離散數(shù)學(xué)圖的概念與表示

第十六章圖的概念與表示16.1圖的基本概念16.2鏈(或路)與圈(或回路)16.4圖的矩陣表示退出16.1圖的基本概念什么是圖?可用一句話概括，即：圖是用點(diǎn)和線來(lái)刻劃離散事物集合中的每對(duì)事物間以某種方式相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型。因?yàn)樗@得太抽象，不便于理解，所以有必要給出另外的回答。下面便是把圖作為代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)定義。定義16.1.1一個(gè)圖G定義為一個(gè)三元組<V，E，φ>，記作G=<V，E，φ>。其中V是個(gè)非空有限集合，它的元素稱為結(jié)點(diǎn)；E也是個(gè)有限集合，其元素稱為邊，而φ是從E到V中的有序?qū)驘o(wú)序?qū)Φ挠成?。由定義可知，圖G中的每條邊都與圖中的無(wú)序或有序結(jié)點(diǎn)對(duì)相聯(lián)系的。若邊e∈E與無(wú)序結(jié)點(diǎn)對(duì)〔vi，vj〕相聯(lián)系，則φ(e)=〔vi，vj〕，這時(shí)邊e稱為無(wú)向邊，有時(shí)簡(jiǎn)稱為邊；若邊e∈E與有序結(jié)點(diǎn)對(duì)<vi，vj>相聯(lián)系，則φ(e)=<vi，vj>，此時(shí)邊e稱為有向邊或弧，vi稱為弧e的始結(jié)點(diǎn)，vj稱為弧e的終結(jié)點(diǎn)。若結(jié)點(diǎn)vi與vj由一條邊(或弧)e所聯(lián)結(jié)，則稱結(jié)點(diǎn)vi和vj是邊(或弧)e的端結(jié)點(diǎn)；同時(shí)也稱結(jié)點(diǎn)vi與vj是鄰接結(jié)點(diǎn)，記作vi

adjvj；否則為非鄰接結(jié)點(diǎn)，記作vinadjvj；也說(shuō)邊(或弧)e關(guān)聯(lián)vi與vj或說(shuō)結(jié)點(diǎn)vi與vj關(guān)聯(lián)邊(或弧)e。關(guān)聯(lián)同一個(gè)結(jié)點(diǎn)的兩條邊或弧稱為鄰接邊或弧。而聯(lián)結(jié)一結(jié)點(diǎn)與它自身的一條邊，稱為環(huán)。環(huán)的方向是無(wú)意義的。如果把圖G中的弧或邊總看作聯(lián)結(jié)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，則圖G可簡(jiǎn)記為G=<V，E>，其中V是非空結(jié)點(diǎn)集，E是聯(lián)結(jié)結(jié)點(diǎn)的邊集或弧集。定義16.1.2在圖G=<V，E>中，如果每條邊都是弧，該圖稱為有向圖；若每條邊都是無(wú)向邊，該圖G稱為無(wú)向圖；如果有些邊是有向邊，另一些邊是無(wú)向邊，圖G稱為混合圖。定義16.1.3在圖G=<V，E>中，如果任何兩結(jié)點(diǎn)間不多于一條邊(對(duì)于有向圖中，任何兩結(jié)點(diǎn)間不多于一條同向弧)，并且任何結(jié)點(diǎn)無(wú)環(huán)，則圖G稱為簡(jiǎn)單圖；若兩結(jié)點(diǎn)間多于一條邊(對(duì)于有向圖中，兩結(jié)點(diǎn)間多于一條同向弧)圖G稱為多重圖，并把聯(lián)結(jié)兩結(jié)點(diǎn)之間的多條邊或弧，稱為平行邊或弧，平行邊或弧的條數(shù)稱為重?cái)?shù)。定義16.1.4給每條邊或弧都賦予權(quán)的圖G=<V，E>，稱為加權(quán)圖，記為G=<V，E，W>，其中W表示各邊之權(quán)的集合。加權(quán)圖在實(shí)際中有許多應(yīng)用，如在輸油管系統(tǒng)圖中權(quán)表示單位時(shí)間流經(jīng)管中的石油數(shù)量；在城市街道中，權(quán)表示表示通行車輛密度；在航空交通圖中，權(quán)表示兩城市的距離等等。定義16.1.5在無(wú)向圖G=<V，E>中，如果V中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都與其余的所有結(jié)點(diǎn)鄰接，即(vi)(vj)(vi，vj∈V→〔vi，vj〕∈E)則該圖稱為無(wú)向完全圖，記作K|V|。若|V|=n，該圖記作Kn。在一個(gè)圖中，如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)不與任何其他結(jié)點(diǎn)鄰接，則該結(jié)點(diǎn)稱為孤立結(jié)點(diǎn)。僅有孤立結(jié)點(diǎn)的圖稱為零圖。顯然，在零圖中邊集為空集。若一個(gè)圖中只含一個(gè)孤立結(jié)點(diǎn)，該圖稱為平凡圖。定義16.1.6在有向圖G=<V，E>中，對(duì)任意結(jié)點(diǎn)v∈V，以v為始結(jié)點(diǎn)的弧的條數(shù)，稱為結(jié)點(diǎn)v的出度，記為d+(v)；以v為終結(jié)點(diǎn)的弧的條條數(shù)，稱為v的入度，記作d-(v)；結(jié)點(diǎn)v的出度與入度之和，稱為結(jié)點(diǎn)的度數(shù)，記為d(v)，顯然d(v)=d+(v)+d-(v)。對(duì)于無(wú)向圖G=<V，E>，結(jié)點(diǎn)v∈V的度數(shù)等于聯(lián)結(jié)它的邊數(shù)，也記為d(v)。若v點(diǎn)有環(huán)，規(guī)定該點(diǎn)度因環(huán)而增加2。顯然，對(duì)于孤立結(jié)點(diǎn)的度數(shù)為零。此外，對(duì)于無(wú)向圖G=<V，E>，記Δ(G)或Δ=max{d(v)|v∈V}δ(G)或δ=min{d(v)|v∈V}它們分別稱為圖G的最大度和最小度。關(guān)于無(wú)向圖中的結(jié)點(diǎn)的度，歐拉給出一個(gè)定理，這是圖論中的第一個(gè)定理。定理16.1.1給定無(wú)向圖G=<V，E>，則定理16.1.2在任何無(wú)向圖中，奇度結(jié)點(diǎn)的數(shù)目為偶數(shù)。定義16.1.7在無(wú)向圖G=<V，E>中，如果每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度是k，即(v)(v∈V→d(v)=k)，則圖G稱為k度正則圖。顯然，對(duì)于k度正則圖G，Δ(G)=δ(G)=k。定義16.1.8給定無(wú)向圖G1=<V1，E1>和G2=<V2，E2>，于是(1)如果V2V1和E2E1，則稱G2為G1的子圖，記為G2G1。(2)如果V2V1，E2E1且E2≠E1，則稱G2為G1的真子圖，記為G2G1。(3)如果V2=V1，E2E1，則稱G2為G1的生成子圖，記為G2G1。定義湊16藍(lán).1津.9設(shè)圖G2=<V2，E2>是圖G1=<V1，E1>的子為圖。消若對(duì)壯任意船結(jié)點(diǎn)u和v，如果義〔u，v〕∈E1，有〔u，v〕∈E2，則G2由V2唯一差地確頁(yè)定，輝并稱G2是結(jié)權(quán)點(diǎn)集宿合V2的誘貌導(dǎo)子您圖，吼記作喂<V2>或G〔V2〕；如果G2無(wú)孤鉛立結(jié)鎖點(diǎn)，哭且由E2所唯毒一確耗定，走則稱G2是邊在集E2的誘靠導(dǎo)子鋒圖，跨記為廚<E2>或G〔E2〕。定義匙16揉.1約.1酸0設(shè)圖G1=<V1，E1>和圖G2=<V2，E2>是圖G=<V，E>的子舊圖。欠如果E2=E-E1且G2=<E2>，則稱雪圖G2是相慌對(duì)于辣圖G的子脂圖G1的補(bǔ)刮圖。定義叮16醫(yī).1說(shuō).1于1給定厚圖G=<V，E>，若存理在圖G1=<V，E1>，并且E1∩E=和圖炊<V，E1∪E>是完輪全圖訓(xùn)，則G1稱為遲相對(duì)宋于完倍全圖念的G的補(bǔ)廟圖，莖簡(jiǎn)稱G1是G的補(bǔ)但圖，喘并記年為G1=治。顯然夾，G與燦互孝為補(bǔ)川圖。在圖天的定躺義中惹，強(qiáng)今調(diào)的辰是結(jié)宴點(diǎn)集未、邊刮集以伏及邊悟與結(jié)鐮點(diǎn)的失關(guān)聯(lián)餅關(guān)系碑，既遙沒(méi)有渡涉及亂到聯(lián)胃結(jié)兩奸個(gè)結(jié)城點(diǎn)的幼邊的秩長(zhǎng)度輸、形損狀和劑位置貴，也扣沒(méi)有劍給出浙結(jié)點(diǎn)青的位勇置或她者規(guī)帝定任含何次或序?？梢虼穗x，對(duì)租于給爽定的旱兩個(gè)坊圖，登在它編們的布圖形漆表示妄中，旬即在攝用小壁圓圈燭表示脈結(jié)點(diǎn)侍和用律直線繁或曲豈線表泡示聯(lián)叢結(jié)兩約個(gè)結(jié)煩點(diǎn)的嬸邊的室圖解綁中，符看起裕來(lái)很閃不一紫樣，素但實(shí)男際上煉卻是奧表示陣同一站個(gè)圖聯(lián)。因蹤蝶而，投引入含兩圖維的同遇構(gòu)概漿念便赤是十附分必谷要的閥了。定義撕16肚.1觸.1紡2給定城無(wú)向刃圖(框或有攻向圖仆)G1=<V1，E1>和G2=<V2，E2>。若存現(xiàn)在雙奶射f∈V2V1，使得父對(duì)任哀意v，u∈V1，有〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕濫∈E2(或<u，v>∈E1<f(u)，f(v)>抵∈E2)則稱G1同構(gòu)結(jié)于G2，記為G1G2。顯然弊，兩骨圖的擱同構(gòu)月是相繩互的攻，即G1同構(gòu)客于G2，G2同構(gòu)脾于G1。由同莊構(gòu)的政定義鎖可知惠，不歡僅結(jié)谷點(diǎn)之篇間要澆具有匹一一詞對(duì)應(yīng)僻關(guān)系肥，而管且要俗求這鍛種對(duì)檔應(yīng)關(guān)雹系保僵持結(jié)執(zhí)點(diǎn)間逼的鄰漿接關(guān)氧系?？藢?duì)于焦有向傳圖的朽同構(gòu)形還要惰求保巡壽持邊醋的方閘向。一般歪說(shuō)來(lái)休，證顯明兩摧個(gè)圖拳是同但構(gòu)的枯并非哀是輕福而易攪舉的裳事情旋，往撓往需櫻要花察些氣椅力。牙請(qǐng)讀脂者證點(diǎn)明圖16改.1軌.1肺3中兩書(shū)個(gè)圖掉是同降構(gòu)的矮。根據(jù)伏圖的密同構(gòu)傷定義退，可補(bǔ)以給方出圖組同構(gòu)繭的必知要條散件如則下：(1嶄)環(huán)結(jié)點(diǎn)至數(shù)目貧相等享；(2耍)拿邊數(shù)嬌相等搭；(3具)慚度數(shù)切相同糠的結(jié)太點(diǎn)數(shù)訊目相蒼等。但這澆僅僅蠢是必污要條竭件而布不是襪充分習(xí)條件。我滿足潔上述冰三個(gè)歐條件緣瑞，然辭而并乒不同工構(gòu)。浪因此伐在(a)中度泊數(shù)為昌3的海結(jié)點(diǎn)x與兩桌個(gè)度壟數(shù)為名1的弱結(jié)點(diǎn)捧鄰接彼，而張(b)中度鈔數(shù)為掉3的養(yǎng)結(jié)點(diǎn)y僅與員一個(gè)劉度數(shù)錯(cuò)為1握的結(jié)悔點(diǎn)鄰?fù)┙印ふ易笠环N個(gè)簡(jiǎn)單傻有效食的方喊法來(lái)定判定案圖的迫同構(gòu)們，至饅今仍除是圖危論中詳懸而張未決少的重案要課鍛題。人民太郵電恰出版勾社高等衣學(xué)校臘21悲世紀(jì)光教材例如涌圖1牽0.廊1.興14羞中(a)與(b)圖獅10者.1優(yōu).1塘3返回返回圖頂1.波1.蝕1416梨.2煩鏈(斯或路義)與亡圈(后或回項(xiàng)路)在無(wú)剃向圖患(或站有向該圖)踐的研謠究中薯，常漂?？祭響]從之一個(gè)節(jié)結(jié)點(diǎn)斗出發(fā)場(chǎng)，沿畢著一婦些邊腥(或慢弧)鑼連續(xù)欺移動(dòng)誕而達(dá)惑到另不一個(gè)諒指定槳結(jié)點(diǎn)嗽，這刮種依裁次由葬結(jié)點(diǎn)及和邊擴(kuò)(或塌弧)敞組成忠的序賣列，噸便形陳成了侍鏈(混或路疲)的確概念地。定義凱16吩.2運(yùn).1給定鑒無(wú)向榜圖(知或有跳向圖主)G=<V，E>。令v0，v1，…紫，vm∈V，邊(胞或弧哪)e1，e2，…選，em∈E，其中vi-1，vi是ei的結(jié)瓣點(diǎn)，據(jù)交替型序列v0e1v1e2v2…emvm稱為艱連接v0到vm的鏈鑼(或賤路)宴。v0和vm分別爺稱為潑鏈(丘或路男)的庸始結(jié)當(dāng)點(diǎn)和辮終結(jié)鼠點(diǎn)，前而邊艷(或腫弧)紹的數(shù)虜目稱悔為鏈曬(或危路)所的長(zhǎng)估度。而若v0=vm時(shí)，冊(cè)該鏈漁(或禁路)地稱為常圈(綁或回安路)筐。定義遍16假.2跌.2在一秧?xiàng)l鏈打(或慣路)到中，阿若出絡(luò)現(xiàn)的搏邊(躬或弧樓)都退是不虛相同固的，復(fù)稱該樣鏈(本或路買)為書(shū)簡(jiǎn)單紀(jì)鏈(橋或簡(jiǎn)院?jiǎn)温肺?；房誠(chéng)若出泡現(xiàn)的幕結(jié)點(diǎn)渡都是狐不相肅同的辭，稱參該鏈?zhǔn)?或肯路)角為基紫本鏈鍬(或尿基本載路)盛。顯然舉，每同條基截本鏈扣(或閱基本若路)汁必定境是簡(jiǎn)鋒單鏈粥(或酒簡(jiǎn)單攀路)偷。定義齊16汽.2縱.3在一早圈(引或回壺路)迎中，個(gè)若出陵現(xiàn)的肯每條用邊(篇或弧先)恰故好一對(duì)次，話稱該呢圈(推或回粘路)俗為簡(jiǎn)準(zhǔn)單圈銷(或腔簡(jiǎn)單皆回路陜)；殲若出葉現(xiàn)的掩每個(gè)鄭結(jié)點(diǎn)遣恰好貸一次板，稱揚(yáng)該圈營(yíng)(或游回路短)為男基本貞圈(栗或基椒本回此路)自。可以益看出但，對(duì)屆于簡(jiǎn)堤單圖沃來(lái)說(shuō)誦，鏈嬌(或捉路)息和圈陪(或秋回路僅)能記夠僅概用結(jié)您點(diǎn)序事列表威示之鐘。定理營(yíng)16噸.2拳.1在一附個(gè)圖噴中，控若從劣結(jié)點(diǎn)vi到結(jié)脅點(diǎn)vj存在揭一條門鏈(孩或路嫌)，顯則必艘有一挎條從vi到vj的基齡本鏈閃(或所基本攻路)史。定理醬16登.2尿.2在一午個(gè)具程有n個(gè)結(jié)鑼點(diǎn)的遺圖中碼，則(1襯)桿任何恥基本影鏈(顛或路飲)的勝長(zhǎng)度準(zhǔn)均不宮大于n-1物。(2蹈)任何預(yù)基本慶圈(世或路格)的冠長(zhǎng)度庫(kù)均不脖大于n。定義惱16午.2顆.4在一誼個(gè)圖刻中，貓若從vi到vj存在繩任何鋼一條屠鏈(踐或路罷)，雞則稱姐從vi到vj是可頌達(dá)的將，或項(xiàng)簡(jiǎn)稱vi可達(dá)vj。為完披全起烈見(jiàn)，纖規(guī)定括每個(gè)確結(jié)點(diǎn)魔到其蠟自身腸是可學(xué)達(dá)的符。對(duì)于記無(wú)向概圖G來(lái)說(shuō)克，不停難證朗明結(jié)識(shí)點(diǎn)間秒的可于達(dá)性縣是結(jié)絨點(diǎn)集紗合上治的等嚇價(jià)關(guān)咬系。韻因此恩它將精結(jié)點(diǎn)沃集合繪給出僵一個(gè)鳥(niǎo)劃分峰，并努且劃緣瑞分中芒的每帶個(gè)元?jiǎng)e素形燥成一夫個(gè)誘辣導(dǎo)子趨圖；獅兩結(jié)顏點(diǎn)之折間是火可達(dá)現(xiàn)的當(dāng)績(jī)且僅襖當(dāng)它秒們屬豪于同竊一個(gè)脾子圖屆，稱屋這種盈子圖劇為圖G的連蒼通分迫圖，狹圖G的連嶺通分割圖的隨個(gè)數(shù)乓，記饅為ω(G)。定義隨16踢.2膊.5若圖G只有示一個(gè)歐連通梁分圖艦，則優(yōu)稱G是連捉通圖抄；否世則，蛾稱圖G為非弦連通榜圖或哀分離梅圖。在圖嫂的研狀究中零，常材常需炒要考粗慮刪育去與果增加亭結(jié)點(diǎn)任、結(jié)怠點(diǎn)集海、邊摩和邊擱集（好或弧黃集）汁的問(wèn)乎題。叨所謂醋從圖G=<V,E>中刪染去結(jié)婆點(diǎn)集S，是指錦作V-S以及隙從E中刪支去與S中的富全部戀結(jié)點(diǎn)張相聯(lián)敘結(jié)的雨邊而筑得到鏈的子尺圖，臺(tái)記作G-S；特別窄當(dāng)S=|v|時(shí)，防簡(jiǎn)記采為G-v；所謂近從圖G=<V,E>中刪縱去邊畏集（姜或弧雙集）T，是指不作E-T，且T中的殘全部患邊所婚關(guān)聯(lián)爆的結(jié)澆點(diǎn)仍權(quán)在V中而壞得到烘的子具圖，夜記為G-T；特別村當(dāng)T={e}時(shí)，警簡(jiǎn)記漁作G-e。所謂榜圖G=<V,E>增加館結(jié)點(diǎn)至集S，是指哈作V∪T以及直向E中并朗入S中、S與V中所驚成的番邊而兄得到咬的圖袋，記承作G+S；特別蒜當(dāng)S={v}時(shí)，價(jià)簡(jiǎn)記娘為G+v；圖G=<V,E>增加下邊集諷（或胡弧集現(xiàn)）T是指添作E∪T所得狀到的械圖，暫記作G+T，這里T中全崇部邊只（或紙?。﹪W的關(guān)喉聯(lián)結(jié)執(zhí)點(diǎn)屬呈于V。定義無(wú)16丸.2螺.6給定之連通蝴無(wú)向立圖G=<V，E>，SV。若ω(G-S)＞ω(G)，但TS有(G-T)=(G)，則稱S是G的一牙個(gè)分憂離結(jié)撒點(diǎn)集般。若峰圖G的分膠離結(jié)巴點(diǎn)集S={v}，則稱v是G的割餃點(diǎn)。類似挖地可走定義旱圖G的分?jǐn)傠x邊虎集T；若圖G的分毒離邊圈集T={e}，則稱e是G的割賀邊或弊橋。對(duì)于肉連通耳的非聞平凡朽圖G，稱(G)={|S||S是G的分陡離結(jié)葡點(diǎn)集}為圖G的結(jié)樹(shù)點(diǎn)連佛通度秋，它脹表明丟產(chǎn)生肆不連刑通圖媽而需捎要?jiǎng)h漫去結(jié)顯點(diǎn)的浙最少壘數(shù)目齡。于憂是，凱對(duì)于史分離寺圖G，(G)=卸0；對(duì)于銷存在獅割點(diǎn)脖的連美通圖G，(G)=刺1。類似襪地定沈義邊問(wèn)連通柱度(G)={|T||T是G的分戲離邊仔集}，它假表明屯產(chǎn)生踏不連患通圖船而需閱要?jiǎng)h皇去邊懷的最歡少數(shù)醬目。擾可見(jiàn)搬，對(duì)椅于分淺離圖G，(G)=酷0；對(duì)于降完全傍圖G，(G)=游0；對(duì)于電圖K1，(K1)=輩0；對(duì)于扮存在盒割邊砍的連佛通圖G，(G)=叛1；對(duì)于英完全營(yíng)圖Kn，(Kn)=n-1越。下面舒是由跡惠特吃尼(H.品Wh褲it膨ne劃y)于1送93有2年譽(yù)得到忙的關(guān)耽于結(jié)雷點(diǎn)連范通度芳、邊墨連通圍度和虜最小唱度的另不等借式聯(lián)筍系的案定理窩：定理曬16途.2參.3對(duì)于橡任何償一個(gè)叢無(wú)向蠅圖G，有(G)≤(G)≤δ(G)。定理雨16經(jīng).2鏈.4一個(gè)燦連通甘無(wú)向材圖G中的這結(jié)點(diǎn)v是割聾點(diǎn)存在魚(yú)兩個(gè)顆結(jié)點(diǎn)u和w，使得樣聯(lián)結(jié)u和w的每新條鏈莖都經(jīng)傲過(guò)v。定理癢16旁.2碌.5一個(gè)恨連通籮無(wú)向犁圖G中的野邊e是割賭邊斜存在椒兩個(gè)將結(jié)點(diǎn)u和w，使得吃聯(lián)結(jié)u與w的每廢條鏈鍋都經(jīng)檢過(guò)e。下面模再給原出一疼個(gè)判攔定一分條邊槍是割搖邊的醉充要趴條件稻。定理挺16廳.2瓦.6連通遣無(wú)向科圖G中的露一條吸邊e是割絮邊e不包覽含在捐圖的夫任何扇基本拜圈中掏。對(duì)于模有向腦圖而她言，忠結(jié)點(diǎn)代間的等可達(dá)阿性不基再是廣等價(jià)南關(guān)系染，它槳僅僅打是自殘反的理和傳播遞的歇。一呼般說(shuō)跨來(lái)，憲不是產(chǎn)對(duì)稱翻的。泳因此獲，有渴向圖命的連服通概漏念較詳之無(wú)六向圖筐要復(fù)借雜得陶多。對(duì)于撓給定呼的有擠向力G，要略省去G中每判條邊噸的方泰向便欺得到偏一個(gè)藍(lán)無(wú)向演圖G1，稱G1是G的基栗礎(chǔ)圖沾。定義掙16蓬.2哀.7在簡(jiǎn)童單有角向圖G中，恥若G中任梅何兩碧個(gè)結(jié)徹點(diǎn)間側(cè)都是哥可達(dá)沒(méi)的，什則稱G是強(qiáng)佩連通廟的；父若任緣瑞何兩含個(gè)結(jié)不點(diǎn)間命至少荒是從惰一個(gè)融結(jié)點(diǎn)逐可達(dá)溝另一留個(gè)結(jié)智點(diǎn)，雪則稱G是單財(cái)向連拋通的嚼；若商有向械圖G不是位單向系連通寒的，銹但其蒙基礎(chǔ)科圖是園連通眼的，稍則稱G是弱殊連通榨的。從上匠面定襯義可撿知，翅若圖G是強(qiáng)芬連通紫的，圾則它奶必是觸單向懼連通那的，等但反衛(wèi)之未明必真犁；若泊圖G是單燒向連沿通的您，則無(wú)它必差是弱脾連通府的，嬸反之糧不真夜。定理爪16輝.2鞭.7有向娛圖G是強(qiáng)聚連通四的G中有凡一回廣路，忙它至春少通扮過(guò)每球個(gè)結(jié)憂點(diǎn)一攜次。令G是簡(jiǎn)譜單有臉向圖浙，對(duì)棄于某牽種性系質(zhì)而皺言，雄若G中再松沒(méi)有丈其它設(shè)包含聰子圖G1的真行子圖君具有撇這種秩性質(zhì)柿，則瞧稱G1是G的關(guān)下于該情性質(zhì)掉的極夸大子鋒圖。定義屯16忽.2思.8在簡(jiǎn)匹單有捎向圖碎中，支具有密強(qiáng)連汗通性嶼質(zhì)的癢極大完子圖州，稱債為強(qiáng)軍分圖串；具緞?dòng)袉未粝蜻B凝通性胖質(zhì)的倒極大更子圖慮，稱猴為單評(píng)向分導(dǎo)圖；倍具有萍弱連姜通性蜂質(zhì)的礙極大陣子圖絞，稱話為弱淋分圖銳。定理堅(jiān)16庫(kù).2誘.8簡(jiǎn)單丙有向辭圖中過(guò)的任嘴一個(gè)雕結(jié)點(diǎn)脫恰位姓于一翼個(gè)強(qiáng)俘分圖扶中。注意挖，有螺向圖張中的滾任意威一弧蜓未必貸恰位木于一全個(gè)強(qiáng)靜分圖狀中，頂例如沾，在鼻圖1煎0.論2.糟6中袖，弧諸<v1,v2>位于蜘結(jié)點(diǎn)些集合{v1,v2,v3}的誘懲導(dǎo)子彎圖中材，但拉弧<v3,v4>不位怖于任常何強(qiáng)蘇分圖濾之中洞。類似鉛地可隔以證捏明下吹面兩稿個(gè)定兔理：定理圈16拜.2經(jīng).9簡(jiǎn)單腥有向撿圖中喘的每塘個(gè)結(jié)寒點(diǎn)和南每條鄰弧至獨(dú)少位醉于一辮個(gè)單對(duì)向分互圖中聰。定理掃16別.2預(yù).1給0簡(jiǎn)單淚有向挨圖中叢的每漠個(gè)結(jié)徑點(diǎn)和扭每條毯弧恰這位于嚇一個(gè)殿弱分儉圖中雀。如果鼓結(jié)點(diǎn)u可達(dá)蒜結(jié)點(diǎn)v，它們殊之間梅可能鈴存在緊不止勿一條攤鏈(冶或路童)。傘在所柱有這動(dòng)些鏈臭(或韻路)村中，禿最短生鏈(農(nóng)或路蛾)的要長(zhǎng)度滋稱為耕結(jié)點(diǎn)u和v之間承的距誘離或妖短程餐線或毛測(cè)地任線，堤記作d<u，v>。距離鏟滿足稿下列且性質(zhì)棟：d<u，v>≥醒0d<u，u>=天0d<u，v>+d<v，w>≥d<u，w>如果u不可司達(dá)v，則d<u，v>=谷+∞揚(yáng)。此外覺(jué)，要暑注意輛，即襲使u與v相互賀可達(dá)沿，d<u，v>未必理等于d<v，u>。下面享給出丹簡(jiǎn)單柳有向飾圖的絞一個(gè)弓應(yīng)用齊——攜資源針?lè)峙淝矆D。在多賊道程墓序的尼計(jì)算冒機(jī)系渣統(tǒng)中旁，可裝以同盒時(shí)執(zhí)栽行多持個(gè)程嚴(yán)序。他實(shí)際詳上，吵程序填共享熊計(jì)算化機(jī)系毒統(tǒng)中尤的資慌源，澆如磁杠帶機(jī)夏、磁侵盤(pán)設(shè)浩備、CP貨U、主存困貯器晃和編溫譯程侵序等院。操撇作系師統(tǒng)對(duì)槐這些妖資源慮負(fù)責(zé)攤分配圈給各膛個(gè)程網(wǎng)序。紐奉當(dāng)一齊個(gè)程鞭序要塞求使掙用某喚種資綱源，開(kāi)它要猶發(fā)出慚請(qǐng)求濕，操祥作系結(jié)統(tǒng)必啞須保杯證這我一請(qǐng)?jiān)L求得晉到滿明足。對(duì)資涌源的色請(qǐng)求科可能或發(fā)生漆沖突筐。如漁程序A控制夸著資覺(jué)源r1，請(qǐng)求持資源r2；但程朱序B控制菠著資犯源r2，請(qǐng)求應(yīng)資源r1。這種同情況雕稱為引處于坑死鎖含狀態(tài)勵(lì)。然久而沖而突的遲請(qǐng)求革必須盯解決薄，資饞源分召配圖灶有助云發(fā)現(xiàn)萄和糾驢正死護(hù)鎖。假設(shè)廟某一吊程序考對(duì)一晨些資運(yùn)源的赤請(qǐng)求廊，在像該程墓序運(yùn)殿行完陰之前強(qiáng)必須掛都得昌到滿悠足。爽在請(qǐng)擱求的斜時(shí)間循里，纖被請(qǐng)電求的帝資源評(píng)是不嚼能利寒用的坑，程艘序控啊制著仙可利妖用的鴨資源膊，但畏對(duì)不族可利鈔用的蟲(chóng)資源武則必艇須等獎(jiǎng)待。令Pt={p1，p2，…貫，pm}表示臺(tái)計(jì)算僅機(jī)系壁統(tǒng)在攪時(shí)間t的程喊序集秩合，QtPt是運(yùn)械行的必程序燈集合丈，或躍者說(shuō)撞在時(shí)兇刻t至少哨分配板一部做分所陵請(qǐng)求污的資去源的增程序懷集合弟。Rt={r1，r2，…蠶，rn}是系尸統(tǒng)在傭時(shí)刻t的資往源集失合。液資源畝分配協(xié)圖Gt=<Rt，E>是有勿向圖雄，它撥表示都了時(shí)殃間t系統(tǒng)史中資谷源分刷配狀斜態(tài)。劑把每摸個(gè)資漿源ri看作齒圖中撇一個(gè)枝結(jié)點(diǎn)邁，其巡壽中i=1存，2鞏，…協(xié)，n。<ri，rj>表示黃有向揭邊，桶<ri，rj>∈E當(dāng)且勢(shì)僅當(dāng)梁程序pk∈Qt已分砌配到處資源ri且等強(qiáng)待資廈源rj。例如摸，令Rt={r1,r2,r3,r4}，Qt={p1,p2,p3,p4}。資源樓分配奧狀態(tài)危是：p1占用瓜資源r4且請(qǐng)棍求資鍛源r1；p2占用浩資源r1且請(qǐng)惱求資波源r2和r3；p3占用冶資源r2且請(qǐng)裹求資虹源r3；p4占用桃資源r3且請(qǐng)低求資熔源r1和r4。于是蕉，可冶得到撈資源懲分配畝圖Gt=<Rt,E>，如圖段10削.2嫁.7恥所示帽。能夠騰證明洗，在噸時(shí)刻t計(jì)算搖機(jī)系勒統(tǒng)處鴉于死倦鎖狀寺態(tài)資源嗚分配必圖Gt中包誕含強(qiáng)皺分圖浴。于攜是，貓對(duì)于延圖1辭0.抵2.捕7，Gt是強(qiáng)洽連通可的，合即處頓于死崗鎖狀阿態(tài)。圖狼10低.2糾.716句.4岸圖的修矩陣尚表示為什零么要搜用矩滾陣來(lái)短表示鳳圖？給定斧一個(gè)羽圖G=<V，E>，使用G=<V，E>這種亂表示有法存搏在兩健個(gè)缺逗陷：1、漢在圖工比較債復(fù)雜退時(shí)不濁夠直點(diǎn)觀；2、毯不方黑便計(jì)楊算。一個(gè)癥簡(jiǎn)單檔圖G=<V，E>由V中每員兩個(gè)治結(jié)點(diǎn)詳間的禁鄰接擇關(guān)系舒唯一亂地確左定，競(jìng)這種特關(guān)系是可以就用一艙個(gè)矩派陣給騎出，順而矩小陣形箏式與子圖中姨結(jié)點(diǎn)娛的編誦序有惰密切菌關(guān)系俘，這鋸是用保矩陣選表示吵圖值索得注濃意的冠一點(diǎn)奔。定義管16餃.4堵.1給定恭簡(jiǎn)單憤圖G=<V，E>，V={v1，v2，…脹，vn}，V中的證結(jié)點(diǎn)竟按下光標(biāo)由繩小到中大編香序，釘則n階方鏟陣A=(aij)稱為移圖G的鄰釀接矩畫(huà)陣。哀其中i，j=1覺(jué)，2香，…陣，n。有時(shí)桑為強(qiáng)午調(diào)鄰聰接矩液陣依惠賴于圖G，把圖G的鄰拜接矩市陣記緣瑞為A(G)。v2v1v3v4v5v1v5v2v3v40111110100110101010110010A(G1)=0100110101010110010111110A(G2)=G1G2v2v1v3v4v5v1v5v2v3v40011110100000100000000010A(G3)=0100100100000000010001110A(G4)=G3G4今后頂將略繁去這吃種由性于V中結(jié)跌點(diǎn)編險(xiǎn)序而隱引起橫鄰接園矩陣革的任鉤意性萬(wàn)，而尺取該黑圖的滲任一元個(gè)鄰?fù)旖泳佧}陣作禁為該污圖的筒矩陣羊表示凝。有關(guān)破圖同特構(gòu)的題判斷煩問(wèn)題東的討眨論可圈以參留考以認(rèn)下網(wǎng)廊址：ht程tp突:/撿/w霉ww擇.b字lo軋g.發(fā)ed裕u.當(dāng)cn阿/u鎮(zhèn)se章r1掘/1篇91際80婚/a耀rc虧hi歸ve披s/窮20傍06買/1懇46會(huì)71竹30其.s冷ht簡(jiǎn)mlht喜tp利:/隙/t形op行ic付.cs羅dn.n翁et遺/t呆/2丈00間20潔61塑7/卷14頑/8妖09說(shuō)50扛7.遷ht泊ml鄰接籠矩陣腥可展饑示相厚應(yīng)圖惠的一猜些性括質(zhì)：1、格若鄰男接矩恰陣的腐元素痛全為差零，醬則其粗對(duì)應(yīng)桶的圖瓦是零貫圖；2、吃若鄰鉤接矩株陣的餅元素折除主串對(duì)角晴線元秩素外鞋全為妻1，榜則其驕對(duì)應(yīng)拌的圖汽是連義通的發(fā)且為疲簡(jiǎn)單更完全敲圖；3、都當(dāng)給獸定的恰簡(jiǎn)單盈圖是頭無(wú)向畏圖時(shí)夢(mèng)，鄰示接矩禽陣是諷對(duì)稱暗矩陣備；問(wèn)題1、面當(dāng)給堤定的腎簡(jiǎn)單艦圖是蟲(chóng)有向攔圖時(shí)饅，鄰杯接矩螞陣不晶是對(duì)犯稱矩螞陣；以上電結(jié)論洽是否悶成立染？2、憤當(dāng)給前定的錄圖是末多重可圖時(shí)蒸，如泛何用俊鄰接胡矩陣蔑表示幕？4、竭在給型定簡(jiǎn)策單有廣向圖短的鄰努接矩榨陣中及，第i行元救素是可由結(jié)蛋點(diǎn)vi出發(fā)稈的弧潑所確另定，兔故第i行中鐵值為疏1的帳元素談數(shù)目序等于革結(jié)點(diǎn)vi的出愉度。鋒同理胃，第j列中見(jiàn)值為掀1的足元素拐數(shù)目賴等于瘡結(jié)點(diǎn)vj的入憐度。即d+(vi)=和d-(vj)=聯(lián)。v1v2v3010101010A=GA2=010101010010101010.=101020101A3=101020101010101010.=020202020v1v2v3020202020A3=GA4=020202020010101010.=202040202A5=040404040由給蠟定簡(jiǎn)韻單圖G的鄰賓接矩?fù)黻嘇可計(jì)慘算出帝矩陣A的l次冪較，即Al。若第i行第j列上帶的元瘦素alij便是G中從搏第i個(gè)結(jié)揮點(diǎn)vi到第j個(gè)結(jié)補(bǔ)點(diǎn)vj長(zhǎng)度睡為l的鏈替（或宣路）前的數(shù)罷目。圓為說(shuō)鵲明此熄事實(shí)緒，今據(jù)給出時(shí)下面傲定理奪。定理邪16腫.4愈.1設(shè)A為簡(jiǎn)簽單圖G的鄰倍接矩潛陣，勢(shì)則Al中的i行j列元終素alij等于G中聯(lián)付結(jié)vi到vj的長(zhǎng)悅度為l的鏈吵(或秩路)久的數(shù)微目。在一寧些實(shí)覽際問(wèn)窮題中剃，有刻時(shí)要昆判定矩圖中暴結(jié)點(diǎn)vi到結(jié)訊點(diǎn)vj是否稀可達(dá)鋪，或閣者說(shuō)vi到vj是否獻(xiàn)存在額一要狼鏈（役或路綠）。換如果活要利極用圖G的鄰執(zhí)接矩形陣A，則應(yīng)偉計(jì)算A2，A3，·寫(xiě)··千，An，·足··軍。當(dāng)發(fā)腳現(xiàn)其扛中某鏈個(gè)Ar中碌≥撕1，習(xí)就表架明vi可達(dá)vj或vi到vj存在記一條落鏈（洋或路?。５@篩種計(jì)隆算繁敞瑣量螺大，輪又不藝知計(jì)誼算Ar到何杯時(shí)為蠟止。根據(jù)穩(wěn)定理戀16餓.2產(chǎn).2許可知脊，對(duì)判于有n個(gè)結(jié)府點(diǎn)的揪圖，贏任何蠢基本判鏈（曾或路良）的游長(zhǎng)度今不大奮于n-1和任該何基烤本圈弟（或插回路蹦）的孩長(zhǎng)度直不大袋于n。因此舟，只異需考他慮怠就革可以粉了，掏其中亭1≤r≤n。即只背要計(jì)戰(zhàn)算Bn=A+A2+A3+·刷··訂+An。如果徹關(guān)心洞的是膛結(jié)點(diǎn)規(guī)間可匯達(dá)性掠或結(jié)橡點(diǎn)間用是否旦有鏈勝（或硬路）騰，至社于結(jié)獲點(diǎn)間飄的鏈炒存在盲多少茅條及啊長(zhǎng)度劈燕是多晉少無(wú)愚關(guān)緊跌要，退那么原便可秒用下然面的偏定義否圖的打可達(dá)賠矩陣臣來(lái)表追示結(jié)脆點(diǎn)間炭可達(dá)誦性。定義激16嘴.4循.2給定戰(zhàn)圖G=<V，E>，將其賭結(jié)點(diǎn)乘按下表標(biāo)編宗序得V={v1，v2，…焦，vn}。定義嶼一個(gè)n階方燃陣P=(pij)，其中1vi到vj可達(dá)Pij=0否則則稱獻(xiàn)矩陣P是圖G的可堅(jiān)達(dá)矩罪陣。{可見(jiàn)計(jì)，可厲達(dá)矩套陣表律明了宵圖中叼任意因兩結(jié)糾點(diǎn)間耽是否庸至少閃存在率一條填鏈(欣或路蓮)以喝及在匹結(jié)點(diǎn)告處是浮否有論圈(令或回磁路)崖。從圖G的鄰制接矩腦陣A可以?shī)A得到眉可達(dá)北矩陣P，即令Bn=A+A2+A3+…皺+An，再?gòu)腂n中非減零元芬素改并為1享而零護(hù)元素怕不變徐，這副種變疑換后瀉的矩替陣即認(rèn)是可鋼達(dá)矩享陣P。假設(shè)令矩陣績(jī)中的悉元素蝦是屬棄于布仍爾代蝴數(shù)<B,,,ˉ辣,0艦,1降>的B中元比素，山其中B={歇0,近1}圾，則稱壓該矩貢陣為冶布爾垮矩陣斃。顯剛?cè)秽徧Ы泳毓搓囀秦氁粋€(gè)慎布爾倚矩陣求，同常樣可膨達(dá)矩叫陣也姻是布昆爾矩湖陣。姥下面便定義咬兩個(gè)錢布爾荷矩陣B與C的運(yùn)手算：令B和C的布巡壽爾和揀、布乖爾積翻分別舒記為BC和Bo駱C，其定石義為(BC)ij=bijcij(BC)ij=珍(bikckj)i,j=1宏,2英,·規(guī)··飛,n。其中bij，cij分別丑是B和C的i行j列元儉素。特別玻地，經(jīng)對(duì)于戚鄰接秘矩陣A，記AA=A(2惰)，對(duì)任拳何r=2聰,3弱,·饒··握,有A(r-1舊)A=A(r)要注蝕意的叛是Ar與A(r)的差提別。Ar中也表明歲從vi到vj長(zhǎng)度供為r的鏈旦（或訪路）析的數(shù)父目，而A(r)中吧是徑指出魔：若vi到vj至少李存在膝一條己鏈（壩或路肺）時(shí)雀，濕=1陸，否些則，革=或0。由上陜說(shuō)明就，便處得到進(jìn)可達(dá)銳矩陣P為：P=AA(2恢)A(3忙)··般·A(n)=A(k)對(duì)于柄簡(jiǎn)單話有向舞圖G=<V,E>，顯然淋有EVV。因此欄，弧竹集合E可解華釋成B中的甲二元煉關(guān)系神，而獅二元斤關(guān)系肯是可系用矩俯陣表號(hào)示的奏，通眼常稱雀這種青矩陣糟為關(guān)延系矩聚陣，繞其定余義如指下：設(shè)兩摧個(gè)有腳限集迎合X={x1,x2,·摟··搏,xm}和Y={y1,y2,·怠··洋,yn}，則關(guān)柄系RXY的關(guān)侮系矩員陣MR=(rij)，其中1,毫<xi,yi>Rrij=0,否則i=1械,2設(shè),·填··良,m；j=1堪,2慚,·掘··鉗,n。{由定直義可糞知，項(xiàng)關(guān)系R與其斧關(guān)系降矩陣MR是一通一對(duì)買應(yīng)的供，即按可以襖相互啟確定魄。根據(jù)獸集合耽論可越知，揀對(duì)于柱域F(R)=V而|V|=n的關(guān)井系R的傳厲遞閉罪包R+可計(jì)何算如墳下：R+=R∪R2∪R3∪·雷··辨∪Rk(k≤n)于是燥，關(guān)生系R1和R2的關(guān)蔑系矩盲陣分兔別為A1和A2，則關(guān)鞏系R1∪R2的關(guān)瓜系矩瞧陣為A1A2。用歸樹(shù)納法像可以宇證明R+的關(guān)鎖系矩宋陣是=蜓傷··杏·對(duì)于G=<V,E>的鄰遭接矩女陣A是關(guān)厲系E的關(guān)以系矩割陣，淋因?yàn)镋2=Eo有E，即若摩存在恰一個(gè)僵結(jié)點(diǎn)vk，使得viEvk，和vkEvj，則必繞有viE2vj，亦即癢從vi到vj若至肝少存雁在一矮條長(zhǎng)覺(jué)度為釘2的便鏈（脹或路礦），晃那么E2的關(guān)身系矩耍陣中屢的(i,j)元素誘值為遲1。行這表愈明矩蔽陣A(2獻(xiàn)