ch離散數(shù)學第十一章群和環(huán)習題答案

設σ,τ是5元置換,且

(1)將置換表示成循換的積

σ=(12)(345)

τ=(13524)(2)計算στ,τσ,σ-1,τ-1,σ-1τσ

設G={a+bi|a,b∈Z},i為虛數(shù)單位,即i2=-1.驗證G關(guān)于復數(shù)加法構(gòu)成群。復數(shù)加法在G上封閉,有結(jié)合律,單位元為0=0+0i,a+bi的逆元為-a-bi.設A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定義六個函數(shù)如下：

f1(x)=x,

f2(x)=x-1,

f3(x)=1-x,

f4(x)=(1-x)-1,

f5(x)=(x-1)x-1,

f6(x)=x(x-1)-1

令F為這六個函數(shù)構(gòu)成的集合,運算為函數(shù)的復合運算。

(1)給出運算的運算表。

(2)驗證<F,>是一個群。

解：（2）易見封閉性滿足，函數(shù)合成滿足結(jié)合律,單位元是f1,

f1-1=f1,f2-1=f2,f3-1=f3,f4-1=f5,f5-1=f4,f6-1=f6.設G為群,若x∈G有x2=e,證明G為交換群。證明：任取G中元素a,b,由于a,b為二階元(周期為2)，a=a-1,b=b-1,從而

ab=a-1b-1=(ba)-1=ba證明4階群必含2階元。證明：設G為4階群，若G中含有4階元a,那么a2是2階元；若G中不含4階元，根據(jù)拉格朗日定理，G中元素的階只能是2或1，而G不是平凡群，必有非單位元存在，這些非單位元就是2階元。設f是群G1到G2的同構(gòu),證明f-1是G2到G1的同構(gòu)。證明：易見f-1為G2到G1的雙射函數(shù)。

任取G2中的元素x,y,存在G1中元素a,b使得f(a)=x,f(b)=y.因此，

f-1(xy)=f-1(f(a)f(b))=f-1(f(ab))=ab=f-1(x)f-1(y)

從而證明了f-1為同構(gòu)。

設G=(a)是15階循環(huán)群。

(1)求出G的所有的生成元。

(2)求出G的所有子群。

（1）生成元:a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14

（2）子群:(a),(a3)={e,a3,a6,a9,a12},(a5)={e,a5,a10},G判斷下列集合和給定運算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域A={a+bi|a,b∈Q},其中i2=-1,運算為復數(shù)加法和乘法。

是環(huán)，是整環(huán)，也是域。A={2z+1|z∈Z},運算為實數(shù)加法和乘法。不是環(huán)，因為關(guān)于加法不封閉。A={2z|z∈Z},運算為實數(shù)加法和乘法。是環(huán)，不是整環(huán)和域，因為乘法沒有么元。A={x|x≥0∧x∈Z},運算為實數(shù)加法和乘法。不是環(huán)，因為正整數(shù)關(guān)于加法的負元不存在，因此A關(guān)于加法不構(gòu)成群。A={a+b|a,b∈Q},運算為實數(shù)加法和乘法。不是環(huán)，因為關(guān)于乘法不封閉。判斷下面偏序集哪些是格。(1),(3),(6)是格。(2)中的{e,d}沒有最大下界。(4)中的{d,e}沒有最大下界。(5)中的{a,b}沒有最大下界。如果(1)(3)(6)格是有補格，求每個元素的補元。（1）a與d互補；b,c沒有補元。

（3）a與f互補；b的補元為c,d；c的補元為b,e；d的補元為b,e；e的補元為c,d.

(6)a與f互補；b的補元為e；c和d沒有補元；e的補元為b.說明(1)(3)(6)格是不是分配格、有補格。（1）是分配格，不是有補格。

（3）不是分配格，不是布爾格

(6)是分配格，不是有補格。下列各集合對于整除關(guān)系都構(gòu)成偏序集,判斷哪些偏序集是格。

(1)L={1,2,3,4,5}

(2)L={1,2,3,6,12}

(3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

(4)L={1,2,22,...,2n},n∈Z+(1)不是格,其他都是。對以下各小題給定的集合和運算，判斷它們是哪一類代數(shù)系統(tǒng)(半群,含幺半群,群,環(huán),域,格,布爾代數(shù)),并說明理由。

(1)S1={0，1,-1}，運算為普通加法和乘法。不是代數(shù)系統(tǒng)，對于加法不封閉。

對以下各小題給定的集合和運算，判斷它們是哪一類代數(shù)系統(tǒng)(半群,含幺半群,群,環(huán),域,格,布爾代數(shù)),并說明理由。

(2)S={a1,a2,...,an},ai,aj∈S,ai*aj=ai.這里的n是給定的正整數(shù),且n≥2.

半群，運算封閉，有結(jié)合律，沒有單位元。

對以下各小題給定的集合和運算，判斷它們是哪一類代數(shù)系統(tǒng)(半群,含幺半群,群,環(huán),域,格,布爾代數(shù)),并說明理由。

(3)S3={0,1},*為普通乘法。

半群與含幺半群，乘法封閉，有結(jié)合律，單位元是1，但是0沒有逆元。

對以不下各嬌小題笛給定顯的集激合和粱運算紋，判脹斷它縫們是研哪一澤類代福數(shù)系程統(tǒng)(半群,含幺岔半群,群,環(huán),域,格,布爾壇代數(shù)),并說節(jié)明理食由。(4役)栗S4={扒1,臺2,習5,捆7,涼10緩,1灣4,益35壁,7于0}房誠,靜lc林m和gc應d分別惜表示服求最蕩小公姨倍數(shù)暮和最壘大公揭約數(shù)貝運算俘。格與涼布爾疤代數(shù)捧。對以客下各她小題曲給定銹的集法合和慕運算府，判乘斷它誕們是驢哪一巡壽類代暴數(shù)系疾統(tǒng)(半群,含幺間半群,群,環(huán),域,格,布爾滲代數(shù)),并說辮明理帆由。(5鎖)S5={零0,馬1,溝2}粘,駛+為模3加法,貢*為模3乘法體。環(huán)與抵域，{0均,1季,2碌}關(guān)于嬸模3加構(gòu)瘋成交赤換群粥、{1鹽,2撥}關(guān)于亦模3乘構(gòu)賠成交鬧換群叔，模3乘關(guān)晴于模3加有踢分配音律。設B是布蕩爾代鈴數(shù),B中的屋表達呀式f是(a充∧b武)∨坦(a痛∧b語∧c暫)∨墓(b災∧c初)(1日)化簡f.解：(a∧b討)∨北(a漢∧b猴∧c敢)∨掙(b踏∧c杜)=秧(a翼∧b莖)∨縱(b你∧c器)(2啊)求f的對跑偶式f*。解：f*=(交a∨襪b)梁∧(鑰b∨輪c)對于n=擦1,龜..脾.,坡5,給出丘所有舊不同喜構(gòu)的n元格,并說撥明哪黨些是透分配惰格、舅有補華格和浩