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關(guān)于等差數(shù)列的求和公式第1頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月我國數(shù)列求和的概念起源很早,在南北朝時(shí),張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法.他在《張丘建算經(jīng)》中給出等差數(shù)列求和問題.等差數(shù)列求和的歷史高斯(1777年-1855年)德國著名數(shù)學(xué)家觀察歸納1+2+3+…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+99=101
3+98=101
……
50+51=101
(100+1)×100/2=5050第2頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月探究發(fā)現(xiàn)問題:12310010099981獲得算法:圖案中,第1層到第100層一共有多少顆寶石?第3頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月問題1:1+2+3+…+n=?
(倒序相加法)
解:第4頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月=a3+an-2=
a2+an-1
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即:
a1+an=……
似乎與n的奇偶有關(guān)問題是一共有多少個(gè)
a1+an
1.公式推導(dǎo)a1+a2+a3+a4…+an-2+an-1+an=第5頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn
,則
第6頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即:
Sn=a1+a2+…+anSn=
a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=
an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1兩式相加得:
2Sn=(a1+an)×n算法:倒序相加求和第7頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的另一種推導(dǎo)第8頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月例2
等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和為54?解:設(shè)題中的等差數(shù)列是{an},前n項(xiàng)和為Sn則a1=-10,d=-6-(-10)=4解得n1=9,n2=-3(舍去)因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54
方程思想知三求二令=54,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得:(1)解:由已知得:整體思想認(rèn)識(shí)公式第9頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月例題解析例2:等差數(shù)列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。解:由an=a1+(n-1)d得:18=a1+(n-1)4解得:n=4
n=6a1=6
a1=-2或第10頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月第11頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月例2、已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由這些條件能確定這等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎?分析:方程思想和前n項(xiàng)和公式相結(jié)合分析:將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后,可以得到兩個(gè)關(guān)于首項(xiàng)和公差的關(guān)系式,他們是關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程,由此可以求得首項(xiàng)和公差,從而得到所求的前n項(xiàng)和的告訴.解:由題意知:S10=310,S20=1220,將它們代入公式得到方程思想第12頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n>1時(shí):
當(dāng)n=1時(shí):也滿足①式.①第13頁,課件共15頁,創(chuàng)作于2023年2月【解析】由題意知,等差數(shù)列的公差為
于是,當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí),取最大值答案:27練習(xí)1、練習(xí)2、等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…的前
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