三要素法暫態(tài)分析

三要素法暫態(tài)分析目前一頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)上式表明電阻將全部電能消耗掉，轉(zhuǎn)換成熱能。(1)電阻元件iu+_R圖中參考電壓和電流方向一致，根據(jù)歐姆定律得出u=RiR=ui電阻元件的參數(shù)電阻對電流有阻礙作用將u=Ri兩邊同乘以i

，并積分之，則得

R是耗能元件1.12.1電阻元件、電感元件和電容元件目前二頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)(安)A韋伯(Wb)亨利(H)電感(2)電感元件L=iN

在圖示u、i、e假定參考方向的前提下，當(dāng)通過線圈的磁通或i發(fā)生變化時，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為L稱為電感或自感。線圈的匝數(shù)越多，其電感越大；線圈單位電流中產(chǎn)生的磁通越大，電感也越大。L+–ui–eL+描述線圈通有電流時產(chǎn)生磁場、儲存磁場能量的性質(zhì)。iN+–u目前三頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)電壓電流關(guān)系L+–ui–eL+根據(jù)KVL可寫出u+eL=0或在直流穩(wěn)態(tài)時，電感相當(dāng)于短路。瞬時功率p>0，L把電能轉(zhuǎn)換為磁場能，吸收功率。p<0，L把磁場能轉(zhuǎn)換為電能，放出功率。儲存的磁場能

L

是儲能元件目前四頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)(伏)V庫侖(C)法拉(F)(3)電容元件電容元件的參數(shù)iu+–C1F=106F

1pF=1012F當(dāng)通過電容的電荷量或電壓發(fā)生變化時，則在電容中引起電流在直流穩(wěn)態(tài)時，I=0，電容隔直流。儲存的電場能

C

是儲能元件目前五頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)1.12.2儲能元件和換路定則電路中含有儲能元件(電感或電容)，在換路瞬間儲能元件的能量不能躍變，即換路引起電路工作狀態(tài)變化的各種因素。如：電路接通、斷開或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化等。電感元件的儲能不能躍變電容元件的儲能不能躍變iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)設(shè)

t=0為換路瞬間，而以t=0–

表示換路前的終了瞬間，t=0+

表示換路后的初始瞬間。換路定則用公式表示為：否則將使功率達(dá)到無窮大目前六頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)[例1]4R3+U6Vt=02SR1R24uCC+－+—iCiL

t=0-iLuL

確定電路中各電流與電壓的初始值。設(shè)開關(guān)

S閉合前L元件和C元件均未儲能。[解]

由t=0

的電路uC(0)=0iL(0)=0因此uC(0+)=0iL(0+)=0目前七頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)+UR1i+uLiLR2

R3uC+iCt=0+在t=0+

的電路中電容元件短路，電感元件開路，求出各初始值uL(0+)=R2iC(0+)=41V=4V目前八頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)結(jié)論(1)換路瞬間，uC、iL

不能躍變,但其它電量均可以躍變。(3)換路前,若uC(0-)0,換路瞬間(t=0+等效電路中),電容元件可用一理想電壓源替代,其電壓為uc(0+);換路前,若iL(0-)0,在t=0+等效電路中,電感元件可用一理想電流源替代，其電流為iL(0+)。(2)換路前,若儲能元件沒有儲能,換路瞬間(t=0+的等效電路中)，可視電容元件短路，電感元件開路。目前九頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)1.12.3RC

電路的暫態(tài)分析(1)零狀態(tài)響應(yīng)所謂RC

電路的零狀態(tài)，是指換路前電容元件未儲有能量，即uC(0-)=0。在此條件下，由電源激勵所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。(2)零輸入響應(yīng)所謂RC

電路的零輸入，是指無電源激勵，輸入信號為零。在此條件下，由電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)

所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。(3)全響應(yīng)所謂RC

電路的全響應(yīng)，是指電源激勵和電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)

均不為零時電路的響應(yīng)，也就是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)兩者的疊加。目前十頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)USCRt=0–

+12–

+uR–

+uCi在t

=

0

時將開關(guān)

S

合到

1

的位置根據(jù)

KVL，t≥

0

時電路的微分方程為

設(shè)：S在2位置時C已放電完畢(1)零狀態(tài)響應(yīng)目前十一頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)上式的通解有兩個部分，特解和補(bǔ)函數(shù)特解取電路的穩(wěn)態(tài)值，即補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程的通解，其形式為代入上式，得特征方程目前十二頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi其根為通解由于換路前電容元件未儲能，即

uC(0+)

=0，則A

=–U，于是得

uC

零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式目前十三頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)時間常數(shù)

物理意義當(dāng)t=時令:單位:s時間常數(shù)

決定電路暫態(tài)過程變化的快慢uC=U(1e1)=U(10.368)=0.632UtuCUOu0.632U零狀態(tài)響應(yīng)曲線所以時間常數(shù)等于電壓uC

增長到穩(wěn)態(tài)值

U

的63.2%所需的時間。目前十四頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)(2)零輸入響應(yīng)+–SRU21+–+–代入上式得換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)t=

0

時開關(guān)S1，電容C經(jīng)電阻R放電一階線性常系數(shù)齊次微分方程列

KVL方程實(shí)質(zhì)：RC電路的放電過程目前十五頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)特征方程RCp+1=0由初始值確定積分常數(shù)AuC(0+)=

uC(0)=U

uC()=0則A=U零輸入響應(yīng)表達(dá)式t≥0目前十六頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)uC零輸入響應(yīng)曲線OuUt時間常數(shù)=RC當(dāng)t=

時，uC=

36.8%

U電容電壓uC從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由RC

決定。

越大，曲線變化越慢，uC

達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需要的時間越長。目前十七頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)0.368UUtOuC設(shè)1<

2<

3目前十八頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)暫態(tài)時間理論上認(rèn)為t

、uC0

電路達(dá)穩(wěn)態(tài)工程上認(rèn)為t=(3~5)、uC0電容放電基本結(jié)束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時間而衰減當(dāng)t=5

時，過渡過程基本結(jié)束，uC

達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。目前十九頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)(3)全響應(yīng)uC

的變化規(guī)律

全響應(yīng)：電源激勵、儲能元件的初始能量均不為零時，電路中的響應(yīng)。根據(jù)疊加定理全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)uC(0)=U0SRU+_C+_iuC+_uRt≥0目前二十頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)穩(wěn)態(tài)分量零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)暫態(tài)分量結(jié)論2：全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量全響應(yīng)結(jié)論1：全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值初始值t≥0t≥0目前二十一頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)在直流電源激勵的情況下，一階線性電路微分方程解的通用表達(dá)式：式中，f(t)——一階電路中任一電壓、電流函數(shù)；f(0+)——初始值；f()——穩(wěn)態(tài)值；——時間常數(shù)。(三要素)

利用求三要素的方法求解暫態(tài)過程，稱為三要素法。一階電路都可以應(yīng)用三要素法求解，在求得f(0+)、f()和的基礎(chǔ)上，可直接寫出電路的響應(yīng)(電壓或電流)。目前二十二頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)一階電路暫態(tài)過程的求解方法一階電路僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,且由一階微分方程描述，稱為一階線性電路。求解方法經(jīng)典法：根據(jù)激勵(電源電壓或電流)，通過求解電路的微分方程得出電路的響應(yīng)(電壓和電流)。三要素法初始值穩(wěn)態(tài)值時間常數(shù)求(三要素)目前二十三頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)三要素法求解暫態(tài)過程的要點(diǎn)1)求初始值、穩(wěn)態(tài)值、時間常數(shù)；3)畫出暫態(tài)電路電壓、電流隨時間變化的曲線。2)將求得的三要素結(jié)果代入暫態(tài)過程通用表達(dá)式；終點(diǎn)f()起點(diǎn)f(0+)tf(t)O目前二十四頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)

求換路后電路中的電壓和電流，其中電容C視為開路,電感L視為短路，即求解直流電阻性電路中的電壓和電流。穩(wěn)態(tài)值f()的計算響應(yīng)中“三要素”的確定例：uC+t=0C10V5k1FS5k+t=03666mAS1H目前二十五頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)初始值f(0+)的計算

1)

由t=0

電路求uC(0)、iL(0)2)

根據(jù)換路定則求出3)

由t=0+

時的電路，求所需其他各量的u(0+)或i(0+)注意：在換路瞬間t=(0+)的等效電路中

1)若uC(0)=U00，電容元件用恒壓源代替，其值等于U0;若uC(0)=0，電容元件視為短路。

2)若iL(0)=I00電感元件用恒流源代替，其值等于I0;若iL(0)=0，電感元件視為開路。目前二十六頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)若不畫t=

(0+)的等效電路，則在所列t=

0+

時的方程中應(yīng)有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。時間常數(shù)的計算對于一階RC電路對于一階RL電路注意：

1)

對于簡單的一階電路，R0=R;

2)

對于較復(fù)雜的一階電路，R0

為換路后的電路除去電源和儲能元件后，在儲能元件兩端所求得的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。目前二十七頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)R0U0+CR0

R0

的計算類似于應(yīng)用戴維寧定理解題時計算電路等效電阻的方法。即從儲能元件兩端看進(jìn)去的等效電阻，如圖所示。R1R2R3R1U+t=0CR2R3S目前二十八頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0S

[例2]在下圖中，已知

U1

=

3

V，U2

=+6V，R1

=

1

k，R2

=

2

k，C

=3F，t

<

0

時電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求

t≥0時的uC(t)，并畫出其變化曲線。

[解]

先確定uC(0+)、uC()和時間常數(shù)

t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，意味著電容相當(dāng)于開路。目前二十九頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)

[例2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k，R2=2k，C=3F，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出其變化曲線。R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

[解]

先確定uC(0+)

uC()和時間常數(shù)

uC=42e500tVt≥0目前三十頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)

[例2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出其變化曲線。[解]–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1uC(0+)=2VuC()=4V=2msuC=42e500tVt≥0R2t/suC

/V402uC(t)變化曲線目前三十一頁\總數(shù)三十五頁\編于二十點(diǎn)1.12.4RL電路的暫態(tài)分析Rt=0–

+12–

+uR–

+uLiLSU在t

=

0

時將開關(guān)

S

合到

1

的位置上式的通解為根據(jù)KVL，t≥

0時電路的微分方程為

在t

=

0+

時，初始值

i(0+)

=

0，則。于是得式中

也具有時間的量綱，是RL電路的時間常數(shù)。這種電感無初始儲