必修四平面向量?？贾R(shí)點(diǎn)和復(fù)習(xí)典型高考例題分析

兩個(gè)不為零的向量a，b平行，①ab(0)②如果a,b能夠用直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示，那么設(shè)a(m,n),b(p,q)，那么mqnp③如果a,b能夠用兩個(gè)不共線的基向量c,d表示，比如說(shuō)amcnd，bpcqd，那么基向量前面的系數(shù)成比率，也就是mqnp在這里強(qiáng)調(diào)其實(shí)后邊兩點(diǎn)是同樣的，因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)表示法引進(jìn)前身是用直角坐標(biāo)系的兩個(gè)垂直的單位向量i,j，比方a(m,n)，也即是aminj，為了方便，我們寫成坐標(biāo)形式，而③這點(diǎn)其實(shí)是②的一般形式，就是③講兩個(gè)基向量推廣到了不垂直的情況。用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題比方說(shuō)：【例一】設(shè)a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ab與(b2a)共線，則的值為．【解析】要求的兩個(gè)向量就是用a與b作為基底的，那么這兩個(gè)向量共線能夠獲得前面的系數(shù)成比率，也即是1，也即1221【例二】在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延伸線與CDuuurruuurruuur交于點(diǎn)F，若ACa，BDb，則AF=（）A．1r1rB．2r1rab3ab4232rC．1r1rD．1rabab2433F點(diǎn)的地點(diǎn)，其在DC中的地點(diǎn)比【解析】比方說(shuō)運(yùn)用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)首先此題的難點(diǎn)在于例，所以首先要確定其地點(diǎn)在哪里，所以，我們?cè)O(shè)DFDC那么我們就能夠用一個(gè)A,E,F共線來(lái)確定的值所以我們能夠用AE,AF用相同基向量表示這兩個(gè)向量，然后用系數(shù)比率的關(guān)系求出這個(gè)的值A(chǔ)E1AO1AD1AC1AD1(ADAB)1AD3AD1AB22424244AFADDFADDCADAB311則4413AFAD1AB(BOOC)1(AOOB)33242121BOOCACBDab333333【例三】如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，﹣2）、（5，2）、（﹣3，0），點(diǎn)N在AC上，且AN2NC，AM與BN的交點(diǎn)為P，求：1）點(diǎn)P分向量AM所成的比的值；2）P點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】這題例題也是同樣的道理，（1）主要求P點(diǎn)，假定APAM,因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線，所以BP,BN用基向量BA,BC表示，再用待定系數(shù)法求得λ的值。BPBMMP1(1)AM11)(ACAB)BCBC(111222BC)(ABBCAB)BC(1)AB2(122BNBCCNBC1ACBC1(ABBC)2BC1AB3333所以2(1)2(1)4，所以分向量AM所成的比的值為12125432）用比率的方法能夠獲得P(6,2)55（★★總結(jié)方法：在圖中有未知線段的比率不知道，就能夠先設(shè)其線段比率為利用一個(gè)三點(diǎn)共線的兩向量平行來(lái)求解的值。）

，然后知識(shí)點(diǎn)2：★重要定理（此定理在

2013年高考取多省份考到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)）

：假定平面上有三點(diǎn)P,Q,C

,且這三點(diǎn)共線，此外有不在這條直線上的點(diǎn)

O點(diǎn)，能夠獲得OCOPOQ,1證明這個(gè)定理：證明：能夠由P,Q,C三點(diǎn)共線能夠假定PC

tPQ

，OC也即

OP(11

PCt)OPt,

OPtOQt

tPQ

OP1

t(PO

OQ)不難得出：①如果C在PQ線段之間是能夠獲得01,01,1②如果C在PQ延伸線上時(shí)，1,0,1③如果C在QP延伸線上時(shí)，1,0,1例題解說(shuō)【例四】如下列圖所示，兩射線OA與OB交于點(diǎn)O，下列5個(gè)向量中，①2OAOB，②3OA1OB，③3OA1OB，④1OA1OB,434523⑤3OA1OB若以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影地區(qū)內(nèi)（含邊界）的45向量有（）個(gè)．A．1B．2C．3D．4【解析】可得①在BA的延伸線上，怎樣運(yùn)用上面的定理主要靠轉(zhuǎn)變成定理的形式，比方說(shuō)3OA1OB(3OA1OB)1OB，那么4344123OA1OB的終點(diǎn)在AB線段上，如圖1，那43411么OB就會(huì)在如圖的陰影部4412分內(nèi)。同理能夠?qū)ⅱ?OA1OB轉(zhuǎn)變?yōu)?OA1OB3OA1OB1OB43454420將④1OA1OB轉(zhuǎn)變?yōu)?OA1OB1OA1OB1OB2323226將⑤3OA1OB轉(zhuǎn)變?yōu)?OA1OB3OA1OB9OB45454420【例五】（2013安徽卷理9）在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn)A,B滿|OA||OB|OAOB2,則點(diǎn)集{P|OPOAOB,||||1,,R}所表示的地區(qū)面積是(A)22(B)23(C)42(D)43【解析】|OA||OB|OAOB2，能夠獲得|OA||OB|2，且兩個(gè)向量的夾角為60°，如圖能夠?qū)蓚€(gè)向量放到半徑為2的圓內(nèi)，如圖2。且由||||1，可得0||1,01，那么當(dāng)01,01時(shí)，可知P點(diǎn)形成的地區(qū)為圖中灰色地區(qū)當(dāng)01,01，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)镺POAOBAOOB,那么P點(diǎn)形成的地區(qū)則是紫色的地區(qū)當(dāng)01,01，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)镺POAOBAOBO那么P點(diǎn)形成的地區(qū)是紅色的地區(qū)當(dāng)01,01，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)镺POAOBOABO那么P點(diǎn)形成的地區(qū)是黃色的地區(qū)所以，綜上所述可得P點(diǎn)形成的地區(qū)為一個(gè)長(zhǎng)為23，寬為2的矩形地區(qū)，即面積為3，所以答案選D。知識(shí)點(diǎn)3：向量的基本要素求解：一般求解向量的基本要素，主要分為求解向量之間的夾角和向量的模長(zhǎng)。那么要求這幾個(gè)要素必須要理解其可求解的途徑：①求解模長(zhǎng)）如果向量a的坐標(biāo)(x,y)已知（前提是在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)），那么便可以直接采用勾股定理求解ax2y2）如果向量a的坐標(biāo)不知道，可是a用兩個(gè)已知的基向量表示出來(lái)，并且已知基向量的模長(zhǎng)，基向量之間的夾角，那么能夠經(jīng)過(guò)對(duì)模長(zhǎng)平方來(lái)求解，比方：已知cm,dn,且cdr，如果apcqd，則2222pqcd(qd)2p2m22pqrq2n2apcqd(pc)一般在不知道坐標(biāo)的情況下都能夠進(jìn)行平方求解。3）能夠用公式求解cos

mnmn②夾角求解mn1）能夠用公式求解cosmn2）★★兩向量夾角的范圍0，兩向量的夾角與三角形中角的種類的判斷有著親密的聯(lián)系：若0，則該角為銳角0cos1當(dāng)a0,b0時(shí)，ab02若，則該角為直角cos0當(dāng)a0,b0時(shí)，ab02若，則該角為鈍角1cos0當(dāng)a0,b0，ab02知識(shí)點(diǎn)4：1）向量的點(diǎn)積ababcos，如果向量有坐標(biāo)，a(x1,y1),b(x2,y2)，則abx1x2y1y2。2）向量a在向量b上的投影為acos（投影能夠是負(fù)的），向量在基向量上分解，平行四邊形原則。uuur2uuur【例六】如圖，設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，APAB則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為．5

1uuurAC5

uuur2uuur1uuur，AQ＝3AB＋4AC，【解析】此題考察的是向量的平行四邊形法例分uuur2uuur1uuuruuur2uuur1uuur解，已知APABAC，AQ＝3AB＋4AC，如下55

CQNPAMBuuuur2uuuruuur1uuuruuuruuuuruuurNP∥AB，圖，設(shè)AMAB，ANAC，則APAMAN，由平行四邊形法例，知55uuurSABQ1所以SABPAN＝1SABCuuur5，同理可得，ACSABC4故SABP4．SABQ5【例七】（2013浙江卷理7）設(shè)ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn)，知足P0B1AB，且關(guān)于邊4AB上任一點(diǎn)P，恒有PB?PCP0B?P0C。則（）A.ABC900B.BAC900C.ABACD.ACBC【解析】此題考察向量的幾何意義，也就是投影。過(guò)C點(diǎn)作CHAB，并且此處記PBPHHB,且若P點(diǎn)在HB之間時(shí)，記PH為負(fù)，P點(diǎn)在AH之間時(shí)，PH為正，所以PBPCPBPH，此處的PH與上述的PH相同，所以PBPCPBPH(PHHB)PHPH2HBPH(PHHB)2(HB)222當(dāng)三角形確定此后，HB就為常數(shù)能夠定下來(lái)，而PH為一個(gè)變量，所有把它當(dāng)作一個(gè)函數(shù)，可知，當(dāng)PHHB時(shí)，P