正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布概述

6.2正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布6.2.1

正態(tài)分布6.2.3t分布(學生分布)6.2.4F分布6.2.2(卡方)分布6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結論6.2.6Excel實現(xiàn)第一頁，共四十五頁。

確定統(tǒng)計量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一.采用求隨機向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布.由于樣本容量一般不止2或3(甚至還可能是隨機的),故計算往往很復雜,有時還需要特殊技巧或特殊工具.

由于正態(tài)總體是最常見的總體,故本節(jié)介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言.第二頁，共四十五頁。6.2.1正態(tài)分布(Normaldistribution)則特別地,則若i.i.d.~若i.i.d.~第三頁，共四十五頁。上(雙)側

分位數(shù)的概念設X

為連續(xù)型隨機變量,其概率密度函數(shù)為f(x),為給定常數(shù),0<<1若則稱

x

為X

所服從的分布的上分位數(shù).如果

X的概率密度函數(shù)為偶函數(shù),則對于滿足

0<<1/2

的

,則稱

x/2為X

所服從的分布的雙側分位數(shù)

若第四頁，共四十五頁。標準正態(tài)分布的上分位數(shù)

zz?常用數(shù)字/2

-z/2=z1-/2/2

z/2?-z/2?第五頁，共四十五頁。6.2.2分布(Chisquaredr.v.)定義

設相互獨立,且都服從標準正態(tài)分布N(0,1),則n=1時,其密度函數(shù)為第六頁，共四十五頁。n=2

時,其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.第七頁，共四十五頁。一般地,其中，在x>0時收斂，稱為函數(shù)，具有性質的密度函數(shù)為自由度為

n的第八頁，共四十五頁。n=2n=3n=5n=10n=15

分布密度函數(shù)圖第九頁，共四十五頁。例如分布的性質20.05(10)?n=10()05.0307.18)10(307.18)10(2205.0=>=ccP第十頁，共四十五頁。相互獨立,證1設則第十一頁，共四十五頁。6.2.3t分布(Student分布)定義則T

所服從的分布稱為自由度為n

的t分布其密度函數(shù)為X,Y

相互獨立,設第十二頁，共四十五頁。t

分布的圖形(紅色的是標準正態(tài)分布)n=1n=20第十三頁，共四十五頁。t分布的性質1°fn(t)是偶函數(shù),2°t分布的上

分位數(shù)

t

與雙測

分位數(shù)

t/2

有表可查第十四頁，共四十五頁。n=10t-t??第十五頁，共四十五頁。t/2-t/2??/2/2第十六頁，共四十五頁。6.2.4F

分布(Fdistributionwithnandmdegrees)則F

所服從的分布稱為第一自由度為n

,第二自由度為m

的F分布,其密度函數(shù)為定義X,Y

相互獨立，設令第十七頁，共四十五頁。m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10第十八頁，共四十五頁。F分布的性質例如事實上,故但F(n,m)?19.5)5,4(05.0=F?)4,5(95.0=F第十九頁，共四十五頁。例1

證明證第二十頁，共四十五頁。證例2

證明：設令第二十一頁，共四十五頁。6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結論(Ⅰ)一個正態(tài)總體與相互獨立設總體的樣本為()，則(1)(2)第二十二頁，共四十五頁。(II)兩個正態(tài)總體設是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本它們相互獨立.

令第二十三頁，共四十五頁。則若則(3)第二十四頁，共四十五頁。設是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本,它們相互獨立.

則第二十五頁，共四十五頁。與相互獨立第二十六頁，共四十五頁。(4)第二十七頁，共四十五頁。例3

設總體大于70的概率不小于90%,則樣本容量

,為使樣本均值解設樣本容量為

n

,則故令查表得即所以取——.42第二十八頁，共四十五頁。例4

從正態(tài)總體中，抽取了

n=20的樣本(1)

求(2)

求第二十九頁，共四十五頁。解

(1)即故(P.386)第三十頁，共四十五頁。(2)故第三十一頁，共四十五頁。例5

設X與Y

相互獨立，X~N(0,16),Y~N(0,9),

X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分別是取自

X

與

Y

的簡單隨機樣本,求統(tǒng)計量所服從的分布.解第三十二頁，共四十五頁。從而第三十三頁，共四十五頁。例6

設總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c

使cY服從分布.解故因此第三十四頁，共四十五頁。例7

設是來自正態(tài)總體N(,2)的簡單隨機樣本,

是樣本均值,則服從自由度為n-1的t

分布的隨機變量為:第三十五頁，共四十五頁。故應選(B)解第三十六頁，共四十五頁。例8

在總體X～N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:(1)因為=2Φ(1.118)-1=0.7364解第三十七頁，共四十五頁。解=0.2923例8

在總體X～N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:第三十八頁，共四十五頁。解=0.4215例8

在總體X～N(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,…,X5,求下列概率:第三十九頁，共四十五頁。Step1在數(shù)據編輯窗口中，建立數(shù)據文件;Step2計算樣本均值——調用Average函數(shù)：Step3計算樣本方差——調用Var函數(shù);Step4計算樣本標準差——調用Stdev函數(shù).(1)利用Excel計算樣本均值、樣本方差、樣本標準差

6.2.6Excel實現(xiàn)第四十頁，共四十五頁。Step1計算標準正態(tài)分布的上側α分位數(shù)

Step2計算

的上側α分位數(shù)

Step3計算

的上側α分位數(shù)

Step4計算

的上側α分位數(shù)

(2)

利用Excel計算四大分布的分位數(shù)第四十一頁，共四十五頁。內容小結：1.

正態(tài)分布3.t分布(學生分布)4.F分布2.(卡方)分布6.Excel實現(xiàn)5.正態(tài)總體抽樣分布的某些結論第四十二頁，共四十五頁。思考題:(非正態(tài)總體的樣本均值分布問題)設總體X的分布未知，其期望為來自總體X

的樣本，則當n充分均已知，大時，其樣本均值服從什么分布？答案：即第四十三頁，共四十五頁。思考題2(2003年數(shù)學一考研試題選擇題)設隨機變量X～t(n)，n>1，，則()Y～(n).B.Y～(n-1).C.Y～F(n，1).D.Y～F(1，n).思考題3.(2001年數(shù)學一考研試題十二題)設總體X服從正態(tài)分布，(>0)，從該總體中抽取簡單隨機樣本，其樣本均值，求統(tǒng)計量的數(shù)學期望。第四十四頁，共四十五頁。內容總結6.2正態(tài)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布。6.2.1正態(tài)分布。6.2.4F分布。6.2.5正態(tài)總體抽樣分布的某些結論。6.2.6Excel實現(xiàn)。6.2.1正態(tài)分布(Normaldistribution)。上