初中數(shù)學(xué)北師大九年級上冊第四章圖形的相似相似三角形的周長和面積之比

1.理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.（重點）2.掌握相似三角形的周長比、面積比在實際中的應(yīng)用.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課問題：我們知道，如果兩個三角形相似，它們對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.那么它們周長的比之間有什么關(guān)系？也等于相似比嗎？面積之比呢？ABCA1B1C1問題引入講授新課相似三角形周長比等于相似比一問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,它們都相似嗎？(1)(2)(3)123(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的周長比=______，(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的周長比=______.1∶

2結(jié)論：相似三角形的周長比等于______．相似比（都相似）1∶

31∶

21∶

3有什么規(guī)律嗎？證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，求證：相似三角形的周長比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？相似三角形周長的比等于相似比.歸納總結(jié)(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的面積比=______(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的面積比=______相似三角形的面積比等于相似比的平方二1231∶

2（1）（2）（3）1∶

41∶

31∶

9問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,回答以下問題：結(jié)論：相似三角形的面積比等于__________．相似比的平方證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.ABCA′B′C′DD′想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？∵△ABC∽△A′B′C′.相似三角形的面積比等于相似比的平方.歸納總結(jié)1.已知ΔABC與ΔA′B′C′的相似比為2：3，則對應(yīng)邊上中線之比

，面積之比為

.

2.如果兩個相似三角形的面積之比為1:9，周長的比為______.

1:32:34:9練一練3如圖，在正方形網(wǎng)格上有和個三角形相似嗎？如果相似，請給出證明，并求出和的面積比．

，這兩例1：將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分的面積是△ABC的面積的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距離.

解：根據(jù)題意，可知EG∥AB.

∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.

∴△GEC∽△ABC

即，△ABC平移的距離為

如果兩個相似三角形的面積之比為2:7，較大三角形一邊上的高為7，則較小三角形對應(yīng)邊上的高為______.

練一練求三角形面積常用方法直接法ahS△=等積法S1S2等比法S1=S2(等底同高)(同底等高)S1S2(同高不同底)(2)如圖,DE∥BC,則△ADE與△ABC的相似比是__________,面積之比是_______.ABCDE課本來源“A’字型ABCDE變式一如圖,DE∥BC,DF∥AC,

S△ABC=a,則則四邊形DFCE的面積為______________.FABCABCDE如圖,DE∥FG∥BC,且AD=DF=FB,設(shè)△ABC被分成的三部分的面積分別為S1,S2,S3,求S1:S2:S3.ABCDES1S2S3FG變式二ABCABC變式三ABCDE如圖,DE∥BC,,則△ADE與△ABC的相似比是__________,面積之比是_______.“X”字型1.如圖,平行四邊形ABCD中,AE:EB=2:3,則S△APE:S△CPD=_____________.ABCDEP變式四2.ABCDEP如圖,平行四邊形ABCD中,BE:AB=2:3,且S△BPE=4,求平行四邊形ABCD的面積.變式五ABCDMEFN變式六如圖,BD是ABCD的對角線,且AE=EF=FC,求S△DMN:S△ACD

.變式七1.如圖,梯形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,設(shè)△OCD,△OAD,△OAB,△OCB的面積分別為S1,S2,S3,S4,且(1)試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系.AODCBS1S2S3S4“同高型”變式七1.如圖,梯形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,設(shè)△OCD,△OAD,△OAB,△OCB的面積分別為S1,S2,S3,S4,且(1)試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系.AODCBS1S2S3S4“同底等高型”變式八1.如圖,梯形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,設(shè)△OCD,△OAD,△OAB,△OCB的面積分別為S1,S2,S3,S4,且AODCBS1S2S3S4(2)若梯形改為”一般四邊形”,S1,S2,S3,S4之間的等量關(guān)系是否改變?中考鏈接(07濟(jì)寧中考)如圖,DE是△ABC的中位線,△ADE的面積為3㎝2,則四邊形BCED的面積為__________.ABCDE中考鏈接(黑龍江中考題)在

ABCD中,E為CD上一點,DE:CE=2:3,連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD相交于點F，則S△DEF:S△EBF:S△ABF=()ABCDEF(09孝感中考）.在△ABC內(nèi)任取一點P,過點P作三條直線分別平行于三角形的三邊,這樣所得的三個小三角形的面積分別為S1,S2,S3,且S1=4,S2=9,S3=49,求S△ABC.S1S2S3QGHABCDEFP中考鏈接中考鏈接(08溫州中考題)如圖，點A1、A2、A3、A4在射線OA上，點B1、B2、B3在射線OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3，若△A2B1B2，△A3B2B3的面積為1，4，則圖中陰影三角形的面積之和為___________.BOAA1A2A3A4B1B3B214在△ABC中,D為BC邊上的中點,E為AC邊上任意一點,BE交AD于點O,請?zhí)骄?EOABCDEABCDOBCEADOF競賽鏈接(山東省競賽題)ADOBCE根據(jù)以上規(guī)律,你能求

總結(jié)?ABC

總結(jié)?1.找到與已知和所求有關(guān)的基本圖形.S1S2S2S12.找到相似三角形及相似比3.利用面積比等于相似比的平方.

總結(jié)?解決A組題的關(guān)鍵:1.找到基本圖形S1S22.找到相似三角形及求出相似比3.利用相似三角形的面積比等于相似比的平方.知識背景2.等積法:等底等高的兩三角形面積相等.1.直接法:根據(jù)三角形的面積公式解題.③相似三角形的面積比等于相似比的平方.3.等比法:將面積比轉(zhuǎn)化為線段比.在相似三角形中求面積的常用方法①等底(或同底)的三角形面積之比等于高之比.②等高(或同高)的三角形面積之比等于對應(yīng)底之比.基本圖形S1S2③S1S2②同高不同底S1S2①等底同高S2S1④相似如圖,D、E、F是△ABC的各邊的中點,設(shè)△ABC的面積為S,求△DEF的面積.FABCDE變式二解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴1如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.ABCDEF∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為2如圖，D，E分別是AC，AB上的點，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2

.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).BCADE3，

如圖，△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當(dāng)D點為AB中點時，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE解：∵DE∥BC，D為AB中點，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.

∴ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.設(shè)S△ABC

=4，則S△ADE=1，S△EFC=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=1.判斷：(1)一個三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴(kuò)大為原來的5倍

()(2)一個四邊形的各邊長擴(kuò)大為原來的9倍，這個四邊形的面積也擴(kuò)大為原來的9倍

()√×當(dāng)堂練習(xí)3.

連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ

的值為()A．2B．4C．1D.C4.兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長____cm，面積為____cm2.145.

如圖，這是圓桌正上方的燈泡(點A)發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2

米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，

桌面的直徑為1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，

∴△ADF∽△ACH，ADEFCBH∴