等比數(shù)列前項和公式的推導

關于等比數(shù)列前項和公式的推導第1頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月復習等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式性質Sn第2頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月預備知識：

Sn=a1+a2+…+an

Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>2)an=Sn–Sn-1(n》2)你能得出嗎?第3頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：如何來求麥子的總量？得:2S64=2+22+23+······+263+264錯位相減得：S64=264–1>1.8×1019即求：1，2，22，······，263的和；令：S64=1+2+22+······+262+263，

以小麥千粒重為40麥子質量超過7000億噸！麥?？傎|量達7000億噸——國王是拿不出的。第5頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴×q, 得⑵⑴－⑵，得由此得q≠1時，等比數(shù)列的前n項和設等比數(shù)列它的前n項和是⑴即說明：這種求和方法稱為錯位相減法第6頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月當q≠1時，∵∴顯然，當q=1時，第7頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(q=1).(q≠1).等比數(shù)列的前n項和表述為：第8頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月已知a1

、n、q時已知a1

、an、q時等比數(shù)列的前n項和公式第9頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)

等比數(shù)列前n項和公式：等比數(shù)列前n項和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)

(2)

等比數(shù)列前n項和公式的應用：1.在使用公式時.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式時，要根據(jù)題意，適當選擇公式。利用“錯位相減法”推導第10頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例1、求下列等比數(shù)列前8項的和第11頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：２.１.第12頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月1．數(shù)列{2n－1}的前99項和為(

)A．2100－1

B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C第13頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：C第14頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月3．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，則前5項和S5的值為________．答案：31第15頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月4．求Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．第16頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(一)用等比定理推導當q=1時Sn=na1因為所以

合比定理：第18頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q

遞推公式：第19頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月答案：

B第20頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，則a1的值為(

)A．4 B．－4C．2 D．－2答案：

A第21頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月3．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a12＋a22＋…＋an2等于________．第22頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月4．設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．第23頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：第1年產量為5000臺第2年產量為5000×(1+10%)=5000×1.1臺第3年產量為5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年產量為則n年內的總產量為：第24頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月解：第25頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[分析]

由題目可獲取以下主要信息：已知等比數(shù)列的前3項和前6項的和，求其通項．解答本題可直接利用前n項和公式，列方程求解．第31頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[點評]

在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q列方程組求解．第33頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月遷移變式2設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求公比q的值．第34頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[點評]

在求含有參數(shù)的等比數(shù)列的前n項和時，容易忽略對a＝1和q＝1的討論，從而丟掉一種情況．第38頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖1，一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？第42頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[分析]

通過仔細審題，抓住“在以后每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%”這一“題眼”，從而構造出等比數(shù)列模型——熱氣球在每分鐘里上升的高度組成一個等比數(shù)列，于是熱氣球上升的總高度便是該等比數(shù)列的前n項和，利用公式即可．第43頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月遷移變式4如果某人在聽到喜訊后的1h后將這一喜訊傳給2個人，這2個人又以同樣的速度各傳給未聽到喜訊的另2個人，……，如果每人只傳2人，這樣繼續(xù)下去，要把喜訊傳遍一個有2047人(包括第一個人)的小鎮(zhèn)，所需時間為(

)A．8h B．9hC．10h D．11h第46頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：設第n個小時后知道喜訊的總人數(shù)為Sn，Sn＝1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1＝2047，n＝10，故選C.答案：C第47頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2．因為公比為1和不為1時等比數(shù)列前n項和有不同的公式，所以若公比為字母時，應進行分類討論．這也是由公式的適用范圍引發(fā)的分類討論的典型例子之一．第49頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[題后感悟]在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，在條件與結論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q列方程組求解．,第56頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月1.在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項和Sn＝126，求n和q.第57頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知等比數(shù)列{an}中，前10項和S10＝10，前20項和S20＝30，求S30.第61頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[題后感悟]等比數(shù)列前n項和的常用性質：(1)“片斷和”性質：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構成公比為qm的等比數(shù)列，即等比數(shù)列的前m項的和與以后依次m項的和構成等比數(shù)列．第64頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月3.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(

)A．80

B．30C．26

D．16第65頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：

∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)∴S4n＝30.故選B.答案：

B第66頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比與項數(shù)．由題目可獲取以下主要信息：①等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別依次構成等比數(shù)列；②當項數(shù)為2n時，S偶∶S奇＝q.解答本題的關鍵是設出項數(shù)與公比，然后建立方程組求解．第67頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以這個數(shù)列共8項，公比為2.第68頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月4.等比數(shù)列{an}共2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，求該數(shù)列的公比q.第70頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月

求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項和(a≠0)．由題目可獲取以下主要信息：①數(shù)列的通項公式an＝(2n－1)·an－1.②每一項可分成兩個因式，由前一個因式可構成等差數(shù)列，后一因式可構成等比數(shù)列．解答本題可選用錯位相減法求數(shù)列的和．第71頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月[題后感悟]錯位相減法一般來說，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為q，則求數(shù)列{anbn}的前n項和就可以運用錯位相減法．第73頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月在運用錯位相減法求數(shù)列的和時，要注意以下四個問題：(1)注意對q的討論，在前面的討論中，我們已知q是等比數(shù)列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1