新教材人教A版必修第二冊第9章912分層隨機抽樣學(xué)案

9.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍．(重點)2．了解分層隨機抽樣的必要性，把握各層樣本量比例安排的方法．(重點、難點)3．結(jié)合詳細(xì)實例，把握分層隨機抽樣的樣本均值．(重點)1．通過對分層隨機抽樣的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過對分層隨機抽樣的應(yīng)用，培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，學(xué)校生10900人，學(xué)校生11000人．此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中學(xué)校生的近視狀況及其形成緣由，要從本地區(qū)的中學(xué)校生中抽取1%的同學(xué)進行調(diào)查．問題：你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本？學(xué)問點1分層隨機抽樣的相關(guān)概念1．分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成假設(shè)干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中地進行簡潔隨機抽樣，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．2．比例安排：在分層隨機抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的安排方式為比例安排．1．(1)哪種狀況下適合選用分層隨機抽樣？(2)簡潔隨機抽樣和分層隨機抽樣有什么區(qū)分和聯(lián)系？[提示](1)在個體之間差異較大的情形下，只要選取的分層變量適宜，使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大，分層隨機抽樣的效果一般會好于簡潔隨機抽樣．(2)區(qū)分：簡潔隨機抽樣是從總體中逐個抽取樣本；分層隨機抽樣那么首先將總體分成幾層，在各層中按比例安排抽取樣本．聯(lián)系：①抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；②每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣．1．思索辨析(正確的畫“√〞，錯誤的畫“×〞)(1)在統(tǒng)計實踐中選擇哪種抽樣方法關(guān)鍵是看總體容量的大?。?()(2)分層隨機抽樣中，個體數(shù)量較少的層抽取的樣本數(shù)量較少，這是不公正的． ()(3)從全班50名同學(xué)中抽取5人調(diào)查作業(yè)完成狀況適合用分層隨機抽樣． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．某校高三班級有男生500人，女生400人，為了解該班級同學(xué)的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查．這種抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數(shù)表法 D．分層隨機抽樣D[從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機抽樣．]3．某校有高一同學(xué)400人，高二同學(xué)380人，高三同學(xué)220人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層隨機抽樣的方法抽取50名同學(xué)進行問卷調(diào)查，那么以下推斷正確的選項是()A．高一同學(xué)被抽到的可能性最大B．高二同學(xué)被抽到的可能性最大C．高三同學(xué)被抽到的可能性最大D．每位同學(xué)被抽到的可能性相等D[依據(jù)分層隨機抽樣，每個個體被抽到的概率是相等的，都等于eq\f(50,400＋380＋220)＝eq\f(1,20)．]4．某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名同學(xué)，為了調(diào)查這些同學(xué)勤工儉學(xué)的狀況，擬采納分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．該學(xué)院的A專業(yè)有380名同學(xué)，B專業(yè)有420名同學(xué)，那么在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取________名同學(xué)．40[C專業(yè)的同學(xué)有1200－380－420＝400(名)，由分層隨機抽樣原理，應(yīng)抽取120×eq\f(400,1200)＝40(名)．]學(xué)問點2分層隨機抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)1層2層層個體數(shù)MN層樣本量mn層個體變量值X1，X2，…，XMY1，Y2，…，YN層樣本的個體變量值x1，x2，…，xmy1，y2，…，yn層總體平均數(shù)層樣本平均數(shù)總體平均數(shù)樣本平均數(shù)2．(1)可以用eq\f(M×\x\to(x)＋N×\x\to(y),M＋N)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)估量總體平均數(shù)eq\x\to(W)嗎？(2)在比例安排的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)eq\x\to(w)估量總體平均數(shù)eq\x\to(W)嗎？[提示](1)可以，由于用第1層的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)可以估量第1層的總體平均數(shù)eq\x\to(X)，用第2層的樣本平均數(shù)eq\x\to(y)可以估量第2層的總體平均數(shù)eq\x\to(Y)．因此可以用eq\f(M×\x\to(x)＋N×\x\to(y),M＋N)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)估量總體平均數(shù)eq\x\to(W)．(2)在比例安排的分層隨機抽樣中，eq\f(m,M)＝eq\f(n,N)＝eq\f(m＋n,M＋N)，可得eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)＝eq\x\to(w)．因此，在比例安排的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)eq\x\to(w)估量總體平均數(shù)eq\x\to(W)．5．為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高為1.60m；從南方抽取了200個男孩，平均身高為1.50m．由此可估量我國13歲男孩的平均身高為()A．1.57mB．1.56mC．1.55mD．1.54mB[由于從北方抽取了300個男孩，平均身高為1.60m，從南方抽取了200個男孩，平均身高為1.50m，所以這500名13歲男孩的平均身高是eq\××200,500)＝1.56(m)，據(jù)此可估量我國13歲男孩的平均身高為1.56m．]類型1對分層隨機抽樣概念的理解【例1】(1)某政府機關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上10人，一般70人，工人20人，上級部門為了了解該機關(guān)對政府機構(gòu)的意見，要從中抽取20人，用以下哪種方法最適宜()A．抽簽法 B．隨機數(shù)法C．簡潔隨機抽樣法 D．分層隨機抽樣法(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個體歸入一類(層)，然后每類抽取假設(shè)干個個體構(gòu)成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必需進行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．全部層按同一抽樣比等可能抽樣D．全部層抽取的個體數(shù)量相同(1)D(2)C[(1)總體由差異明顯的三局部構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機抽樣法．(2)保證每個個體等可能的被抽取是三種根本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必需在全部層都按同一抽樣比等可能抽取．]1．使用分層隨機抽樣的前提分層隨機抽樣的總體按一個或多個變量劃分成假設(shè)干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體，而層內(nèi)個體間差異較小．2．使用分層隨機抽樣應(yīng)遵循的原那么(1)將相像的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原那么．(2)分層隨機抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡潔隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．以下問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參與座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購置力的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡潔隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．]類型2分層隨機抽樣的應(yīng)用【例2】某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，老師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對學(xué)校機構(gòu)的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]抽樣過程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8)．其次步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；從老師中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采納簡潔隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，老師人員14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個體組合在一起構(gòu)成所需樣本．分層隨機抽樣的步驟是什么？[提示]分層隨機抽樣的步驟：eq\o([跟進訓(xùn)練])2．在一批電視中，有甲廠生產(chǎn)的56臺，乙廠生產(chǎn)的42臺，用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為14的樣本．[解](1)確定各廠被抽取電視機的臺數(shù)，抽樣比為eq\f(14,56＋42)＝eq\f(1,7)，故從甲廠抽取56×eq\f(1,7)＝8(臺)，從乙廠抽取42×eq\f(1,7)＝6(臺)．(2)在各廠用簡潔隨機抽樣抽取作為樣本的電視機．(3)合成每層抽樣，組成樣本．類型3分層隨機抽樣中的計算問題【例3】(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層隨機抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．假設(shè)在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，那么這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101B．808C．1212D．2012(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2．假設(shè)用分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，那么應(yīng)從C中抽取________個個體．(3)分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，那么該樣本的平均數(shù)為____________．1．在分層隨機抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個體數(shù)？[提示]每層抽取的個體的個數(shù)為ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)，eq\f(n,N)為抽樣比．2．在分層隨機抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個體數(shù)、各層抽取的樣本數(shù)這四者之間有何關(guān)系？[提示]設(shè)總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)為Ni，各層抽取的樣本數(shù)為ni，那么eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，這四者中，其中三個可以求出另外一個．(1)B(2)20(3)6[(1)由于甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．(2)∵A，B，C三層個體數(shù)之比為5∶3∶2，總體中每個個體被抽到的可能性相等，∴分層隨機抽樣應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個)個體．(3)eq\x\to(w)＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6．]在例3(2)中，A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20，那么樣本的平均數(shù)為________．20.5[由題意可知樣本的平均數(shù)為eq\x\to(w)＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5．]進行分層隨機抽樣的相關(guān)計算時，常用到的2個關(guān)系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))．(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．(3)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．生物等級考試成果位次由高到低分為A、B、C、D、E．各等級人數(shù)所占比例依次為∶A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從參與生物等級考試的同學(xué)中抽取300人作為樣本，那么該樣本中獲得A或B等級的同學(xué)人數(shù)為()A．95B．144C．120D．165D[設(shè)該樣本中獲得A或B等級的同學(xué)人數(shù)為x，那么eq\f(x,300)＝eq\f(15＋40,100)，∴x＝165．應(yīng)選：D．]1．某學(xué)校為了了解三班級、六班級、九班級這三個班級之間的同學(xué)的課業(yè)負(fù)擔(dān)狀況，擬從這三個班級中按人數(shù)比例抽取局部同學(xué)進行調(diào)查，那么最合理的抽樣方法是()A．抽簽法 B．簡潔隨機抽樣C．分層隨機抽樣 D．隨機數(shù)法C[依據(jù)班級不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應(yīng)為分層隨機抽樣．]2．甲校有3600名同學(xué)，乙校有5400名同學(xué)，丙校有1800名同學(xué)，為統(tǒng)計三校同學(xué)某方面的狀況，方案采納分層隨機抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取同學(xué)()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人B[先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽