解可得m=380．則高三年級人數為n+p=2000﹣=500，現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，應在高三年級抽取的人數為×500=16；故選：B．2.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，且一個內角為60°的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為（）A．B．C．4D．8參考答案：C考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題．分析：由題意求出菱形的邊長，由三視圖可得，幾何體是由兩個底面正方形的正四棱錐組合而成，求出正四棱錐側面積，即可求解．解答：解：一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，且一個內角為60°的菱形，所以菱形的邊長為：1，由三視圖可得，幾何體是由兩個底面正方形的正四棱錐組合而成，底面邊長為1，側棱長為：，所以幾何體的表面積為：=4．故選C．點評：本題是基礎題，考查三視圖推出幾何體的判斷，幾何體的表面積的求法，注意視圖的應用．3.已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知等差數列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97參考答案：C【考點】等差數列的性質．【分析】根據已知可得a5=3，進而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差數列{an}前9項的和為27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故選：C5.已知{an}為等比數列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，則a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7參考答案：D【考點】等比數列的性質；等比數列的通項公式．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，進而可求公比q，代入等比數列的通項可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比數列的性質可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4當a4=4，a7=﹣2時，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7當a4=﹣2，a7=4時，q3=﹣2，則a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7綜上可得，a1+a10=﹣7故選D6.下列程序運行的結果是（

）A．1,2,3

B．2,3,1

C．2,3,2

D．3,2,1參考答案：C7.給出下列命題①dx=dt=b﹣a（a，b為常數且a＜b）；②x2dx=x2dx；③曲線y=sinx，x∈[0，2π]與直線y=0圍成的兩個封閉區(qū)域面積之和為2，其中正確命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】67：定積分；6G：定積分在求面積中的應用．【分析】根據的定積分的計算，分別求出①②③的結果，問題得以解決．【解答】解：①dx=b﹣a≠dt=a﹣b，故①錯，而y=x2是偶函數其在[﹣1，0]上的積分結果等于其在[0，1]上的積分結果，故②正確，對于③有S=2=﹣2cos=4．故③錯，故選：B8.(2＋)100的展開式中，無理項的個數是()A．66

B．67

C．68

D．69參考答案：B9.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則()A．a>b>c

B．a>c>b

C．b>a>c

D．c>a>b參考答案：B10.設奇函數在上存在導函數，且在上，若，則實數的取值范圍為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D由得：，構造函數，故g（x）在單調遞減，由函數f(x)為奇函數可得g(x)為奇函數，故g(x)在R上單調遞減，故,選D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有

個.（用數字作答）參考答案：57612.下列有關命題的說法中，正確的是

(填所有正確答案的序號)．①命題“若，則”的逆否命題為“若，

則”；②已知命題，命題，則命題是命題的必要不充分條件。③命題表示橢圓為真命題，則實數的取值范圍是．參考答案：①

13.若，，，則

．參考答案：略14.函數f（x）=2x2﹣lnx的單調遞減區(qū)間是__________.參考答案：15.已知平面向量滿足，且與的夾角為150°，則的取值范圍是_________.

參考答案：

(0,2]16.離心率，一個焦點是的橢圓標準方程為

.參考答案：17.點是拋物線上一個動點，則點到點的距離與點到直線的距離和的最小值是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某電視臺2014年舉辦了“中華好聲音”大型歌手選秀活動，過程分為初賽、復賽和決賽，經初賽進入復賽的40名選手被平均分成甲、乙兩個班。下面是根據這40名選手參加復賽時獲得的100名大眾評審的支持票數制戚的莖葉圖：賽制規(guī)定：參加復賽的40名選手中，獲得的支持票數排在前5名的選手可進入決賽，若第5名出現并列，則一起進入決賽：另外，票數不低于95票的選手在決賽時擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權”(1)分別求出甲、乙兩班的大眾評審的支持票數的中位數、眾數與極差：(2)從進入決賽的選手中髓機抽出3名，求其中恰有1名擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權”的概率．參考答案：19.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點．（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在線段PC上是否存在點M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°．若存在，試確定點M的位置，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．【解答】（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖則Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）設，0＜λ＜1，則M（﹣2λ，，），平面CBQ的一個法向量=（0，0，1），設平面MBQ的法向量為=（x，y，z），由，得=（，0，），∵二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°，∴cos60°=|cos＜＞|=||=，解得，∴=，∴存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．【點評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.設橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且長軸長是短軸長的2倍．又點P（4，1）在橢圓上，求該橢圓的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】計算題；分類討論；待定系數法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由橢圓的焦點在x軸上或在y軸上加以討論，分別根據題意求出橢圓的長半軸a與短半軸b的值，由此寫出橢圓的標準方程，可得答案【解答】解：①當橢圓的焦點在x軸上時，設方程為+=1（a＞b＞0）．∵橢圓過點P（4，1），∴+=1，∵長軸長是短軸長的2倍，∴2a=2?2b，即a=2b，可得a=2，b=，此時橢圓的方程為+=1；②當橢圓的焦點在y軸上時，設方程為+=1（m＞n＞0）．∵橢圓過點P（4，1），∴+=1，∵長軸長是短軸長的3倍，可得a=2b，解得m=，n=，此時橢圓的方程為=1．綜上所述，橢圓的標準方程為=1或=1．【點評】本題給出橢圓的滿足的條件，求橢圓的標準方程，著重考查了利用待定系數法求橢圓的標準方程的方法，屬于基礎題．21.(本題滿分14分）已知△中，在邊上，且o，o．（1）求的長；（2）求△的面積．參考答案：解：在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．………

4分在△ACD中，AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．……

10分∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝．

…………

14分略22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F1，F2，點D是橢圓C上一動點當△DF1F2的面積取得最大值1時，△DF1F2為直角三角形．（1）橢圓C的方程．（2）已知點P是橢圓C上的一點，則過點P（x0，y0）的切線的方程為+=1．過直線l：x=2上的任意點M引橢圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過定點．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）當D在橢圓的短軸端點時，△DF1F2的面積取得最大值，得b，c，a，（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，t），則直線AM：