應(yīng)力狀態(tài)理論

第8章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析8.１應(yīng)力狀態(tài)的概念一、問題的提出F鑄鐵壓縮FF低碳鋼拉伸

鋼筋混凝土梁的斜裂縫2.受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力的特征1.實例1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的。2）構(gòu)件同一截面上不同點處的應(yīng)力一般是不相同的。3）構(gòu)件內(nèi)同一點處，在不同方位截面上的應(yīng)力一般也是不相同的。因此，當(dāng)提及應(yīng)力時，必須指明“應(yīng)力的點和面”

二、一點的應(yīng)力狀態(tài)通過受力構(gòu)件內(nèi)的一點，不同方位截面上的應(yīng)力集合，稱為該點處的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。1.定義：3.應(yīng)力狀態(tài)的表示在于確定在哪個截面上該點處有最大正應(yīng)力，在哪個截面上該點處有最大切應(yīng)力，以及它們的數(shù)值，為處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下桿件的強(qiáng)度計算提供依據(jù)。

2.研究危險點處應(yīng)力狀態(tài)的目的用單元體表示點的應(yīng)力狀態(tài)。圍繞所研究的點，截取一單元體(如微小正六面體)，以單元體各面上的應(yīng)力分量表示周圍材料對其作用，這樣的應(yīng)力單元體，就表示該點處的應(yīng)力狀態(tài)。xyzs

xsz

s

ytxytxz4.應(yīng)力單元體的特征1）單元體的尺寸無限小，每個面上的應(yīng)力為均勻分布。2）單元體表示一點處的應(yīng)力，故相互平行截面上的應(yīng)力相同。3）同一點處的應(yīng)力狀態(tài)，若所取單元體的方位不同，則所表示的形態(tài)并不相同，如圖所示均為軸向拉桿A點處的應(yīng)力狀態(tài)，但兩單元體是等價的。三、主平面、主應(yīng)力1.主平面(PrincipalPlane)

應(yīng)力單元體中切應(yīng)力為零的平面，稱為主平面。2.主單元體(Principalbidy)由主平面構(gòu)成的單元體。3.主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力的記號分別用表示，且規(guī)定按代數(shù)值排列。4.主方向：主平面的法向。5.應(yīng)力狀態(tài)的普遍情況在任意載荷的作用下，物體內(nèi)一點處應(yīng)力狀態(tài)的普遍情況，最多可能有9個應(yīng)力分量，即yxz由切應(yīng)力互等定理，可知因比，普遍情況下一點處應(yīng)力狀態(tài)的獨(dú)立應(yīng)力分量是6個。在普通情況下，任一點處的應(yīng)力狀態(tài)，必定存在一個由三對相互垂直的主平面所組成的主應(yīng)力單元體。但在三個主應(yīng)力中有兩個或三個主應(yīng)力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會多余三個。四、應(yīng)力狀態(tài)的分類單向應(yīng)力狀態(tài)——只有一個主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)——有兩個主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)——三個主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。

純剪切應(yīng)力狀態(tài)——單元體的各個側(cè)面只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。

單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)均屬于平面應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)屬于空間應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱簡單應(yīng)力狀態(tài)，而二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

零應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)的疊加：其結(jié)果不一定屬于原有應(yīng)力狀態(tài)。8.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO等價xysxtxysyO一、任意a斜截面上的應(yīng)力sasytyxsxtaaxyOtnatxy符號規(guī)定sasytyxsxtaaxyOtnatxy正應(yīng)力——以拉應(yīng)力為正；切應(yīng)力t——以使單元體繞單元體內(nèi)任意一點有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正；方向角a——以逆時針為正。二、用解析法求任意a斜截面上的應(yīng)力1.公式推導(dǎo)：2.任意a斜截面上的應(yīng)力公式3.正應(yīng)力極值——主應(yīng)力3.正應(yīng)力極值——主應(yīng)力max的指向是介于僅由單元體切應(yīng)力txy=tyx產(chǎn)生的主拉應(yīng)力指向與單元體正應(yīng)力x、y中代數(shù)值較大的一個正應(yīng)力指向之間。xxyytxytyxmaxmin

主單元體4.切應(yīng)力極值極值切應(yīng)力作用面上的正應(yīng)力：切應(yīng)力的極值作用面與正應(yīng)力的極值作用面互成的夾角5.平面應(yīng)力狀態(tài)分析的特征1）斜截面應(yīng)力、主應(yīng)力及最大切應(yīng)力均是指xy平面內(nèi)的應(yīng)力，即其作用面均垂宜于xy平面。2)任意兩相互垂直截面上的正應(yīng)力之和為常量3）平面應(yīng)力狀態(tài)中，垂直于該平面的主應(yīng)力為零。故單元體三個主應(yīng)力的序號應(yīng)根據(jù)max和min的正負(fù)號而定，即4）主平面上的切應(yīng)力必等于零；最大切應(yīng)力作用面上的正應(yīng)力一般不等于零，且等于(x+y)/2。5）主平面與最大切應(yīng)力作用面必互成450。6.用解析法求任意a斜截面上的應(yīng)力示例例：分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。MTC8.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法xysxtxysyOsasytyxsxtaaxyOtnatxy1.應(yīng)力圓（

StressCircle）對上述方程消去參數(shù)（2），得應(yīng)力圓方程：此方程曲線為圓——應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）2.應(yīng)力圓的畫法(2)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點A(x，xy)

和B(y，yx)

(3)AB與sa

軸的交點C便是圓心。(4)以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)(1)建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）3.單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系sxtxysyxyOnsataa

單元體應(yīng)力圓單元體某平面上的應(yīng)力分量單元體兩平面間的夾角a單元體的主應(yīng)力值單元體的最大切應(yīng)力值應(yīng)力圓某定點的坐標(biāo)應(yīng)力圓兩對應(yīng)點所夾的中心角2a應(yīng)力圓與sa軸交點的坐標(biāo)應(yīng)力圓的半徑OsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2a04.在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s38.4空間應(yīng)力狀態(tài)簡介1、空間應(yīng)力狀態(tài)s2s1xyzs32、三向應(yīng)力分析圖a圖btmaxs2s1xyzs3(1)彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。(2)整個單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力為：8.饑5抗廣義柔胡克屠定律純體或應(yīng)變1.員單拉仁下的晌應(yīng)力恢--爬應(yīng)變梢關(guān)系2.梁純剪賊切的歉應(yīng)力邁--叔應(yīng)變托關(guān)系xyzsxxyz

x

y一、杯廣義冒胡克倍定律3.請復(fù)雜育狀態(tài)友下的哲應(yīng)力或-龍--原應(yīng)灑變關(guān)纖系依疊釣加原并理,鈴及根陶據(jù)連討續(xù)均虎勻各液向同良性線儲彈性濾材料節(jié)，正候應(yīng)力銅僅引獸起線蜜應(yīng)變衫，切政應(yīng)力羞僅引地起相慕應(yīng)平償面的專切應(yīng)隨變，竿得:

xyzszsytxysx廣義邊胡克權(quán)定律4.艇主應(yīng)題力冤--差-臨主應(yīng)德變關(guān)舉系s1s3s2主應(yīng)六力與板主應(yīng)士變方向舊一致5.緞平面杯狀態(tài)倆下的羽應(yīng)力去--疑-應(yīng)睡變關(guān)吧系:二、動材料技彈性悲常數(shù)布E田、G拔、舍間的龍關(guān)系對于棍各向極同性少材料吳，獨(dú)竭立的辱彈性堡常數(shù)揚(yáng)為樣2增個三、本體積姑應(yīng)變于與應(yīng)尤力分葬量間診的關(guān)叫系對于胖各向躺同性榮材料代，線兩應(yīng)變默僅由在正應(yīng)它力引填起，花又由缸于切亮應(yīng)變閥不引售起體勾積改育變。告因此腸，在秧線彈營性、互微小鑄應(yīng)變橫情況海下，稿空間載應(yīng)力塔狀態(tài)伯單元壁體的維體積專應(yīng)變藍(lán)為：體應(yīng)吳變又攀稱體稍積應(yīng)綿變，其是指醋在應(yīng)淋力狀朗態(tài)下奸單元歪體單染位體斤積的船體積檢改變盤。s1s3s2dxdydz1.謙主單貪元體士：2.勵純剪葉切平全面應(yīng)銀力狀稍態(tài)txyCtyx可見堵，切應(yīng)賽力的成存在山并不羨影響煤該點照處的猾體應(yīng)啄變。3.礎(chǔ)一般匪單元碎體

szsytxysx小變析形時宴連續(xù)級均質(zhì)豪各向芹同性哀線彈偏性體礎(chǔ)內(nèi)，敏一點努處的侍體應(yīng)士變，流只與叫過該芽點沿納三個雕相互流垂直咱的坐驅(qū)標(biāo)軸紗方向蹤蝶正應(yīng)封力的根代數(shù)摔和成宜正比挽，而抗與坐智標(biāo)方扮位和爐切應(yīng)荒力無軍關(guān)。結(jié)論拆：例已知對一受始力構(gòu)揚(yáng)件自映由表葛面上之某一蜓點處克的兩貢個面百內(nèi)主捕應(yīng)變慚分別犁為：1=2奇40拘1狗0-6，2=蕉–1惕60達(dá)1供0-6，彈遵性模授量E=2娛10房誠GP腰a，派泊松躍比為n=0昌.3鬧，襪試求薦該點虎處的伍主應(yīng)失力及行另一估主應(yīng)恭變。例圖a所示乳為承丙受內(nèi)脹壓的急薄壁扛容器廚。為柏測量截容器骨所承繪受的洲內(nèi)壓里力值輛，在已容器夫表面韻用電顯阻應(yīng)啟變片愛測得芝環(huán)向拼應(yīng)變累，兔若已蛙知容傾器平腹均直寧徑D=5津00骨m捷m，壁擔(dān)厚=1截0畏mm，容說器材硬料的E=2獎10仇GP衫a，n=0和.2降5，試惰求:生1.漢導(dǎo)出肆容器甜橫截坡面和確縱截慮面上肥的正襲應(yīng)力列表達(dá)間式；廁2.怖計算課容器逝所受攜的內(nèi)神壓力肺。pppxs1smlDxABy8.揭6攜復(fù)女雜應(yīng)混力狀圖態(tài)的吉應(yīng)變恩能密僅度一、去應(yīng)變舉能和應(yīng)變碌能密蛙度1.腸應(yīng)變吐能彈性荷體由什于外德力在倡外力號作用興方向筆的位大移上輪作功劍而積啞蓄在俯彈性體中構(gòu)的能碎量。2.應(yīng)變笛能密賀度彈性峰體單肉位體時積內(nèi)瞧積蓄沃的應(yīng)夜變能贊。s微元壯功元比少能(1壁)單篇向應(yīng)惰力狀忽態(tài)下變的應(yīng)恒變能熄密度(2婆)三扣向應(yīng)招力狀析態(tài)下思的應(yīng)變燭能密濤度23

1等于傅所示榜陰影片部分琴面積二、體積財改變達(dá)能密董度和畸變框能密甚度23

1圖am圖bmm圖c3-m

1-m2-m1.體積陪改變樣能密嚴(yán)度：圖b鴿示單固元體炕受平今均應(yīng)晌力作澡用，蔥其體戒積應(yīng)秩變就坊是該蹦點處給的體積垃應(yīng)變脖，即攏與圖并所示闖單元津的體艦應(yīng)變準(zhǔn)相同嫌；且豬由于盯三個界主應(yīng)位力相夏等，洋變形終后形低狀與鍬原來假形狀鈴相似串，只劇有體產(chǎn)積的煙改變炕而無胃形狀蘇的改舊變，銜故全故部體乏應(yīng)變叮為體積匠改變蹄能密鳳度。1.體積吩改變強(qiáng)能密汗度2.哲畸變盞能密并度罰：圖c健所示吼單元蔑體體垂積應(yīng)僻變?yōu)闄M零，李其應(yīng)愚變就催是該洽點處配的畸眨變能揮密度跡:例：用能么量法才證明岔三個刮彈性稈常數(shù)籃間的葬關(guān)系四。1）純剪堵單元滑體的應(yīng)變宴能密北度為：2）純剪夕單元擁體應(yīng)變假能密較度的主兔應(yīng)力慰表示種為：txyA138.塵7鏟梁滿的主映應(yīng)力意及主柿應(yīng)力注跡線網(wǎng)的概蹦念12345F1F2q一、少梁內(nèi)嗎各點蛇的主酸應(yīng)力可見嶼：梁足內(nèi)任蜂一點罪的兩漂個非片零主宿應(yīng)力僻中，頭一個積為拉布應(yīng)力襲，另顏一個侵為壓阻應(yīng)力策，且償互相依垂直下。主判應(yīng)力鋼的方愉向沿型梁高受連續(xù)禮變化橋。梁內(nèi)朝各點調(diào)的主有應(yīng)力21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–4確5°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=康–9宇0°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O二、理平面科彎曲裳梁內(nèi)貢的主菜應(yīng)力釋跡線愉：在梁鐮的xy平面楊內(nèi)繪課出的代表示瓜各點血主應(yīng)傘力方架向兩刃組正疼交曲增線，押一組辭曲線源表示