宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)配套習(xí)題的答案

u(c,l)c

（0

0 cyzk(h0l(FOCl

0zk(1)(hl)(1)10

0zk(hl)(1)(1)l0l(11nh(11代n0cyzk0

1 zkn1(1r)kzk1n1(1r)z(1)knw w01 1 1 rz 1 1 u(c,l)cc是消費(fèi)，l0。消費(fèi)者擁有一單位的時(shí)間稟賦和k0單位的yAk記w為市場的實(shí)際工資，r為資本的率。解：a. max[w(1l)(1r)k0]l對l1w1Akn1wn(1r)k(1d d (1)Ak wd

Ak1n1r

Akd

rkk 01A(1)k01 r r

(1)1l1n1A(1)k10

ycAkA(1)kA(1) w 0 cAk(10maxAk(1l)1 對l0(1)Ak(1l)01l1A(1)k101nA(1)k10

k0

k0y

c

A

(1)

k0 AA

(1) wu(c,l)lnclnlln這里，c是消費(fèi)；l是閑暇；g是；,0。消費(fèi)者擁有一單位的時(shí)y這里，y是產(chǎn)出，n是勞動投入，z0。假設(shè)通過向消費(fèi)者征收一個總額稅g是最優(yōu)的11，解釋之?，F(xiàn)在假設(shè)是一個“仁慈”的，它將選擇一個最優(yōu)的g。也就是說gg,0 cw(1l)maxln[w(1l)]lnllnl l11 w (wnw

cw1w競爭均衡的定義要求的預(yù)算要平衡gl(zg)

nzg

cz1n1lcgyyznyz1給定時(shí)，g0我們可以借助如下的社會計(jì)劃者最優(yōu)問題來求得最優(yōu)的

cgz(1maxln[z(1l)g]lnllnl z(1l)gll1g1 z (zgnzg，yzg，cz

1

1g求全導(dǎo)數(shù)，就可以得到結(jié)論：dn

z(1)dy

01dc

111

1。1：（回憶預(yù)算約束g必須成立因而，g的任何一個變化一定對應(yīng)著的一個相同變化：ddg）：意到，擠出是不完全的：因?yàn)?

1。1為了確定最優(yōu)水平的數(shù)量，在給定行為人對g變化的最優(yōu)反題（1）g的函數(shù)：cc(g和ll(g。這些函數(shù)告訴我們行為人的最優(yōu)選擇c和l是如何隨著g的變化而變化的。的maxlnc(g)lnl(g)lngzg (zg) maxln1lnz(1)lng z

z 1

z 求解（1）式可以得到最優(yōu)的水平g 1

3府通過向消費(fèi)者的勞動收入征收比例稅來為自己的進(jìn)行融資讓t代表稅率，因而的總收入等于tw(1l)，這里，w是實(shí)際工資。寫出的預(yù)算約束g，試求競爭均衡中的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。討論這一均衡是否g求解實(shí)現(xiàn)福利最大化的g的水平。這里的答案為什么與在題1中（1）的預(yù)算約束是等于收入gtw(1g,0時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問題可描述如下： cw(1l)(1maxln[w(1l)(1t)]lnllnlw(1t)

ll1cw(11wn1cgy(l，n1

1

，y

1

，c

1g0g0，競爭均衡分配將總是次優(yōu)的。dn0，dy0，dc

1maxlnc(g)lnl(g)lng這里，c(g和lg代表了競爭均衡的數(shù)量（我們已經(jīng)在（2）中求得。代入c(g)和l(g)的表達(dá)式，可以得到的最優(yōu)化問題 gln lngg1 1 glngg1 1

zg(1 求解（3）式可以得到最優(yōu)的水平g 1

（2府的水平更（因?yàn)?也就是說最優(yōu)水平的g在征總額稅時(shí)要比，征比例稅時(shí)來得大。因?yàn)?，在征比例稅時(shí)將對勞動供給和消費(fèi)需求產(chǎn)生一， t1tu(ct)c（1）.試推導(dǎo)出方程（2）.試求代表性消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合(ccb（3）.試求均衡的利率r

u(ctu(ct1

(11

1因?yàn)閡(ct)c2，所以u(c) c2，因而有 212c2c

(11cc2(1r)2 yc yb(1r)

1c1

y2y1(1 2(1r)[yy(1c by

y2y1(1 1b011 r 12y 1期記為e1；第二期記為e2。她對兩期消費(fèi)品的偏好可由如下的效用函數(shù)來表達(dá)：u(c1,c2)lnc1lnc2，其中，c1和c2分別是她在第一期和第二期的消費(fèi)；儲蓄s單位的物品，在第二期她只能得到(1 1.試寫出的最優(yōu)化問題（你應(yīng)該描述出選擇變量目標(biāo)函數(shù)和約束條件b.（當(dāng)然，你應(yīng)給把諸如e1、e2、、等參數(shù)看作c.假如現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一種可以減少老鼠偷吃的方法這會對最優(yōu)選擇生怎樣的影響？（無非是對的變化作一個比較靜態(tài)分析

c1,c2c1sc2e2(1b.構(gòu) 日函數(shù) c1

22e

sc2

11c11c(FOCc2

22

利用三個一階條件可求 方程c2(1s(1)e1c1c2

(1)e1(1)e1c.分別對

0(1)2(1)

e101s

e2(1) 0(1)2(1)2因?yàn)閷W(xué)會了防止老鼠偷吃的技術(shù)，因此，將下降。根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的符號，我k0c1,c2c1k0c2zf(k1 如果u(clncyzf(kzk k 1c 1cz k 10zf(kd)(1r)kd(1假設(shè)1zf(kd)1

r 110第五講tty0。試用日和動態(tài)規(guī)劃兩種方法推導(dǎo)出行為人的方程用行為人的方程和跨期預(yù)算約束條件求出最優(yōu)消費(fèi)路徑ttt ctAt1(1r)Aty,t

T(1

t1lnc(1r)Ayc c,A,

tt

tt1t這里，t0是時(shí)期t預(yù)算約束的日乘子。對于所有的t1,2,，關(guān)ctAt1tt0t1t0t(1r)t1(1r)AtyctAt1利用前兩個一階條件，可以得到跨 方程

ct

1(1r)

ctv(At)maxlnctv(At1 ctAt1(1r)At或1c1ct方程兩邊同時(shí)對At求導(dǎo)并應(yīng)用定理，有ctv(A)1ctt利用上式替代掉一階條件中的v(At1)，可以得到跨期方程1(1r) ct以如下的方式表 方程1(1r)

ct

ct

(1r)

t

(1我們可以看到，給定c1c2(1c3(1

[(1r)]21c4(11

[(1r)]311ct

t1,,2,1現(xiàn)在，我們需要從跨期預(yù)算約束中決定出c1A10這1 t1(1r)t t1(1r)t

ty1rt1 然后，運(yùn)用幾何級數(shù)求 ，有 1rtr tr 替代掉ct，我們可以求解出c1[(1r)]t1c1r t

1 ct11r1r rt c(11r) )c[(1r)]t1(11ry,t 注意。假如(1r1，那么，對于所有的t1,2,，有cty。在這一優(yōu)的消費(fèi)路徑是單調(diào)增加的。假如(1r1，那么，最優(yōu)消費(fèi)路徑是單調(diào)減少第六講經(jīng)濟(jì)增長模假定生產(chǎn)函數(shù)為－函數(shù)將ky和c表示為模型的參數(shù)s、n、g、和(b).k（a）k(t)sf(k)(ng可得穩(wěn)定狀態(tài)下的kk

1/(1 y

ngf(k)可 y

ng c(1s)可 c(1

(b)

ngf(kGR)ng 1/(1可 kGRng 1/(1（c）

k ng可 s(ng所

(ng) (ng假定對資本和勞動均按其邊際產(chǎn)品支付。用w表示F(K,AN)/N，r表示F(K,AN)/K。wAf(kkf(k產(chǎn)要素總收入等于總產(chǎn)量。也就是證明在規(guī)模不變的情形下，wNrKF(K,AN)。如果生產(chǎn)函數(shù)的具體形式為 型生產(chǎn)函數(shù)，也F(KANKAN)1收入（也即總產(chǎn)出）ANfK F(K,AN

ANw （a）AN2A[f(k)kf(kANfK F(K,AN

ANr ANf(k)1 AN fwNrKA[f(k)kf(k)]Nf(k)ANf(k)ANkf(k)f(k)ANf(k)YF(K,AN

F(K,AN)

K

K(AN)1

考慮不變替代彈性（CES）YK0且1證明：該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模不變的

1)/(AL)

]]f

f

0（a）F(K,AL)[(K)(1)/(AL)(1)/]/([K(1)/(AL)(1)/]/(F(K,Y 1

(1)/

(1)/(1)/

/(

AL

(1)/

AL(1)/

/(=AL

令kKyY

f(k)

(1)/

/(f(k) 11

/(

(1)/

[/(1

[(

1)/]

[(1)/=

(1)/

1/(

=

(1)/

(1)/

1/(= 1當(dāng)k0f(k 1

(1)/

[1/(

1

[(1)/f(k)1 1

(1)/

(2)/(1)

(12)/= 對所有的k0f(k)0

f(k)

1/(1當(dāng)11

k

f(k)limk

(1)/

1 k

(k)limk

當(dāng)1

(1)/

k

kk

k

(1)/

10設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為YKAL)R1，其中R為土地?cái)?shù)量。假設(shè)0010＋1KsYK、gA、LnL0（a）

sYK

sYK

YK(AL)R1

L (1 =gK(ngKgY KK KK

K K

Y[gK(n所

sYgK(ng)YYg =sYg

(ng)gK

K

sY K

gK所 gK(gK)(1)gK(ng即Kg即K

（非穩(wěn)定解和

(ng)g 1g

（穩(wěn)定解（b）

Yg

(n=(ng)(ng)1(ng) 1 定義1為土地的產(chǎn)出彈性（份額）

(n

(n

g

n

n(Y/

1

gn也 gg和nttt

t這里，01，Nt是人口，ct

0tN(1n)t0tN00YKN 這里，01，Yt是總產(chǎn)出，Kt。始資本存量是正的：K0。

(3).在第(2)g？解釋原因。tt tct,Kt1t

Nc KN1t t 0tN(1n)t0t預(yù)算約束方程兩邊同時(shí)除以Nt，可以構(gòu)建如下的方程 v(kt)maxtv(kt1

ct,kt1ct(1

t

tkt這里，kKt。因?yàn)椴淮?、外部性，或者市場失靈，社會計(jì)劃者 t v(kt)max

t

v(kt1kt1 求解右邊 方程，一階條件由下式給定t(1n)c1t

t

)c1 1n t v(k)k1c 聯(lián)合定理和一階條件可以得到方程c1k1c 1n

t

t

c,

k進(jìn)方程，可以求得t tkt t

1n 代平衡增長條件和kc

11n(1n)1n

sKt

Nt1ktNk

(1n)ktk

t sKt1(1n)(k)1g

0,

1,g與生產(chǎn)函數(shù)均與講義中的相同現(xiàn)在假設(shè)在某一期比如說t0時(shí)期宣布（她將在未來的某一期，比如說t1期開始將向行為人征收投資所得稅，稅率為。因此行為人的實(shí)際利率將成為r(t)(1)f(k(t))并且假設(shè) 試畫出t1在t1試畫出t1根據(jù)你對前三個問題的回答，你認(rèn)為在t0（1） c(t)(1)f(k(t)) f(k)nf(k)n1因?yàn)?1kk，故c0曲線將向左移動。對應(yīng)于k0的消費(fèi)水平由c(t)f(k(t))(n)k(t)給出，因?yàn)榘阉艑?shí)行但在t0時(shí)期就宣布政策了設(shè)想如果行為人在t0時(shí)期不作出反應(yīng)，等到t11EA(3)（4）實(shí)際上在宣布政策的t0時(shí)期行為人就會做出理性的反應(yīng)，適當(dāng)增加自己的消費(fèi)，也即人均消費(fèi)在t0E跳至B（此時(shí)的跳躍幅度會小于在t1時(shí)期再做出反應(yīng)的跳躍幅度，符合行為人平滑消費(fèi)的偏好，但要注意，因?yàn)榇藭r(shí)還沒有真正實(shí)行政策，因此，B方向運(yùn)動，直到在t1時(shí)期，經(jīng)濟(jì)達(dá)到新鞍點(diǎn)路徑上的D1，點(diǎn)上的政策開始實(shí)行，經(jīng)濟(jì)就沿著新的鞍點(diǎn)路徑收斂到新的穩(wěn)定狀態(tài)，AADBEk新新t新t新t新t考慮一個如中描述的連續(xù)時(shí)間下的新古典增長模型消費(fèi)者的效用函數(shù)（7.47初始加其一生勞動收入的現(xiàn)值（[7.51]式的右邊項(xiàng)。給定r、W和效用函數(shù)中的諸參數(shù)，試求效用最大化時(shí)的消費(fèi)c的路徑。解

t1

c(t

ertc(t)N(t)dtt

構(gòu)建日函 0

1

讓日函數(shù)對c(t)求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可以解得etc(t)ertN

對（4）c(t)r

（5）

rnc(t)c(0)e

代（6）式進(jìn)約束條件（2） rntertc(0)e t

N(t)N(0)ent，可以把（7）

(0)

1

(1[

dt

tt t

r dt

代（9）式進(jìn)（8）c(0)

(1)(rn)

N(0) 代（10）式進(jìn)（6）式，可以得到c(t

(1

e

曲線，從而如何影響平衡增長路徑上的c值和k折舊率人口增長率n c值和k徑上的c值和k值將變小。折舊率下降會使c0曲線向右移動，使k0曲線向上移動，因而平衡增長路徑上的c值和k值將變大。增長路徑上的c值和k值將變大。一些認(rèn)為之所以東亞國家的經(jīng)濟(jì)能實(shí)現(xiàn)快速增長是因?yàn)檫@些國家的OLGOLG（她們參加工作，工資為wt，儲蓄為st，消費(fèi)為c1t。當(dāng)他（她）們到了老年以后，消費(fèi)為c2t1（她）

c1t

我們把年輕行為人的數(shù)目標(biāo)準(zhǔn)化為1也即勞動供給為nt0.5yK05n0 Kt1wr現(xiàn)在假設(shè)勞動參與率永久性地上升到nt1yw和rw和r會發(fā)生怎樣的變化。（a）

maxUln(wtntst)0.9ln[(1rt1)stst

38111/r

K1/ 22 111/w

K1/ 22 t 利用 s可求得穩(wěn)定狀態(tài)下的t K

81

9r9w

9

76s9 19ttr0.5K1/ttw0.5K1/ t 利用 s可求得穩(wěn)定狀態(tài)下的t 9K

r9w

9

38降低rw一直到原有的水平。數(shù)型的，也即u(c1t,c2t1)lnc1tlnc2t1；也假定生產(chǎn)函數(shù)是-型，的貢獻(xiàn)dt不變因而老年人從社會養(yǎng)老制度中所獲得收益bt減少的情形現(xiàn)在，假設(shè)要減少老年人的收益受到了政治阻力不得不通過提高年輕人的貢獻(xiàn)dt來維持老年人的收益bt，解：因?yàn)?/p>

(1n)d，而現(xiàn)在要求b

b，因而，d

c2t

t

t1ttcspw tt t

1c2t

)sp (1rt1)wt1nsp t s[w(k),r(k

),b,ntt

t

sps[w(k),

),b,nt

t

t f(kt)rtf(kt)ktf(kt)t

t(1)(1n)2t人會知道自己的養(yǎng) 貢獻(xiàn)一定會增加而因?yàn)閠0因此在工資和利dkt1

skt11ntsrfkt1考慮如下一個代際交疊增長模型。我們用2

來表示時(shí)間。在時(shí)期

個生活兩期的消費(fèi)者出生，這里其中

n2

品假定存在一種技術(shù)從而能把t期的1單位消