三維空間幾何坐標(biāo)變換矩陣課件

第7章三維變換

7.1簡介7.2三維幾何變換7.3三維坐標(biāo)變換2021/5/917.1簡介三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因?yàn)槲覀兛蛇x取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理起來更為復(fù)雜。與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)來描述空間的各點(diǎn)坐標(biāo)及其變換，這時(shí)，描述空間三維變換的變換矩陣是4×4的形式。由此，一系列變換可以用單個(gè)矩陣來表示。2021/5/927.2三維幾何變換7.2.1基本三維幾何變換

1.平移變換若空間平移量為(tx,ty,tz)，則平移變換為P(x,y,z)P’(x’,y’,z’)xyz補(bǔ)充說明：點(diǎn)的平移、物體的平移、多面體的平移、逆變換2021/5/932.比例變換（1）相對坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換一個(gè)點(diǎn)P=(x,y,z)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換的矩陣可表示為xyz其中為正值。2021/5/94（2）相對于所選定的固定點(diǎn)的比例變換zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)(1)(2)(3)2021/5/953.繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換

三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需指定旋轉(zhuǎn)軸。若以坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸x,y,z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)實(shí)際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。此時(shí)用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣。規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點(diǎn)看是逆時(shí)針方向。

2021/5/96（1）繞z軸旋轉(zhuǎn)xxxyyyzzz（2）繞x軸旋轉(zhuǎn)（3）繞y軸旋轉(zhuǎn)2021/5/97繞z軸旋轉(zhuǎn)繞x軸旋轉(zhuǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)2021/5/98旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣中的元素添入相應(yīng)的位置中，即對于單位矩陣旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律:，繞哪個(gè)坐標(biāo)軸2021/5/99(1)繞z軸正向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的z坐標(biāo)值不變,x、y坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在xoy平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)。(2)繞x軸正向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的x坐標(biāo)值不變，Y、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在yoz平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)。2021/5/910即這就是說，繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞x軸和z軸變換的矩陣從表面上看在符號(hào)上有所不同。(3)繞y軸正向旋轉(zhuǎn)角，y坐標(biāo)值不變，z、x的坐標(biāo)相當(dāng)于在zox平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)，于是2021/5/9117.2.2組合變換物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換?；静襟E:(1)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合;(2)沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn);(3)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。xyzxyz(a)(b)yxz(c)xz(d)2021/5/912繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換(1)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn);xyzP1??P2xyzP’1??P’2(1)(2)旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某個(gè)坐標(biāo)軸(如z軸)重合;(3)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn);xyzP’1??P2’’(2)yxzP’1??P2’’(3)2021/5/913(4)應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到原方向;(5)應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。xyzP’1??P’2(4)xyzP1??P2(5)2021/5/914例.求變換AV，使過原點(diǎn)的向量V=(a,b,c)與z軸的正向一致。xyzVxyz實(shí)現(xiàn)步驟:(1)將V繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz平面上;(2)再繞y軸旋轉(zhuǎn)使之與z軸正向重合。旋轉(zhuǎn)角度的確定：繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度等于向量V在yz平面上的投影向量與z軸正向的夾角。xyzV=(a,b,c)V1=(0,b,c)V’V’2021/5/915根據(jù)矢量的點(diǎn)乘與叉乘，可以算出:因此，2021/5/916類似地，可以求出:2021/5/917利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：xyzP1??P2xyzP’1??P’21)TxyzP’1??P2’’2)xzP’1??P2’’3)2021/5/918給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸A=[ax,ay,az]和旋轉(zhuǎn)角，則物體繞OA軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：A軸角旋轉(zhuǎn)7.2.3繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡單算法xyzo其中表示M的轉(zhuǎn)置矩陣。2021/5/919利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。xyzP1??P2xyzP’1??P’2其中旋轉(zhuǎn)軸A=[ax,ay,az]為A2021/5/9207.2.4三維變換矩陣的功能分塊（1）三維線性變換部分（2）三維平移變換部分（3）透視變換部分（4）整體比例因子2021/5/9217.3三維坐標(biāo)變換幾何變換：在一個(gè)參考坐標(biāo)系下將物體從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的變換。坐標(biāo)變換：一個(gè)物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如，對物體造型時(shí)，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。2021/5/922坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法:與二維的情況相同，為將物體的坐標(biāo)描述從一個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為另一個(gè)系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個(gè)變換矩陣，它能使兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步：（1）平移坐標(biāo)系統(tǒng)oxyz，使它的坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)重合；（2）進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重疊。有多種計(jì)算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一種簡單的方法。2021/5/923xyz(0,0,0)x’z’y’設(shè)新坐標(biāo)系o’x’y’z’原點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0,y0,z0），相對原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量為：將原坐標(biāo)系xyz下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系x’y’z’的坐標(biāo)可由以下兩步完成：首先，平移坐標(biāo)系xyz，使其原點(diǎn)與新坐標(biāo)系x’y’z’的原點(diǎn)（x0,y0,z0）重合；2021/5/924xyz(0,0,0)x’z’y’xyz(0,0,0)平移矩陣為：(x,y,z)第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣2021/5/925該矩陣R將單位向量分別變換到x,y和z軸。綜合以上兩步，從oxyz到o’x’y’z’的坐標(biāo)變換的矩陣為說明：變換矩陣TR將一個(gè)直角坐標(biāo)系變換為另一個(gè)坐標(biāo)系。即使一個(gè)坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，另一個(gè)為左手坐標(biāo)系，結(jié)論依然成立。，也即坐標(biāo)變換公式為：2021/