必修四平面向量的實(shí)際背景及基本概念(附答案)

必修四平面向量的實(shí)際背景及基本概念(附答案)必修四平面向量的實(shí)際背景及基本概念(附答案)/NUM必修四平面向量的實(shí)際背景及基本概念(附答案)必修四平面向量的實(shí)際背景及基本概念(附答案)平面向量的實(shí)際背景及基本概念[學(xué)習(xí)目標(biāo)]知識(shí)點(diǎn)一向量的概念數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，沒(méi)有方向的量(如年齡、身高、體積等)稱為數(shù)量．注意：①向量的兩個(gè)要素：大小和方向，缺一不可．解題時(shí)，注意從兩個(gè)要素出發(fā)考慮問(wèn)題．②數(shù)量之間可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大?。伎家阎铝懈髁浚孩倭?；②功；③速度；④質(zhì)量；⑤溫度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是數(shù)量的有________________，是向量的有________________．答案②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧知識(shí)點(diǎn)二向量的表示方法(1)向量的幾何表示：向量可以用一條有向線段表示．帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，如圖所示．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c，…，表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時(shí)用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→)))．(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大?。阂簿褪窍蛄縠q\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度(或稱模)，即有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量．思考在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是________．答案單位圓知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量(1)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①記法：向量a平行于b，記作a∥b.②規(guī)定：零向量與任一向量平行．(3)共線向量：由于任意一組平行向量都可移動(dòng)到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量．也就是說(shuō)，平行向量與共線向量是等價(jià)的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆．思考向量平行具備傳遞性嗎？答案向量的平行不具備傳遞性，即若a∥b，b∥c，則未必有a∥c，這是因?yàn)?，?dāng)b＝0時(shí)，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.因此在今后學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意零向量的特殊性，解答問(wèn)題時(shí)，一定要看清題目中是“零向量”還是“非零向量”．題型一向量的基本概念例1判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．①若a≠b，則a一定不與b共線；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③在平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④若向量a與任一向量b平行，則a＝0；⑤若a＝b，b＝c，則a＝c；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.解兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確．②eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A、B、C、D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故②不正確．③在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，③正確．④零向量的方向是任意的，與任一向量平行，④正確．⑤a＝b，則|a|＝|b|且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|且b與c方向相同，則a與c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正確．若b＝0，由于a的方向與c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0時(shí)，a∥c成立，故⑥不正確．跟蹤訓(xùn)練1下列說(shuō)法正確的有________．(1)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；(2)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一條直線上；(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量；(4)任何兩個(gè)單位向量都是相等向量．答案(3)解析(1)錯(cuò)誤．由|a|＝|b|僅說(shuō)明a與b模相等，但不能說(shuō)明它們方向的關(guān)系．(2)錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求兩個(gè)向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上，因此點(diǎn)A、B、C、D不一定在同一條直線上．(3)正確．向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BA,\s\up6(→))是長(zhǎng)度相等，方向相反的兩個(gè)向量．(4)錯(cuò)誤．單位向量不僅有長(zhǎng)度，而且有方向；單位向量的方向不一定相同，而相等向量要求長(zhǎng)度相等，方向相同．題型二向量的表示及應(yīng)用例2一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.解(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.跟蹤訓(xùn)練2在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使b＝a；(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝eq\r(5)，并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長(zhǎng)度相等(作圖略)．(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為eq\r(5)的圓(作圖略)．題型三平行向量與共線向量例3如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)．(1)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量；(2)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))的模大小相等的向量；(3)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．解(1)因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)與eq\o(EF,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→)).跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知四邊形ABCD為?ABCD，則(1)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有多少個(gè)？(2)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)寫出與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量．解(1)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))三個(gè)向量．(2)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等且方向相反的向量為eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→)).(3)與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→)).

對(duì)向量的有關(guān)概念理解不清致誤例4下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①向量a，b共線，向量b，c共線，則a與c也共線；②任意兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)都分別重合；③向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行．A．1B．2C．3D．4錯(cuò)解向量共線具有傳遞性，相等向量的各要素相同(包括起點(diǎn)、終點(diǎn))，同起點(diǎn)共線向量不是平行向量．答案B或C或D錯(cuò)因分析對(duì)共線向量的概念理解不清，零向量與任一向量都是共線向量，共線向量也是平行向量，它與平面幾何中的共線和平行不同．正解事實(shí)上，對(duì)于①，由于零向量與任意向量都共線，因此①不正確；對(duì)于②，由于向量都是自由向量，則兩個(gè)相等向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)不一定重合，故②不正確；對(duì)于④，向量的平行只與方向有關(guān)，而與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，故④不正確；a與b不共線，則a與b都是非零向量，否則，不妨設(shè)a為零向量，則a與b共線，與a與b不共線矛盾，從而③正確．答案A1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若a＝0，則|a|＝0B．零向量是沒(méi)有方向的C．零向量與任一向量平行D．零向量的方向是任意的2．下列說(shuō)法正確的是()A．若|a|>|b|，則a>bB．若|a|＝|b|，則a＝bC．若a＝b，則a與b共線D．若a≠b，則a一定不與b共線3．如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))的關(guān)系是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|C.eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(DC,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))<eq\o(DC,\s\up6(→))4.如圖所示，以1×2方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)寫出與eq\o(AF,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．5．如圖所示，在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分別是AD，BC上的點(diǎn)且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，求證：四邊形DNBM是平行四邊形．一、選擇題1．下列條件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b| B．a(chǎn)與b的方向相同C．a(chǎn)＝0，b為任意向量 D．a(chǎn)＝0且b＝02．下列說(shuō)法正確的是()A．若a∥b，則a與b的方向相同或相反B．若a∥b，b∥c，則a∥cC．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等D．若a＝b，b＝c，則a＝c3．命題“若a∥b，b∥c，則a∥c”()A．總成立 B．當(dāng)a≠0時(shí)成立C．當(dāng)b≠0時(shí)成立 D．當(dāng)c≠0時(shí)成立4．如圖，在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則圖中相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))5．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正確的是()A．①④B．③C．①②③D．②③6．判斷下列命題中不正確的是命題個(gè)數(shù)為()①若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；②若向量|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；③對(duì)于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；④向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．A．1B．2C．3D．4二、填空題7．若對(duì)任意向量b，均有a∥b，則a為________．8．給出以下5個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a與b都是單位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序號(hào))9．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形的形狀為________．10．已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.三、解答題11．一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達(dá)B地．(1)畫出eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)求B地相對(duì)于A地的位置向量．12．如圖，已知eq\o(AA′,\s\up6())＝eq\o(BB′,\s\up6())＝eq\o(CC′,\s\up6()).求證：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6())，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).13．O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形，在如圖所示的向量中：(1)分別找出與eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)找出與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量；(3)找出與eq\o(AO,\s\up6(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？當(dāng)堂檢測(cè)答案1．答案B解析零向量的長(zhǎng)度為0，方向是任意的，它與任何向量都平行，所以B是錯(cuò)誤的．2．答案C解析A中，向量的?？梢员容^大小，因?yàn)橄蛄康哪Ｊ欠秦?fù)實(shí)數(shù)，雖然|a|>|b|，但a與b的方向不確定，不能說(shuō)a>b，A不正確；同理B錯(cuò)誤；D中，a≠b，a可與b共線．故選C.3．答案B解析|eq\o(AB,\s\up6(→))|與|eq\o(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度，故相等．4.解(1)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).5．證明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD，BC平行且相等．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，∴四邊形CNAM為平行四邊形，∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，∴四邊形DNBM是平行四邊形．當(dāng)堂檢測(cè)答案一、選擇題1．答案D2．答案D3．答案C解析當(dāng)b＝0時(shí)，不一定成立，因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量都平行．4．答案D解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC、BD互相平分，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).5．答案B解析a為任一非零向量，故|a|＞0.6．答案C解析①不正確．因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量．它由兩個(gè)因素來(lái)確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小，故①不正確．②不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，并不能判斷方向．③正確．∵|a|＝|b|，且a與b同向．由兩向量相等的條件可得a＝b.④不正確．因?yàn)橄蛄縜與向量b若有一個(gè)是零向量，則其方向不確定．二、填空題7．答案零向量8．答案①③④解析相等向量一定是共線向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共線向量，③能使a∥b；零向量與任一向量平行，④成立．9．答案菱形解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB綊DC∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是菱形．10．答案2eq\r(3)解析易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).三、解答題11．解(1)向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則B地相對(duì)于A地的位置向量為“北偏東60°，6千米”．12．證明(1)∵eq\o(AA′,\s\up6())＝eq\o(BB′,\s\u