黑龍江齊齊哈爾普高聯(lián)誼校2023年高三最后一考數(shù)學(xué)試題試卷

黑龍江齊齊哈爾普高聯(lián)誼校2023年高三最后一考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來，全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了，達(dá)到，中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是（）A．截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B．10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C．10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D．截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過2．如圖是計(jì)算值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．B．C．D．3．1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．4．設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件5．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，則該人年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為（）A．元 B．元 C．元 D．元6．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A． B．C． D．7．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的實(shí)軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．10．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．12．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為________.14．若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____15．若函數(shù)為偶函數(shù)，則________.16．在的展開式中的系數(shù)為，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積．19．（12分）為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).20．（12分）已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線Γ上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L，問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由．21．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上最小值.22．（10分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增，A錯(cuò)誤；全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯(cuò)誤；經(jīng)計(jì)算，10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量，全球累計(jì)裝機(jī)容量，占比為，選項(xiàng)D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，進(jìn)而可得判斷框內(nèi)的不等式．【詳解】因?yàn)樵摮绦驁D是計(jì)算值的一個(gè)程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，根據(jù)結(jié)果填寫判斷框，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時(shí)復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用，再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，得到年的就醫(yī)費(fèi)用，然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，所以年的就醫(yī)費(fèi)用元，而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人所以儲(chǔ)畜費(fèi)用：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值．【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)的斜率最小，此時(shí)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．7、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，，，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數(shù)列，設(shè)，，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.8、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，所以；當(dāng)軸時(shí)，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.9、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.10、C【解析】

討論當(dāng)時(shí)，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時(shí)，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由開口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則不恒成立，不符合題意，若時(shí)，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.11、D【解析】

通過取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，排除B和C；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.12、D【解析】

利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對數(shù)符號，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題，進(jìn)而求得的取值范圍。【詳解】由得，兩邊同除以，得到，，，設(shè)，，由函數(shù)在上遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。15、【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說明一次項(xiàng)系數(shù)為0，求得參數(shù)，將代入表達(dá)式即可求解【詳解】由為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以，，所以，故答案為：-5【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題16、2【解析】

首先求出的展開項(xiàng)中的系數(shù)，然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意可證得，，所以平面，則平面平面可證；（2）解法一：利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離；解法二：由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過點(diǎn)作的垂線，垂足，證明平面，計(jì)算出即可.【詳解】解法一：（1）依題意知，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，，，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱錐的體積.在中，，，得，由（1）知，平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積，得.解法二：（1）同解法一；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過點(diǎn)作的垂線，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，，在中，，，得.又，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段，進(jìn)行計(jì)算即可.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)椋允钦切?，所以，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19、（1）平均數(shù)為360，眾數(shù)為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)．從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）利用（1）（2）的結(jié)果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.（2）設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計(jì)甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元)由（2）估計(jì)乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題.20、（1）y2＝4x；；（2）直線NL恒過定點(diǎn)（﹣3，0），理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的方程，求得焦點(diǎn)F（，0），利用（2，2），表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因?yàn)锳（3，﹣2），B（3，﹣6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y2＝12，然后表示直線NL的方程為：y﹣y1（x），代入化簡求解.【詳解】（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（，0），滿足（2，2）的P的坐標(biāo)為（2，2），P在拋物線上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，直線MN的斜率kMN，則直線MN的方程為：y﹣y0（x），即y①，同理可得直線ML的方程整理可得y②，將A（3，﹣2），B（3，﹣6）分別代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直線kNL，則直線NL的方程為：y﹣y1（x），即yx，故yx，所以y（x+3），因此直線NL恒過定點(diǎn)（﹣3，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是【解