函數(shù)的單調(diào)性極值與最值

函數(shù)的單調(diào)性考試要求1、掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的極值、閉區(qū)間上的最值的導(dǎo)數(shù)法及一般步驟；2、會(huì)運(yùn)用比較法確定函數(shù)的最值點(diǎn)。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)＞0，則f(x)為

．若f′(x)＜0，則f(x)為

，若f′(x)＝0，則f(x)為

．2．如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值

，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化

，這時(shí)，函數(shù)的圖象就越“

”．增函數(shù)常數(shù)減函數(shù)越大越快陡峭基礎(chǔ)知識(shí)梳理3．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)求f′(x)；(2)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．基礎(chǔ)知識(shí)梳理若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)>0，這種說(shuō)法是否正確？【思考·提示】不正確，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，此處f′(x)＝0，并不是指x在[a，b]內(nèi)處處有f′(x)＝0，可能只在某些具體的點(diǎn)處f′(x)＝0.思考？三基能力強(qiáng)化1．(2010年高考江蘇卷)函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______．三基能力強(qiáng)化2．已知對(duì)任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，則當(dāng)x<0時(shí)有f′(x)，g′(x)的正負(fù)情況為_(kāi)_______．三基能力強(qiáng)化3．設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，則f(x)為增函數(shù)的充要條件是________．三基能力強(qiáng)化4．三次函數(shù)y＝f(x)＝ax3＋x在x∈(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．課堂互動(dòng)講練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．(2)一般地，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零．特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意等號(hào)是否可以取到．課堂互動(dòng)講練(2009年高考全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x4－3x2＋6.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝f(x)上，若該曲線在點(diǎn)P處的切線l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求l的方程．課堂互動(dòng)講練1．(2011年高考重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．課堂互動(dòng)講練(2009年高考安徽卷)1.已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a>0.討論f(x)的單調(diào)性．課堂惕互動(dòng)笛講練2．(2狡01剩1年高稼考模票擬卷)已知販函數(shù)f(x)＝1/莖2x2－ax＋(a－1)照l(shuí)nx，a>1磚.(1姥)討論筒函數(shù)f(x)的單斬調(diào)性煙；(2憑)證明谷：若a<5，則愉對(duì)任忙意x1，x2∈(謊0，＋運(yùn)∞)，x1≠x2，有課堂字互動(dòng)道講練(2正00懲9年高隸考浙膝江卷)3腐.已知盼函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)·x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1安)若函撒數(shù)f(x)的圖則象過(guò)區(qū)原點(diǎn)難，且版在原級(jí)點(diǎn)處渣的切芝線斜襖率是廢－3，求a，b的值因；(2孟)若函獻(xiàn)數(shù)f(x)在區(qū)連間(－1,巨1)上不透單調(diào)風(fēng)，求a的取回值范南圍．課堂我互動(dòng)挺講練(解題排示范)(本題軍滿分14分)4.已知x>0，證捷明：不等芬式1+練習(xí)2、函搭數(shù)f(惑x)=承x3+a痕x2+b借x+停c，過(guò)蕉曲線妥上的拘點(diǎn)P(球1,葬f(方1)湊)的切揉線方料程為y=霞3x椅+1（1）若y=f(比x)在x=駐-2時(shí)有另極值金，求f(剩x)的表竭達(dá)式離；（2）在僑（1）的粘條件劇下，黃求y=f(香x)在上將最大取值；（3）若丘函數(shù)y=f(雜x)在區(qū)金間[-束2,吸1]上單土調(diào)遞茄增，捐求b的取詢值范瀉圍第三劈燕節(jié)衛(wèi)導(dǎo)葡數(shù)與檔函數(shù)瓶的極非值和癢最值基礎(chǔ)削知識(shí)碧梳理1．函趨數(shù)的老極值(1越)函數(shù)紫的極竹值的悲概念宅：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函叮數(shù)值f(a)比它乳在點(diǎn)x＝a附近狠其他歸點(diǎn)的聰函數(shù)部值都凈小，f′(a)＝0；而達(dá)且在鼠點(diǎn)x＝a附近系的左做側(cè)，右享側(cè)，則咐點(diǎn)a叫做法函數(shù)y＝f(x)的，f(a)叫做傳函數(shù)y＝f(x)的．f′(x)＜0f′(x)＞0極小話值點(diǎn)極小蒙值基礎(chǔ)景知識(shí)緣瑞梳理函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函驢數(shù)值f(b)比它規(guī)在點(diǎn)x＝b附近績(jī)其他足點(diǎn)的嫁函數(shù)酸值都灣大，f′(b)＝0；而克且在置點(diǎn)x＝b附近里的左閘側(cè)，右繞側(cè)，則敢點(diǎn)b叫做匯函數(shù)y＝f(x)的，f(b)叫做灘函數(shù)y＝f(x)的．極贊小值洋點(diǎn)、綢極大算值點(diǎn)沒(méi)統(tǒng)稱冰為，極撓大值察和極恭小值悉統(tǒng)稱落為．f′(x)＞0f′(x)＜0極大梯值點(diǎn)極大防值極值播點(diǎn)極值基礎(chǔ)晌知識(shí)次梳理(2含)求函定數(shù)極樹(shù)值的訪步驟誤：①；②；③檢查f′(x)在方樸程根族左右全的值配的符咱號(hào)，紗如果糠左正滴右負(fù)那，那黎么f(x)在這去個(gè)根吵處取，如撫果左茂負(fù)右召正，員那么f(x)在這亭個(gè)根慎處?。髮?dǎo)塑數(shù)f′(x)求方深程f′(x)＝0的根極大錢(qián)值極小肺值基礎(chǔ)守知識(shí)伏梳理方程f′(x)＝0的根死就是肺函數(shù)y＝f(x)的極盜值點(diǎn)限是否派正確賺？【思考·提示】不正矮確，棉方程f′(x)＝0的根懲未必廟都是掛極值舌點(diǎn)．思考童？基礎(chǔ)埋知識(shí)荒梳理2．函附數(shù)的窩最大禁值與介最小岔值在閉渾區(qū)間[a，b]上連會(huì)續(xù)，鹽在(a，b)內(nèi)可猴導(dǎo)，f(x)在[a，b]上求賞最大崖值與鳳最小竟值的執(zhí)步驟桿：(1春)．(2堡)求f(x)在(a，b)內(nèi)的唐極值將f(x)的各蘆極值林與f(a)，f(b)比較濕，其松中最大拋的一站個(gè)是腸最大維值，時(shí)最小暫的一仙個(gè)是兇最小戲值.三基目能力沿強(qiáng)化1．(2摧01編0年山權(quán)東煙望臺(tái)模貝擬)函數(shù)y＝x＋2c質(zhì)osx在[0，]上取烤得最塔大值昂時(shí)，x的值合為_(kāi)_迫__懷__蹄__．三基患能力慶強(qiáng)化2．(2暑01喊0年江線蘇揚(yáng)賀州模備擬)函數(shù)f(x)的定澤義域驅(qū)為R，導(dǎo)弦函數(shù)f′(x)的圖小象如鞠圖所央示，粒則函薄數(shù)f(x)_懼__府__慈__勝_．①無(wú)極萌大值謊點(diǎn)、繡有四棋個(gè)極協(xié)小值痕點(diǎn)②有三吊個(gè)極乏大值矩點(diǎn)、令兩個(gè)冬極小鎮(zhèn)值點(diǎn)③有兩告?zhèn)€極血大值烤點(diǎn)、水兩個(gè)器極小船值點(diǎn)④有四澇個(gè)極險(xiǎn)大值俊點(diǎn)、惡無(wú)極扇小值考點(diǎn)三基花能力租強(qiáng)化3．已忽知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0卷)的圖臟象如剝圖所尊示，端且|x1|>臂|x2|，則放有a，b的正繪負(fù)情款況是__辨__概_(tái)_采__．三基宰能力紹強(qiáng)化4．函鋼數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[難(a＋2)x＋1]既有另極大澇值又竭有極辦小值鉗，則a的取夾值范苦圍是__永__言__期__．答案診：a>2或a<－1課堂眉互動(dòng)宋講練(2允00賊9年高礦考北渴京卷)1鍛.設(shè)函綠數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0墾)．(1辦)若曲狼線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2過(guò)))處與即直線y＝8相切沾，求a，b的值安；(2難)求函刑數(shù)f(x)的單牽調(diào)區(qū)經(jīng)間與發(fā)極值冤點(diǎn)．【思路駕點(diǎn)撥】(1櫻)由f′(求2)＝0，f(2的)＝8求a，b；(2狀)求f′(x)，討擴(kuò)論單還調(diào)性智．2．(2豪00社9年高薯考四重川卷)已知雖函數(shù)f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的圖浙象在堂與x軸交錦點(diǎn)處織的切郊線方線程是y＝5x－10狡.(1怖)求函熊數(shù)f(x)的解掉析式淹；(2認(rèn))設(shè)函能數(shù)g(x)＝f(x)＋mx辮/3，若g(x)的極坊值存爪在，供求實(shí)雁數(shù)m的取旬值范壯圍以號(hào)及函谷數(shù)g(x)取得銅極值匪時(shí)對(duì)組應(yīng)的饞自變醉量x的值謠．課堂披互動(dòng)續(xù)講練3.已知封函數(shù)f(x)＝alnx＋x2(a為實(shí)址常數(shù))．(1浩)若a＝－2，求遭證：繞函數(shù)f(x)在(1，＋班∞)上是民增函呈數(shù)；(2尺)求函納數(shù)f(x)在[1，e]上的宵最小授值及仍相應(yīng)槍的x值；(3樣)若存腸在x∈[秘1，e]，使艷得f(x)≤書(shū)(a＋2)x成立值，求脹實(shí)數(shù)a的取芬值范購(gòu)圍．課堂銳互動(dòng)舞講練(20牢09年高狂考陜觀西卷)4屆.已知傾函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0石.(1斬)求f(x)的單櫻調(diào)區(qū)暖間；(2蛇)若f(x)在x＝－1處取泊得極門(mén)值，影直線y＝m與y＝f(x)的圖旋象有恩三個(gè)滿不同書(shū)的交殃點(diǎn)，獅求m的取副值范宅圍．變:若函爛數(shù)f(x)與x軸有潮三個(gè)蹄不同凱的交鐘點(diǎn)，團(tuán)求a的取田值范價(jià)圍高考眾熱點(diǎn)費(fèi)探究5.已知倡函數(shù)f(x)＝ln黑(x＋1)＋ax.(1繞)當(dāng)x＝0時(shí)，手函數(shù)f(x)取得肚極大漆值，單求實(shí)就數(shù)a的值黃；(2衰)若存壺在x∈[匙1,路2]，使滔不等鉤式f′(x)≥療2x成立橡，其遺中f′(x)為f(x)的導(dǎo)明函數(shù)澆，求克實(shí)數(shù)a的取途值范阿圍；(3敗)求函凡數(shù)f(x)的單喜調(diào)區(qū)布間．6.煙囪組向其您周?chē)愕貐^(qū)季散落山煙塵紀(jì)造成和環(huán)境牢污染違．已禿知A、B兩座伙煙囪毒相距20逢k研m，其漢中B煙囪腳噴出捧的煙明塵量鎮(zhèn)是A煙囪叼的8倍，鴿經(jīng)環(huán)鑄境檢偽測(cè)表確明：塞落在朝地面動(dòng)某處默的煙胃塵濃儲(chǔ)度與遼該處徹到煙列囪距呢離的武平方述成反權(quán)比，色而與渣煙囪吹噴出吊的煙米塵量鉤成正儲(chǔ)比．(比例腿系數(shù)蘇為k)．若C是AB連線稠上的瞧點(diǎn)，羅設(shè)AC＝xkm，C點(diǎn)的窯煙塵肚濃度黃記為y.(1邊)寫(xiě)出y關(guān)于x的函笨數(shù)表圾達(dá)式提；(2纖)是否強(qiáng)存在障這樣鐮的點(diǎn)C，使悠該點(diǎn)胃的煙坑塵濃曉度最笨低？杏若存滔在，敗求出AC的距翅離；勇若不竟存在到，說(shuō)幸明理滲由．7.某造雪船公惡司造館船量市是20艘，吧已知俘造船x艘的稅產(chǎn)值亞函數(shù)月為R(x)＝37洞00x＋45x2－10x3(單位彼：萬(wàn)傘元)，成棗本函珍數(shù)為C(x)＝46槍0x＋50患00帆(單位日：萬(wàn)屈元)，又自在經(jīng)蝦濟(jì)學(xué)勸中，醬函數(shù)f(x)的邊呈際函罷數(shù)Mf(x)定義掘?yàn)镸f(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1吳)求利蝴潤(rùn)函爛數(shù)P(x)及邊訊際利纏潤(rùn)函傘數(shù)MP(x)；(提示倘：利炒潤(rùn)＝有產(chǎn)值蔽－成疫本)(2賭)問(wèn)年倍造船漠量安鐵排多樣少艘觀時(shí)，休可使窗公司戴造船捏的年蟲(chóng)利潤(rùn)帽最大石？(3數(shù))求邊振際利賊潤(rùn)函明數(shù)MP(x)的單鳴調(diào)遞圓減區(qū)禽間，鉆并說(shuō)射明單那調(diào)遞吊減在丙本題攜中的略實(shí)際意義今是什耗么？例題側(cè)精析題型嶄一陡用怪導(dǎo)數(shù)潛法求遍函數(shù)翼的單仗調(diào)區(qū)計(jì)間例1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例2、求須函數(shù)f(私x)=嬸2x3-3疏(a墾-1蠅)x2+1的單么調(diào)區(qū)液間。題型企二掛已范知函海數(shù)的隸單調(diào)晨性，竄用導(dǎo)湯數(shù)法遮求參拜數(shù)的菊取值猛范圍例1、已知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍。例2、設(shè)a>1,f(x)=(x2+ax+1)e1-x,g(x)=若存在x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-g(x2)|<1,求a的取值范圍。題型酬三支用導(dǎo)伸數(shù)求渣含參峽數(shù)的綱函數(shù)忠的極眾值例1、已知a>0,求函數(shù)的極值點(diǎn)。練習(xí)瞇：若并函數(shù)y=制3a2x-債x3在(-匹∞,域-1境),桐(1沉,+恨∞)上是付減函緩數(shù),在(-膠1,舒1)上是迅增函僑數(shù)，牲則f(娘x)的極劣大值侮、極咸小值椒分別頸是。題型鴉四害用勒導(dǎo)數(shù)