彈塑性力學講義

第四章

彈性力學解題方法第四章彈性力學解題方法彈性力學問題的基本方程按位移求解彈性力學問題按應力求解彈性力學問題平面問題和應力函數逆解法和半逆解法邊界上的應力函數及導數平面問題的極坐標解法Prof,WangJX§4－1彈性力學問題的基本方程一、空間問題的基本方程平衡微分方程幾何方程Prof,WangJX物理方程（廣義虎克定律）偏量形式的廣義虎克定律Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

物理方程應力邊界條件位移邊界條件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

平衡微分方程二、平面問題的基本方程幾何方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

物理方程應力邊界條件位移邊界條件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

三、彈性力學問題的解法1.位移法以位移分量為基本未知量用位移表示應力和應變求出位移分量求出應變分量求出應力分量2.力法幾何方程物理方程以應力分量為基本未知量消去位移和應變分量求出應力分量求出應變分量求出位移分量物理方程幾何方程Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

四、彈性力學問題的基本類型2.位移的邊值問題1.力的邊值問題在物體的全部表面上給定面力的問題。在物體的全部表面上給定位移的問題。3.混合邊值問題在物體的一部分表面上給定面力，而在另一部分表面上給定位移的問題。位移法力法力法或位移法Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

§4－2按位移求解彈性力學問題基本方程（4－1）Prof,WangJXLaplace算子Lame'方程（4－2）（4－3）位移分量表示的平衡微分方程Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

邊界條件：應力邊界條件位移邊界條件（4－4）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

解題思路：（4－3）（4－4）幾何方程物理方程優(yōu)點：缺點：適用范圍廣，在數值解法中得到廣泛應用（有限元）。求解三個聯(lián)立的偏微分方程組，求解析解困難。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

空間軸對稱問題：幾何方程：平衡方程：物理方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

空間軸對稱問題：彈性方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

例題：半空間體，單位體積的質量為r

，在水平邊界上受均布壓力q，位移邊界條件為：求：位移分量和應力分量。解：qxzZ=ho體力：面力：位移：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

qxzZ=ho解：面力：位移：應力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

qxzZ=ho解：面力：位移：應力分量：邊界條件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

解：qxzZ=ho位移分量：應力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

§4－褲3膨按致應力夸求解窩彈性席力學萄問題基本詞方程相容澡方程搖（應惑變協(xié)擔調方糠程）得：Pr全of敗,尿Wa似ng榆J雨X（4青－8忠）用應筒力表種示的鑰相容先方程芒：體力國為常修量：（4若－9請）應力惹張量葉第一敘不變喬量為廊調和露函數遞。所有拆應力伶分量釣均為戶雙調廳和函漁數。Pr吸of帽,向Dr職.廉Wa圣ng作J博X:抗P己la捷st竹ic點it關y廉an季d翠El徐as佛ti扁ci御ty解題肥思路立：幾何方程物理方程優(yōu)點室：缺點陪：（1滑）當龍應力仁分量稿為坐母標的集線性秀函數教時，拍相容顧方程浸自然漠滿足止，可宇得到寧精確碰解答刪。（2醬）邊刃界條慘件簡罩單，竭容易悠求出懶解析應解，帽且應氏力表新達式寶較簡優(yōu)單。不能滔求解念位移武邊值慈問題列。位移皮單值滅條件裙：對于徹多連杜體，墳物體緞中任望意一勿點的振位移配必須巧是單白值的嶼。Pr遠of朝,停Dr足.嚼Wa醬ng把J討X:莊P悠la手st效ic哄it莖y敏an他d肆El家as炕ti軌ci仰ty§4－罷4床平奪面問瞧題和懼應力凳函數一、菊平面嬸應力啟問題羊和平歷面應霸變問狹題平面封應力陷問題今：平面得應變騾問題嘉：z＝忽xz＝zy＝0x,y,霞xy(x傳,y符)構件豆特征涼：受力敞特點仿：應力豪分量選：應變渣分量受：位移超分量毛：xyzxyz平行干于板犁面，結板面辣上無開載荷載荷平與應z打軸垂難直沿聞z融軸匙不變yx＝旺zx＝左0x,淡y,弓xy(x車,y顆);扁zz＝成yx＝蜜zx＝懇0x,帝y,毛xy(x埋,y臺)u澡(x趙,y熄),液v嗽(喇x,至y)芹;蘇wu裕(x像,y算),盼v很(針x,意y)跑;晚w=急0x,y,通xy(x片,y予)xz＝zy＝0,秧z＝m(x+y)Pr閱of抹,墊Wa碗ng挽J烏X平衡鞋方程二、割平面四問題背的基秤本方陜程幾何籮方程狀：物理方程應力淚邊界制條件平面嗚應變陶問題技：Pr悲of觸,低Dr漢.尺Wa佩ng超J內X:屠P膝la演st裕ic賺it妄y串an掙d畏El擔as治ti宮ci廉ty三、碰相容淹方程瘡和A漁ir玩y應次力函旁數相容創(chuàng)方程伶（應揉變協(xié)帳調方仔程）應力乏分量期表示櫻的相金容方銜程體力除為常搏量：Pr志of俱,孤Dr寧.孝Wa蜂ng文J沒X:賴P剖la結st丸ic景it寫y鳥an歉d尊El孫as轟ti概ci玻ty不含精材料灣常數床，只所要兩位物體胳具有等相同糊的形驚狀，贈受相難同面葵力，螞則不隔論何戶種材膝料、右何種巧平面著問題所，其量應力曬分布捎是相鎖同的推，數彈值亦聲相同肆。解秤答普渣遍性支。前兩菌式為陣常系綿數非距齊次揚線性請偏微杯分方早程，降其通長解等今于對施應的零齊次航通解革加上池一個漏特解嘴。特解挎：Pr道of尋,躁Dr銹.粉Wa倉ng覆J方X:陡P夜la片st放ic永it世y薪an菠d禽El紗as夕ti煎ci怪tyj敲(x,途y)聰:平面戴問題園的應睛力函剪數：竊不論j(x,鞋y)取何函數授，上慎式得撇到的酷應力吉分量旨恒滿食足平享衡微峰分方脅程。頑（Ai鏟ry映s至tr占es但s吊fu波nc塑ti川on）齊次警通解全解逝：Pr環(huán)of足,疏Dr訂.泄Wa謀ng肝J夜X:館P揭la蛾st資ic游it雨y點an島d坡El員as概ti托ci肥ty應力囑函數壞表示最的相挪容方窯程應力慮函數j(x,畝y)為雙作調和也函數峽。滿獎足22=忘0相當棋于滿寬足平蟲衡微昏分方跌程和濟變形陪協(xié)調瓜條件灑，即坡滿足鎖了平蠟面問踏題的增八個鉤基本周方程破。求出j(x,辟y)后，咳可根意據通椒解求抵出應瓜力分只量，桑如果旬在邊淺界上礎滿足艱應力施邊界卡條件疼，則薄得到代的就興是正壟確解幼答。求出知應力騰分量聚后，魂由物橫理方透程求徐應變似分量窗，再必由幾鐘何方蓮程求盞位移騰分量。討論臭：Pr迎of顆,暑Dr施.嫌Wa學ng示J漿X:環(huán)P仍la姻st甘ic針it桿y脹an味d暖El扒as箏ti費ci咬ty當體轎力為劇零時?。浩矫婺憫兎€(wěn)問題孔：22=絞0為四播階偏京微分妻方程商，直弊接求覺解比權較困國難，圓故常緩用逆解確法和半逆化解法。逆解庭法：設定j(x,恭y)滿足禿4=脊0半逆噴解法蕩：面力解決愛的問利題解決夜的問步題邊界樂形狀受力腔情況j(x,鉛y)4=叢0邊界撕條件正確哈解答設定邊界養(yǎng)條件Pr訪of敘,網Dr花.燃Wa個ng量J漁X:蒜P乖la慢st丙ic就it粒y回an抹d炮El章as壤ti省ci襪ty§4慈－5逆解拌法和半逆扁解法一、刻平面部問題艘的多棟項式邊解答璃－逆炸解法（不榮計體攻力）不論光彈性安體何筍種形吵狀，姜不論沙坐標蒸軸如濟何選健擇，掩線性圖應力抱函數杏對應沿于無逮面力諸、無站應力蘭的狀燃態(tài)。在應禮力函簽數中址加上?；驕p繁去一勺個線蚊性函車數并臟不影撤響應敞力。滿足22=萍0Pr諷of鄙,陣Wa豬ng耍J艘Xxy矩形私板在y方向襖受均放勻拉熔伸（配壓縮劈燕）。滿足22=溪0邊界綢條件惜：左右睬邊界識：上下午邊界洗：2a2aPr浮of踩,咸Dr保.剛Wa李ng椅J脖X:斷P案la愈st窗ic本it崗y哭an蜓d娘El井as購ti規(guī)ci集tyxy矩形茄板在x方向膽受均本勻拉雪伸（記壓縮叫）。滿足22=持0邊界槐條件爐：左右頓邊界或：上下齡邊界犁：2c2cPr貴of累,賴Dr寇.液Wa憶ng瓜J渣X:唐P廳la庭st越ic娘it洲y緒an勾d拘El勻as證ti獻ci之tyxy矩形既板在軋四葬周受講布剪盡應力煩作用澆。滿足22=捧0邊界呼條件劉：左右靈邊界計：上下材邊界井：bbbbPr耍of損,飯Dr痛.弊Wa笛ng慎J言X:善P核la任st電ic慮it羅y攀an隱d恢El墾as蘭ti赴ci檔ty矩形脫板受閱偏心昆拉力腳作用。滿足22=后0邊界絡條件座：左邊密界：上下掀邊界委：h1xyo右邊次界：lFFPr浸of私,緣瑞Dr碎.嚼Wa浴ng叛J食X:味P規(guī)la越st瓶ic皇it便y零an矩d詠El懂as均ti油ci康ty矩形迷板受逮純彎沿曲作崇用。滿足22=0左邊療界：上下盯邊界虧：lh1xyo右邊鞭界：lxyo同一的應力過函數鴉在不女同的廢坐標桑系中瓦解決臉的問墓題也恭不同臺。Pr結of致,任Dr偉.撇Wa皂ng糖J棕X:歪P委la赴st助ic昂it暗y堪an楚d想El霸as雞ti染ci幫ty滿足22=子0邊界抓條件藝：主邊艘界（瞧上下捆邊界白）：h1自然褲滿足扛。lxyo例：鎮(zhèn)單位賢厚度搭的矩慶形截至面梁鐵，受傻到單量位厚約度的穗力偶升矩M劉作用你，試杰求應陷力分飛量和犧位移僚分量次。MM應力類分量濃：Pr聞of錢,孩Dr屆.蓮Wa缸ng際J解X:蕩P惱la裳st歇ic爺it遞y紋an鏡d襖El店as蹈ti每ci渠ty靜力伸等效頭邊界伴條件誕（Sa第in肥t-Ve須na弦ntpr堆in雜ci悉pl陪e）：把物午體的襯一小節(jié)部分曬邊界惰上的回面力羊，改穗為具傭體分循布不顛同，蘆但靜孕力等頂效的風面力僅，只撈影響揀近處讀應力零分布竊，對益遠處膚影響鹽很小什。不滿咳足。h1次邊掛界：lxyoMM靜力岡等效瘦：主矢纏量相釋等、凡主矩菜相等哲。Pr史of般,就Dr較.肉Wa績ng躲J碗X:呢P委la己st貿ic絞it院y洞an脈d指El痕as橋ti洞ci福ty主矢棕量相汗等：不滿僵足。h1次邊昂界：lxyoMMydy主矩蕉相等頸：Pr裙of育,傷Dr劫.籮Wa育ng伶J吃X:盒P撐la傍st志ic液it驢y咳an蜻d綿El豬as均ti禍ci備ty應力幕分量戰(zhàn)：h1lxyoMMydy應變種分量倉：Pr洽of趟,倆Dr嶺.掌Wa古ng博J衫X:呼P牲la稼st基ic尚it料y襖an勢d脊El顛as矛ti念ci餅ty位移因分量魄：Pr哀of應,云Dr終.望Wa斷ng音J濃X:我P研l(wèi)a史st莖ic鴨it寒y掩an屈d蔑El劈燕as項ti兄ci接ty位移測分量察：位移銹邊界沫條件建：lxyoMlxyMMoPr耍of缺,酒Dr垃.載Wa閉ng俘J析X:啊P吼la割st鋤ic總it吼y文an耳d擁El蠢as部ti車ci掙tylxyMMo橫截臥面保駛持為稀平面詳－平海截面限假設引。曲率為公式樸。撓度路方程逆。Pr納of柜,猴Dr耳.讓Wa宵ng比J翁X:隆P災la熱st抬ic涂it敲y熱an璃d眼El我as帆ti耍ci馬ty逆解驚法解鉤題思躁路：滿足養(yǎng)4=射0確定璃待定伙常數應變跨分量邊界哪條件設定j(x,鼓y)位移晌分量Pr鄙of控,編Dr基.相Wa套ng名J閥X:雪P換la帝st租ic烏it丟y蜜an包d房誠El座as圈ti扇ci艙ty§4算－5逆解掘法和半逆急解法二、杠簡支虧梁受圣均布示載荷互－半壇逆解蹄法材料鈴力學楚已知裂解彈性伙體的往邊界英受力損情況量綱飛分析酬法j(x,與y)4=叢0應變滑分量設定鼻某一應力伍分量邊界譯條件其它該應力滴分量是否正確解答位移滲分量？Pr添of全,仿Wa圈ng洪J怨X4=蹤蝶0受力軋分析徒：面力腸在仆y闊方向坡有變悟化，例1別：單吃位厚兆度的抓矩形癢截面殖梁，按受到陷均布雪力作抵用，副試求怪應力房誠分量昨。解：臘（樂一）渾確定拒應力爐函數予：（不鐘計體疾力）h1lxyoqlqlqlPr滅of折,示Dr鏡.為Wa殃ng調J按X:吹P枯la樹st趟ic絮it安y世an棚d丹El闊as階ti撇ci壟tyPr盜of隱,睬Dr棉.災Wa提ng爸J帶X:企P揉l(xiāng)a友st追ic采it臺y鴨an譽d予El私as漆t(yī)i鎮(zhèn)ci水ty（二席）應骨力分起量：Pr糧of搬,贈Dr革.魚Wa沖ng比J概X:指P神la嬌st面ic辭it渾y挑an娘d涌El傷as頸ti雪ci塊ty（三柿）確者定待王定系麥數：h1lxyoqlqlql對稱股性：Pr留of鐵,使Dr曬.紅Wa棗ng顆J奶X:蛾P續(xù)la典st戒ic進it熔y核an毅d賣El曉as滑ti翠ci辯tyh1lxyoqlqlql邊界鵲條件士：Pr催of海,州Dr獄.倡Wa張ng崖J甲X:跨P繼la恩st潔ic瓜it單y肅an威d顫El舅as盒ti畜ci樂tyh1lxyoqlqlql應力救分量盤：Pr航of軟,婦Dr朗.烤Wa曬ng多J蝕X:遠P鐵la辟st夕ic翁it朋y立an蔬d鋤El棵as賣ti系ci史tyh1lxyoqlqlql應力誦分量霸：h=此2l用:d=27幻玉%h=壇l:d=6.殖7%2h意=l姨:d=1.籠7%sxsytxyPr毯of刻,混Dr啊.格Wa丟ng崇J村X:愧P友la烘st煎ic規(guī)it烏y線an蹤蝶d共El益as棄ti郵ci夫ty4=仗0受力患分析他：面力升在攪y謀方向感有變熟化，例2塌：單愉位厚仗度的毯矩形疾截面剝梁，德受到觀線傍性分向布力緊作用膛，試稅求應狡力分戒量。解：孫（工一）竟確定醬應力昆函數布：（不板計體翅力）h1xyoql/3qlql/6Pr圈of燃,妙Dr翠.礙Wa摩ng組J翼X:膚P扎la語st齒ic話it始y丟an令d毫El薄as濾ti饅ci汪tyPr肆of振,授Dr岡.廉Wa介ng園J勢X:異P快la欄st桶ic僑it托y哪an就d家El坑as堡ti蘋ci擠ty（二嫩）應銜力分疾量：xyoql/3qlql/6（三吵）邊臭界條凱件：Pr案of掌,汗Dr該.獄Wa征ng察J療X:潮P尋la良st鏈ic假it卡y湯an攀d卻El辣as尖ti磨ci渠tyxyoql/3qlql/6應力蚊分量溉：Pr恒of火,麗Dr療.蔥Wa成ng陶J鄭X:被P佳la模st恒ic忠it悟y稼an且d療El桃as數ti榴ci興ty4=慰0材料扯力學噴：例3叉：單再位厚鹿度的血懸臂竟矩形陡截面攔梁，橫受集酬中力大作用鍋，試塌求應悅力分牽量和金位移隱分量暈。解：悲（濫一）艇確定倘應力歐函數梅：（不調計體蜂力）2h1xyolPxPr弓of陳,角Dr焰.艘Wa場ng齡J原X:蘋P柄l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登it恩y冷an筆d針El蝴as屆ti脂ci仍ty六、板楔形野體在肥楔頂策和楔流邊受愚力問排題：（一塑）楔于頂受鈔集中王力單位模厚度華的楔前體，級在楔螞頂受艱單位鏈寬度別上的膊集中怠力P旅。OxybP半逆濟解法似（量歇綱分皮析法胞）qrPr鳥of蒙,脊Dr鬧.懶Wa同ng剝J真X:荒P描la西st紹ic五it駱y瓦an記d蚊El娃as按ti漸ci吩tyOxybPqr半逆顧解法殖（應店力函墻數及塑其導昌數的態(tài)力學忘意義）MNxyPr維of招,棚Dr趨.毅Wa雹ng論J成X:相P套la冤st賀ic擦it回y瘋an王d思El趁as餃ti遇ci透tyOxybPqrNM邊界含條件倒：OM敏N：Pr芳of盯,龍Dr商.材Wa扔ng畢J終X:極P豬la