第章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

第14章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算14.1概述14.2虛功原理和單位荷載法14.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算14.4圖乘法14.5靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移14.6幾個互等定理第14章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算學習目標通過本章的學習，熟悉虛功原理和單位荷載法；掌握圖乘法；能夠進行靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算。14.1.1桿系結(jié)構(gòu)的位移（1）結(jié)構(gòu)位移的定義

結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點的位置將會移動，桿件的橫截面會轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。

14.1概述A點的線位移水平線位移豎向線位移截面A的角位移

（2）位移的分類位移線位移：截面形心的直線移動距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角位移相對位移絕對位移廣義位移

除荷載外，溫度改變、支座移動、材料收縮、制造誤差等因素，也將會引起位移

（3）引起位移產(chǎn)生的原因14.1.2

計算位移的目的（１）驗算結(jié)構(gòu)剛度，即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值。（２）為超靜定結(jié)構(gòu)的計算打下基礎(chǔ)。在計算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，除利用靜力平衡條件外，還需考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需要計算結(jié)構(gòu)的位移。（３）在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護過程中，有時需要預先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進行位移計算。14.2虛功原理和單位荷載法14.2.1

變形體的虛功原理

功是力對物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度。

力在自身引起的位移上所作的功稱為實功。力Fp1在位移

11上作的實功當靜力加載時，即：FP1由0增加至FP1

11

由0增加至

11W11=FP111

虛功是力在其他因素引起的位移上作的

特點是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變梁彎曲后，再在點2處加靜力荷載FP2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移

12為力FP2引起的FP1的作用點沿FP1方向的位移。力FP1在位移

12

上作了功，為虛功，大小為

W12=FP112

在小變形條件下，12由圖示的原始形狀、尺寸計算，并稱此狀態(tài)為虛功計算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)，F(xiàn)P1單獨作用的狀態(tài)為虛功計算的力狀態(tài)。

當力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。虛功原理：任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。14.2.2

單位荷載法（1）結(jié)構(gòu)位移定義

定義：應(yīng)用虛功原理，通過加單位荷載求實際位移的方法。（2）計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式K+RiCi=++式中，

=1則

K=d++NQ—

RiCi

對于實際狀態(tài)，微段的變形與內(nèi)力的關(guān)系如右圖所示。經(jīng)進一步推導，可得

式中，按等內(nèi)力、等截面分段積分求和。設(shè)虛擬狀態(tài)，用上式計算結(jié)構(gòu)指定位移的方法稱為單位荷載法。14.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下

的位移計算14.3.1靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1）靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式

如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動引起的剛體位移Ci＝0，位移公式則為對于曲桿（曲率半徑r），荷載作用下的位移公式為彎矩的影響軸力的影響＋剪力的影響曲率的影響圖a所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比r/h=10,彈性模量之比E/G=2.5，曲桿B端形心在豎向荷載FP作用下的豎向線位移由對應(yīng)于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：

設(shè)虛擬狀態(tài)（圖b）計算虛內(nèi)力，用截面法計算實際狀態(tài)的內(nèi)力，代人位移公式運算，并注意矩形截面的不均勻系數(shù)=1.2，計算結(jié)果為式中彎矩、軸力、剪力、曲率對應(yīng)的四部分之比M

:

N:Q:

r=1200:1:3:2

=（2）各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的，位移計算公式中取第一項便具有足夠的工程精度（2）桁架各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式中的第二項并簡化為實用的形式（3篩）組壤合結(jié)幫構(gòu)既有儲梁式魂桿，柄又有縫鏈桿隙，取獸用公播式中外的前料兩項（4僅）拱一般冷計軸隙力、碑彎矩煌的影硬響，艷剪切銹變形牙的影狼響忽衛(wèi)略不最計（3狀）虛擬節(jié)狀態(tài)煎的選貪取欲求鼻結(jié)構(gòu)甜在荷裳載作五用下稼的指開定位導移，手須取迎相應(yīng)獸的虛擬悄狀態(tài)。即輝取同滾一結(jié)暢構(gòu)，冶在要稅求位萬移的蹦地方動，沿愚著要幕求位司移的累方位屢虛加季單位脖荷載眼：1）負欲求習一點留的線位摘移，加脅一個濾單位職集中潤力2）葛欲求串一處況的角位決移，加始一個困單位亮集中海力偶3）摟欲求牙兩點去的相對盲線位愁移，在耳兩點巷的連育線上筋加一駛對指狼向相險反的紀單位墾集中腫力4）點欲求哭兩處銅的相對綠角位富移，加壺一對紗指向季相反妖的單罷位集蘿中力告偶5）翻欲求垂桁架全某桿胸的角位李移在泊桿的蠢兩端乎加一慌對平佩行、疤反向袖的集梳中力動，兩餅力形祖成單舌位力臣偶。力釀偶臂費為d史，持每一付力的頓大小托為1趨/d力和比力偶志統(tǒng)稱廣為廣納義力算，單位黃廣義惠力用=1表示線位股移和匆角位屆移統(tǒng)坡稱廣義另位移，用羽⊿表留示單位王廣義標力有健截然漸相反碧的兩卷種設(shè)向向，蔑計算溫出的頭廣義寸位移燦則有于正負咐之分抬：正值禿表示川廣義遵位移知的方爛向與匯廣義劇力所薯設(shè)的輔指向坑相同負值療表示救廣義陰位移獵的方肅向與破廣義節(jié)力所支設(shè)的候指向卻相反計算誰步驟那為（1性）設(shè)貴虛擬渠狀態(tài)賤；（2崗）計畝算,FNP;（3祥）用盞桁架膛的位費移計尸算公循式計桌算位表移?！纠?否4-1】圖示寺桁架蘿各桿狐的E找A相叨等，弦求C純結(jié)激點的箭豎向主位移vc14乞.3渣.2嬸靜院定桁果架的掛位移晚計算【解】（1里）設(shè)先虛擬禍狀態(tài)陜（如逼上圖判b所貌示）（2裙）計允算N和FNP（標于駝上圖即b掙.a旨）（3炸）代趨公式紅求C槳點的終豎向都位移【例1兇4-2燥】圖示蹄鋼桁址架，甚圖中手括號芳內(nèi)數(shù)隨值為凡桿件雞橫截振面面御積（餐單位即cm至2欲）。母許可擋撓度總與跨副長的液比值，試校企核桁程架的銜剛度既?！窘狻繉ΨQ沙簡支初桁架衡在對桶稱荷粒載作姑用下毅，最張大撓榨度發(fā)薦生在看桁架樹的對悄稱面預處。須計削算結(jié)丹點3笨的豎勿向位坦移，驢然后煮進行候剛度厲校核喊。1）棋建立鑰虛擬拴狀態(tài)耕（如坦圖b股所羨示）2）計竄算N和FNP，并磁標于們圖b填、a士上3）杜求3稀點的劈燕豎向普位移次，進謀行剛屯度校飲核計算猜半個升桁架匯的，列障表如治下:桿件編號/mmA/mm2/(1/mm)FNP/NN上弦6-76000100000.6-750000-0.75337500下弦1-312000100001.2+600000+0.375270000斜桿1-610000125000.8-1000000-0.625500000斜桿3-61000050002250000+0.625312500豎桿2-600

豎桿3-7001420000根據(jù)專上表優(yōu)，得<所以煙，桁貴架滿掉足剛靜度條壘件（1）梁的胞位移撓度押：橫截盼面形煙心在悲垂直莊于軸竹線方央向的亞線位右移用w蘇表甲示，規(guī)定焰w勝向下蛋為正年。轉(zhuǎn)角狼：橫截遙面的辣角位碗移，規(guī)偏定順孫時針考轉(zhuǎn)為衰正14蛋.3巨.3扯梁有的位圾移及桐剛度寶校核在工才程設(shè)槐計手刮冊中蘇列有熔常見亭梁的天位移旗的計扯算結(jié)哪果（病如表豈11冒.1響所示榴），曬可供秤計算眼時查殖用。表1攔1.繼1傻梁的扎撓度雨與轉(zhuǎn)跨角公擺式荷載類型轉(zhuǎn)角最大撓度1.懸臂梁集中荷載作用在自由端2.懸臂梁彎曲力偶作用在自由端續(xù)表時3.懸臂梁均勻分布荷載作用在梁上4.簡支梁集中荷載作用跨中位置上－時--（在處）5簡支梁均勻分布荷載作用在梁上6簡支梁彎曲力偶作用在梁的一端續(xù)表-（2）梁的儀剛度社校核梁的蚊位移誕過大拿，則版不能架正常盤工作對于結(jié)梁的底撓度皺，其醫(yī)許可嗎值以疫許可暖的撓拆度與布梁跨騾長之狼比為標沖準在工壺程上下，吊丘車梁拍的＝1/撤60純0鐵路不鋼桁座梁的瓜＝想1/奔90蹈0梁的禿剛度伴條件批為:【例1善4-3】圖示誰簡支妥梁由榆工字犬鋼制鼻成，辟跨功度中插點處皺承史受集漠中載攀荷Fp。已知Fp=4帶0K墨N，仗跨度=3倡m，許貝用應(yīng)糟力=1苦60舅MP畫a，許銀用撓字度[w搏]=/5稀00，彈性模量E=鐵2×105MP溜a，試檢選擇蝦工字代鋼的改型號距?！窘狻浚?鑼）按獵強度悄條件傻選擇凍工字朋鋼型其號梁的原最大上彎矩泳為：＝按彎劫曲正料應(yīng)力容強度探條件諒選截葉面查型柳鋼表絲式選用錫20考a工語字鋼杏,其怪彎曲新截面栽系數(shù)蔬為2惕37屆cm哲3，郵慣性騰矩I餅=2厭37訓0c弱m4（2鉆）校僅核梁似的剛沉度=4來.7分5m尼m<痕[]=梁的毒剛度碰足夠所以淋，選渣用2第0a將工字恭鋼（3）提高攤梁抗今彎剛怕度的員措施梁的外撓度滴和轉(zhuǎn)滲角與裙梁的抗彎瘋剛度粗EI、梁的貴跨度慮L情、荷趨載作用慎情況筍有關(guān)校，那雙么，篇要提澆高梁忌的抗炒彎剛經(jīng)度可辮以采熊取以推下措渠施：增大威梁的套抗彎擁剛度捧EI增大嬸梁的脾EI禿值主鑒要是晉設(shè)法荒增大舍梁截齡面的哨慣性除矩I亦值井，一箭般不嗓采用而增大河E咱值的紗方法披。在截蜘面面橫積不扣變的仁情況耍下，月采用津合理留的截蕩面形畏狀，僻可提錦高慣遷性矩圾I椅。（2喂）減漢小梁杯的跨緣瑞度L梁的冠變形喊與其呼跨度水的n蒸次冪圍成正已比。語設(shè)法榜減小駛梁的蔑跨度侄L袋，將劃有效蓄地減禽小梁示的變叛形，系從而家提高船其剛休度。紅在結(jié)緒構(gòu)構(gòu)匙造允兆許的奪情況圣下，輔可采刺用兩汁種辦勢法減厭小L計值閃：①增虜加中碰間支臺座而②兩始端支捕座內(nèi)匪移如圖忽所示厭，將疾簡支饑梁的楊支座拘向中華間移炒動而擋變成喪外伸被梁，蠅一方橫面減小謀了梁燥的跨寨度，從共而減澡小梁弟跨中銜的最估大撓竿度；鍬另一鉤方面率在梁外摧伸部膏分的久荷載堂作用下，做使梁揪跨中僻產(chǎn)生浸向上分的撓另度（孤圖c魯），廉從而缺使梁企中段逐在荷餐載作奪用下河產(chǎn)生備的向鉤下的業(yè)撓度杰被抵隔消一示部分版，減雁小了困梁跨輩中的蠢最大障撓度勉值。(3磨)武改善稱荷載孝的作埋用情態(tài)況在結(jié)蜜構(gòu)允戀許的煉情況捎下，緣瑞合理茂地調(diào)煙整荷冊載的頑位置歉及分少布情胞況，擔以降禁低彎量矩，喪從而芳減小財梁的斥變形義，提堤高其浩剛度煙。如蒙圖所臂示，亮將集中袍力分獲散作杯用，刃甚至背改為句分布緣瑞荷載啦，則陳彎矩劑降低技，從猾而梁糾的變針形減晉小，澆剛度帥提高勒。（1）圖乘喉法的侍適用嫁條件剩：（1菊）桿紹段的文軸線逆為直溉線（2括）桿艇段的朝彎曲常剛度癥EI軟為常倍數(shù)直梁脊和剛故架的攀位移矛公式伍則為(3光)帳MP圖和圖中患至少驚有一耗個直些線圖燃形14封.4加圖敘乘磚法14捎.4閣.1龜圖洞乘法吼原理（２）圖乘嫌法原串理圖乘琴法求謎位移巴的一嚴般表蹦達式鍋為注意寶：[1靈].靠應(yīng)壁取自但直線昨圖中[2饅].疾若客與在桿誘件的賣同側(cè)耐,取正和值;夏反之些,取稼負值[3鬼].雁如蠻圖形竊較復萬雜，煌可分奸解為驕簡單第圖形蕩.（3）圖乘城法的貸步驟(1內(nèi)).帆設(shè)虛爭擬狀映態(tài)；(2匹).甚畫圖。圖；(3瞞).傻圖乘掩求位吼移下面公介紹崇幾個蓋規(guī)則炕圖形醉的面齡積和炎形心各位置（4）圖形療的分歸解當圖們形的盞面積障和形今心不靈便確渴定時次，可昨以將濾其分呈解成塌幾個狡簡單蝴的圖列形，跑分別單與另風一圖欣形相陡應(yīng)的怠縱坐碑標相挽乘。梯-淚梯同算側(cè)組蝕合：梯-撥梯同竹側(cè)組會合：梯-喜梯異氣側(cè)組事合由區(qū)斤段疊清加法計作的亦彎矩凝圖艷，其掙彎矩針圖可幟以看沙成一展個梯哨形和表一個逮規(guī)則透拋物秒線圖陡形的騰疊加貧。曲-瓶折組塞合階梯程形截喊面桿下面沸舉例瓣應(yīng)用糞圖乘畏法求勺直梁斗和剛蒼架的文位移【例1兼4-4】跡試懶求圖嘗a所欄示外鉗伸梁毫C點糕的豎伙向位聽移CV。梁鴿的EI襪=常紡數(shù)14侍.4質(zhì).2悠圖乘消法計播算直印梁和殺剛架悲的位耀移【解】MP、圖分言別如牧圖討(b孕).燦(c刪)所科示。BC廟段房誠的M掠P圖廈是標汽準二吳次拋頂物線磁；AB牲段的金MP余圖較貝復雜僻，但可技將其徑分解停為一宋個三驕角形以和一候個標元準二識次拋鼻物線拍圖形譜。由圖作乘法耽得代入保以上皆數(shù)據(jù)臂,于蜂是【例1非4-2瘡】志試求備圖a革所示舌伸臂車梁C跟點的遲豎向答位移攪c刷v茅。設(shè)EI陸=【解】荷載犁彎矩宏圖和住單位喝彎矩失圖如某圖鋼b鎮(zhèn)c所刊示。在A使B段男,監(jiān)MP嘆和圖均垮是三仆角形濟；在B場C段慢，M對P圖可看父作是澤由B曾.C多端食的彎點矩豎姐標所祥連成瘋的三句角形與相絲式應(yīng)簡辛支梁扇在均恢布荷講載作釋用下抱的標轟準拋描物線圖[蜻即圖殊b中碑虛線技與曲至線之繩間包丸含的券面積筒疊加借而成春。將上惕述各陳部分汗分別閘圖乘寇再疊等加，眠即得【例1蜻4-6】試求頃圖赤(a狂)所章示剛績架結(jié)初點B便的水伸平BH。位移設(shè)各狡桿為自矩形光截面羅，截眾面尺膽寸為b掉xh凡，慣蒜性矩l=,E為常外數(shù)，陰只考慮毒彎矩典變形寒的影陜響?！窘狻浚合茸鱾兂鯩P圖和圖,分別前如圖(b剛)羅(c皆)所示鄰。應(yīng)用騙圖乘診法求巷得結(jié)文點B枝的水些平位彩移為盞：靜定牛結(jié)構(gòu)籌由于握支座下移動啄并不價產(chǎn)生潑內(nèi)力區(qū)也無態(tài)變形翠，只揮發(fā)生刪剛體宮位移捷。如圖耕a垂所示婚靜定喝結(jié)構(gòu)磚,其么支座發(fā)生牽水平驚位移延C1戲、扎豎向蛇位移潮C2孫和逼轉(zhuǎn)角的C3肺，現(xiàn)要偶求由鋪此引麥起的冬任一透點沿晃任一晌方向持的位阿移，旦例如攻求k革點豎振向位存移K。14配.5幸靜甲定結(jié)瘦構(gòu)由鄙于支鍬座位牲移殿所引易起的嚼位移這種嫁位移搬仍用臥虛功壁原理練來計占算。西由位附移計圣算的辣一般言公式因為暈從實筆際狀趟態(tài)中甚取出師的微甚段d英s的芬變形備為d=d哨u=于是榮上式淺可簡隙化為K=-Ci－這就驅(qū)是靜沃定結(jié)汁構(gòu)在壇支座印位移溜時的伐位移徐計算狐公式贈。式中為虛瞞擬狀須態(tài)圖況b的域支座辦反力俊，Ci甩為實改際狀因態(tài)的鑰支座滴位移仰，Ci斥為反袍力虛蛇功。當與實檔際支剛座位次移C刑i糊的方刃向一致時雕其乘旱積取僅正，擱相反飛時取負。此外璃，上式碧右邊死前面奮還有一裳個負標號，輝不可始漏掉?！纠?朽4-7】圖嗓(a紛)所址示靜窮定剛造架，旋若支奮架A配發(fā)生喉圖示排的位尿移:a醋=1稼.0岸cm思,b捏=1烤.5冊cm.cH、豎無向位狗移Cv。試求扇C點么的水抹平位宵移【解】：在C甩點采處分耳別加胳一水籠平和北豎向咱的單功位力四，求闊出其惑支座搭反力纖如圖能(旗b)直(劈燕c)偷所會示。由公刺式－K=-Ci得：cH=-匆(1蜂×1強.0堡-1描×1穴.5滾)=鄰0.紅5c葉mcv=-養(yǎng)1.偷5×怨1=剝-1才.5龜cm圖示抄結(jié)構(gòu)識的兩斗種狀集態(tài)，層分別掃作用克FP1和FP2，稱之患為第浸一狀院態(tài)和濤第二債狀態(tài)四。14歇.6駝幾個芒互等企定理14跟.6字.1涼功互廊等定碧理虛功姐W12為虛功杰W嚼21辱為比較御，得W12=W21即一般贏形式妙為因此那得到疾功的謠互等悶定理纏：第一拆狀態(tài)胞的外潤力在霸第二對狀態(tài)棄的相站應(yīng)位訓移上誓所作圓的外仆力虛領(lǐng)功，維等于都第二盞狀態(tài)班的外泡力在度第一障狀態(tài)灘的相西應(yīng)位深移上宵所作精的外橡力虛販功。條件捐：在囑結(jié)構(gòu)旦的兩守種狀衡態(tài)中漠都只作鍬用一披個嫂荷載血，餡且為遲單位凳荷載姐。單位婦荷載盜所引霜起的