力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

§6.1力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一.力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)

剛體獲得角加速度定義：zOPh

力F

的大小與

O

點(diǎn)到F

的作用線間垂直距離h的乘積矢量式力矩是矢量

——反映力的大小、方向和作用點(diǎn)在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩矢量只有兩個(gè)指向????質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？(1)力對(duì)定軸的力矩力對(duì)軸的力矩為A討論(2)力對(duì)點(diǎn)的力矩—更為一般的物體轉(zhuǎn)動(dòng)O.A(1)力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對(duì)該軸的力矩。說(shuō)明(2)力矩隨參考點(diǎn)而變例已知棒長(zhǎng)L,質(zhì)量m，在摩擦系數(shù)為

的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖)解根據(jù)力矩xLOmxdxTT'TT'例如TT'在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算?求摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律作用在剛體上所有的外力對(duì)定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度(1)M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)M

為零時(shí)，當(dāng)存在M時(shí)，(3)與牛頓定律比較：說(shuō)明則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

與M

成正比,而與J

成反比根據(jù)牛頓第二定律，第i個(gè)質(zhì)元圓周軌跡切線投影同乘以ri對(duì)所有質(zhì)元求和mihri-fifi剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律討論(2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)與牛頓定律比較轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J外力矩

M內(nèi)力矩為0外力內(nèi)力ai=ri三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布dmmz(2)當(dāng)剛體質(zhì)量一定，J

與質(zhì)量分布有關(guān)例圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dmOmR轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素(1)J

與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例兩根等長(zhǎng)、質(zhì)量均勻分布的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdmM?x質(zhì)量分布的均勻性對(duì)圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有影響嗎?問(wèn)題OLxdmMzLOxdmM結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置均有關(guān)z(3)J

與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)例質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ROmrdr平行軸定理dCmz例均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mL:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:剛體繞通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:兩軸間垂直距離L/2薄板垂直軸定理zxy

例求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知垂直軸定理

yx

z

圓盤

R

C

m3rmmrO解C求對(duì)過(guò)圓環(huán)中心且垂直于圓環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例解為兩個(gè)實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的差值圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為zR1R2lm求均勻的薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例解R切為許多垂直于軸的圓環(huán)zmr從半徑為R的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為r的小圓盤，該系統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤中心O和O′相距為d，且(d

+r)<R

dOO′Rr挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對(duì)垂直于盤面,且過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例解求使用補(bǔ)償法則填滿后的總質(zhì)量為m+m/設(shè)小圓盤的質(zhì)量為m/m求均勻立方體(邊長(zhǎng)l、質(zhì)量m)繞通過(guò)面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例解設(shè)k是一個(gè)無(wú)量綱的量Cz立方體繞棱邊z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為分成八個(gè)相同的小立方體他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為····八個(gè)相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=JC

即(1爹)飛輪您的角辮加速膛度(2瓣)如以嘉重量P=9悔8N的物菌體掛座在繩端，輛試計(jì)巖算飛舊輪的請(qǐng)角加叨速度解(1閱)(2君)五.轉(zhuǎn)動(dòng)疼定律附的應(yīng)叉用舉挪例例求一輕神繩繞奮在半羽徑r=2耳0c向m的飛諸輪邊針緣，欲在繩裝端施竊以F=9光8N的拉稱力，抖飛輪灣的轉(zhuǎn)暗動(dòng)慣珠量J=0依.5水kg櫻·m2，飛慢輪與充轉(zhuǎn)軸培間的咬摩擦萄不計(jì)北，一個(gè)蕩作定縫軸轉(zhuǎn)噸動(dòng)的塔輪子稍，對(duì)刑軸的應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)停慣量計(jì)為J=2.甘0k后g．m2，正以臺(tái)角速浩度ω0勻速黨轉(zhuǎn)動(dòng)始?，F(xiàn)拜對(duì)輪拾子加畫一恒贊定的睡力矩M=哥-7鏈.0承N·m，經(jīng)過(guò)臟時(shí)間t=繩8.沙0s時(shí)輪陳子的繳角速鴿度為-ω0求解例ω0R=0晨.2極m,m=1址kg童,h=1拾.5攜m,v0=0。繩輪插無(wú)相迫對(duì)滑鄰動(dòng)，射輕繩把不可嫁伸長(zhǎng)奇，下謙落時(shí)矩間t=3鐵sJ0求解例定軸ORthmv0=0mgaNTGT由轉(zhuǎn)虹動(dòng)定毛律得由牛顯頓定切律得運(yùn)動(dòng)孝學(xué)方婆程一不瓶變的須力矩M作用地在絞霧車的時(shí)鼓輪糾上使綠輪順竿時(shí)針肢轉(zhuǎn)動(dòng)聽(tīng)，如妹圖所示慣。Mrm1m2αμ繩子秤的質(zhì)貪量忽歡略不封計(jì)，鼓輪押可看基作均殼質(zhì)圓掃柱。開(kāi)始誰(shuí)時(shí)此解系統(tǒng)腳靜止娃，鼓輪環(huán)轉(zhuǎn)過(guò)遮角j時(shí)，菌繩中魂的張鑒力及利鼓輪厚的角尚速度求解例MTTfm1gm2g對(duì)鼓個(gè)輪使用掌轉(zhuǎn)動(dòng)宅定律對(duì)物靈體使用燭牛頓箱定律NN一根擁長(zhǎng)為l，質(zhì)片量為m的均觀勻細(xì)懲直棒義，可羨繞軸O在豎策直平面內(nèi)膀轉(zhuǎn)動(dòng)激，初請(qǐng)始時(shí)襖它在抓水平鵲位置求它由交此下綱擺角時(shí)胸的OlmCx解取一日質(zhì)元dm由轉(zhuǎn)命動(dòng)定潮律例x圓盤新以0在桌菌面上咐轉(zhuǎn)動(dòng),受摩拔擦力理而靜囑止解例求到圓幅盤靜甜止所探需時(shí)間取一裙質(zhì)元由轉(zhuǎn)盲動(dòng)定曾律摩擦磚力矩R例一個(gè)宴剛體盜系統(tǒng)朱，如淘圖所繼示，已知腎，轉(zhuǎn)以動(dòng)慣妖量，現(xiàn)帆用一悉水平