偏導(dǎo)數(shù)基本概念

推廣第九章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類(lèi)比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第九章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱(chēng)為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫(xiě)成點(diǎn)P0的去心鄰域記為在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.2.

區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱(chēng)P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱(chēng)P為E的外點(diǎn);則稱(chēng)P為E

的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱(chēng)P是E的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E的導(dǎo)集.E的邊界點(diǎn))D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)E為開(kāi)集；若點(diǎn)集E

E

,則稱(chēng)E為閉集；

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域.則稱(chēng)D是連通的;

連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域,簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域;。。

E的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為E的邊界,記作E;例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域

整個(gè)平面點(diǎn)集是開(kāi)集，是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域;但非區(qū)域.

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱(chēng)D為有界域,

界域.否則稱(chēng)為無(wú)*3.n維空間n元有序數(shù)組的全體所構(gòu)成的集合記作即中的每一個(gè)元素用單個(gè)粗體字母x表示,即定義:線性運(yùn)算其元素稱(chēng)為點(diǎn)或n維向量.xi稱(chēng)為x的第i個(gè)坐標(biāo)或第i個(gè)分量.稱(chēng)為n維空間,的距離定義為中點(diǎn)a

的

鄰域?yàn)榕c零元0的距離為記作則稱(chēng)x顯然趨于a,二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱(chēng)為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱(chēng)為定義在D上的n元函數(shù),記作例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n元函數(shù)點(diǎn),則稱(chēng)A為函數(shù)(也稱(chēng)為n重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切例1.設(shè)求證:證:故總有要證例2.設(shè)求證掠：證：故總有要證若當(dāng)悲點(diǎn)趨于紅不同血值或百有的濕極限螞不存檢在，解:設(shè)P(x,y)沿直省線y=k艙x趨于橋點(diǎn)(0蕩,障0)縮慧,在點(diǎn)(0示,援0)的極荒限.則可繡以斷算定函鉛數(shù)極止限則有k值不占同極添限不灶同!在(0區(qū),0京)點(diǎn)極城限不的存在.以不妙同方吼式趨捕于不存倡在.例3.討論奧函數(shù)函數(shù)例4.求解:因而此函姐數(shù)定迫義域不包松括x,y軸則故僅知界其中只一個(gè)源存在,推不繩出其豆他二姨者存丟在.注.二重鉤極限不同.如果痛它們處都存忽在,則三旋者相露等.例如,顯然與累乞次極體限但由例3知它牙在(0膠,0么)點(diǎn)二痕重極氣限不頑存在.例3四、多元來(lái)函數(shù)慢的連巡壽續(xù)性定義3.設(shè)n元函女?dāng)?shù)定義栽在D上,如果漠函數(shù)獻(xiàn)在D上各點(diǎn)膽處都連曬續(xù),則稱(chēng)縮慧此函鴉數(shù)在D上如果膜存在否則蠅稱(chēng)為不連吹續(xù),此時(shí)稱(chēng)為間斷歌點(diǎn).則稱(chēng)n元函豪數(shù)連續(xù).連續(xù),例如,函數(shù)在點(diǎn)(0劍,戰(zhàn)0退)極限古不存押在,又如,函數(shù)上間法斷.故(莫0,堆0德)為其食間斷薦點(diǎn).在圓醉周結(jié)論:一切欠多元集初等濾函數(shù)瞎在定鑄義區(qū)全域內(nèi)郵連續(xù).定理：若f(P)在有管界閉仍域D上連喘續(xù),則*(4作)f(P)必在D上一甘致連連續(xù).在D上可置取得遍最大辯值M及最梯小值m;(3鐵)對(duì)任皂意(有界中性定判理)(最值誘定理)(介值咱定理)(一致摘連續(xù)蛾性定慣理)閉域上多表元連紫續(xù)函滋數(shù)有滑與一送元函懇數(shù)類(lèi)幻玉似的甩如下錫性質(zhì):(證明搶略)解:原式例5.求例6.求函且數(shù)的連暢續(xù)域.解:內(nèi)容兵小結(jié)1.區(qū)域鄰域:區(qū)域連通嚷的開(kāi)驅(qū)集2.多元久函數(shù)襪概念n元函籃數(shù)常用二元游函數(shù)(圖形紛一般社為空遠(yuǎn)間曲紡面)三元垃函數(shù)有3.多元迎函數(shù)黃的極規(guī)限4.多元望函數(shù)嶺的連吵續(xù)性1)函數(shù)2)閉域齡上的璃多元拴連續(xù)涌函數(shù)籍的性測(cè)質(zhì):有界橡定理;最值罷定理;介值輛定理3)一切唯多元抗初等糾函數(shù)戴在定屋義區(qū)堤域內(nèi)每連續(xù)P6休1題2;饅4;刻5(3付),革(唇5)(畫(huà)圖)狼;衛(wèi)8P1睛29題3;*4思考螞與練顆習(xí)解答乏提示:P6挎1題2.稱(chēng)為萬(wàn)二次泄齊次周函數(shù).P6懲1題4.P6粒1題5(3驢).定義倒域P6較1題5(5奔).定義噸域P6蓋2題8.間斷并點(diǎn)集P1村29題3.定義憲域P1凍29題*4.令y=起k脖x，若令,則可見(jiàn)真極限不存辜在P6逝1澤5(2叉),蜓(吵4)蘿,度(6欄)6(2得),團(tuán)(址3)朵,斯(5竭),準(zhǔn)(