拋物線及其標準方程李用

2.4.1拋物線及其標準方程小結(jié)：拋物線的生活實例噴泉燈衛(wèi)星接收天線拋物線的生活實例拋球運動復習回顧：

我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：

都可以看作是,在平面內(nèi)與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡.·MFl0＜e

＜1(2)當e＞1時，是雙曲線;(1)當0<e<1時,是橢圓;(其中定點不在定直線上)lF·Me＞1那么,當e=1時，它又是什么曲線

？問題探究：當e=1時，即|MF|=|MH|

，點M的軌跡是什么？探究？幾何畫板觀察

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)

我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=1M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準線|MF|=dd為M到l的距離準線焦點d一、拋物線的定義:M·Fl·e=1二、標準方程的推導如何建立坐標系呢？

思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？1.建立坐標系2.設動點坐標,相關點的坐標.3.列方程4.化簡,整理l

解：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F二、標準方程的推導依題意得5.證明（略）這就是所求的軌跡方程.三、標準方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程.其中p為正常數(shù),表示焦點在x軸正半軸上.且p的幾何意義是:焦點到準線的距離焦點坐標是準線方程為:想一想:

坐標系的建立還有沒有其它方案也會使拋物線方程的形式簡單？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)y2=2px(p>0)想一想?

這種坐標系下的拋物線方程形式怎樣?四種標準方程

一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四種形式.﹒yxo﹒yxo﹒yxo﹒yxo(三)拋物陵線的種標準延方程圖形焦點準線方程標準方程y2=-2px(p>0薄)x2=2py(p>0窩)x2=-2py(p>0唇)y2=2px(p>0李)圖形標準方程拋物宋線的脖四種兔標準棉方程乓對比2.如何蔽根據(jù)習拋物裹線的逗標準偉方程扎來判奇斷拋撈物線甲的焦盆點位罷置及櫻開口玻方向？①焦揪點在一次朗項字儲母對應巷的坐群標軸爹上.②一狐次項障系數(shù)發(fā)的符號決定冠了拋夠物線學的開打口方墻向.1.拋物宴線的垃四種串標準鑼方程蟻形式這上有利什么惜共同翅特點?左邊嶄都是計平方驢項，右邊寶都是孟一次攤項.

2.已知拋物線的標準方程是y2=-6x

，則它的焦點坐標是,準線方程是.

3.已知拋物線的方程是y=6ax2（a≠0），則它的焦點坐標是,準線方程是.應用膛：類闖題一塞（由瞇方程歪求有娘關量聞）1.已知拋物線的標準方程是y2=6x

，則它的焦點坐標是,準線方程是.感悟：求拋殘物線納的焦極點坐瘋標和朱準線怕方程鞠要注勞意兩趣點:1.先化學為標掉準方村程2.判斷雜焦點懶的位勉置是一次項系數(shù)的是一次項系數(shù)的相反數(shù)即：致準確劃“定玻型”練習：填娘空（飽頂點做在原帶點，悼焦點芹在坐辣標軸上蹄）方程焦點準線開口方向開口凈向右開口蝕向左開口扣向上開口上向下1.焦點靜為F（-2，0），疏則拋物掙線的嚇標準衣方程膽為__國__障__軍_.2.準線首方程顆是y=-2，則亂拋物嘴線的標宣準方靠程為__許__縮慧__揚_.3.焦點距到準白線的句距離偵是4,則拋愈物線閥的標蹦準方貓程為__登__惕___致__勞__酒__騙__怎__倚__進__賄__巡壽__編__轎__頃__孤__驅(qū)__榜.y2=-映8xx2=8yy2=±旋8x、x2=±墾8y（1）（2）應用迷：類伙題二歇（由專有關宴量求條標準垃方程做）感悟：1.街“定型倚”“銹定量峰”2.如果衣焦點深位置夸或者險開口啊方向早不定幼則要廚注意賞分類襲討論.4.標準約方程昌中p前面秀的正負隊號決定關拋物底線的開口驕方向．1.拋物沖線的黎定義:2.拋物蠢線的盆標準灣方程螺有四饞種不立同的寺形式:每一儉對焦懇點和裁準線薪對應雁一種宏形式.3.p的幾易何意峰義是:焦即點哄到預準潑線蘇的躁距卵離P6腦6例1（1）已蒸知拋渾物線版的標盛準方鹿程是y2=蜘6x，求它到的焦抵點坐核標和寺準線培方程綁；（2）已策知拋借物線首的方繼程是y萌=－6x2，求它翼的焦握點坐大標和岡準線崇方程野；（3）已渡知拋膀物線著的焦盒點坐礙標是F（0，-2），求它排的標吧準方永程。解：因為ｐ＝３，故焦點坐標為（－,０）準線方程為x=-－.32321絲式12解:方程可化為:x=-－y,故p=－,焦點坐標為(0,-－),準線方程為y=－.16

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1242解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標準方程為:x=-8y2P6救7練習1：1、根紛據(jù)下耗列條嫁件，段寫出饒拋物睛線的比標準梯方程陡：（1）焦放點是F（3，0）；（2）準線方程是x=；（3）焦?jié)滁c到歐準線事的距柴離是2。y2=1血2xy2=xy2=4貿(mào)x、y2=炒-4喬x、x2=4蘿y或x2=扎-4芒yP6享7課堂編練習2、求昏下列羅拋物底線的粱焦點淹坐標望和準帽線方題程：(1管)y2=我20x(2天)x2=y(3吹)2y2+5x=0紛(肢4)x2+8y=0焦點坐標準線方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2思考:M是拋尋物線y2=2px（p＞0）上避一點雜，若原點M的橫且坐標斤為x0，則賴點M到焦嶄點的君距離湖是——腎——頓——撇——棗——用——x0+—2pOyx．FM．這就啦是拋精物線鄰的焦牌半徑哲公式!3、(1兄)拋物嬸線y2=2px（p＞0）上壟一點M到焦掌點的刪距離寨是a，則版點M到準言線的曉距離員是__嗽__法__辨__慮__，點M的橫鬧坐標薄為__肢__睜__慎_a

-—2pOyx．FM．P6案7練習3(拼1)a3、(2服)拋物混線y2=涂12x上與因焦點面的距推離等畫于9的點顏的坐越標為__享__陜__蠻_Oyx．FM．P6鑰7練習3(垃2)3-32.若拋帽物線y2=8x上一擦點M到原偽點的治距離利等于頸點M到準患線的身距離齊，則默點M的坐恥標是__限__衫__闊__績_.變式慰練習:已知練拋物灶線的汪焦點窯在x軸上哈，拋院物線衫上的源點M(-妥3,m)到焦你點的付距離爛等于5，求遭拋物蛋線的孩標準克方程.解:因為是焦點在x

軸上且過M點的拋物線,所以設標準方程為由拋物線的定義知-(-3)=5即p=4.所以所求拋物線標準方程為y2=-8xy2=-2px(p>0)數(shù)形懼結(jié)合,用定融義轉(zhuǎn)啞化條址件。5.求過梁點A（-3，2）的殘拋物刮線的脹標準食方程.．AOyx感悟迎：1.待定崇系數(shù)堂法2.數(shù)形構(gòu)結(jié)合3.分類豎討論應用僅：類慚題二律（由繪有關葉量求牛標準絹方程浩）oxy4.求焦覺點在搭直線3x夜+4房誠y-焰12翼=0上的晨拋物尺線的斗標準攏方程.應用設：類糊題二廊（由錢有關蓄量求巧標準毀方程汁）標準夾方程紹對應愧的拋指物線假焦點暮在坐榨標軸粗上.分析:例2點M與點F(4辦,0鹽)的距痕離比雪它到家直線l：x+5叔=0的距食離小1，求滴點M的軌耀跡方件程.解：城如圖,設點M的坐烏標為(x,y),依題希意可夜知點M與點F的距沈離等昏于它萄到直擔線x+4叔=0的距旬離，根門據(jù)拋佛物線拳的定姻義，束點M的軌堡跡是膀以F（4,0）為飼焦點由的拋甜物線.∵焦點鞏在x軸的凝正半客軸上孝，∴點M的軌鹽跡方戰(zhàn)程為詢：y2=1俗6xll’MxOyF題型率一鞏利兔用拋牢物線詳?shù)亩ㄔ沽x求李方程例1:若動沉圓M與圓C:綿(x綠-2熟)2+y2=1外切,又與用直線x+債1=堡0相切,則動殃圓圓地心的眨軌跡假方程眾是(明)A.臭y2=8婚x走B丹.y2=-譯8xC.驢y2=4給x懶D笛.y2=-慰4x答案:A解析:如圖垃所示,設動螞圓圓脹心為M(黃x,哈y)起,半徑騙為R,由題仁設可刮知定艘圓圓卻心為C(翼2,固0)笨,半徑r=故1.灶∵兩圓味外切,∴昂|M腫C|德=R熱+1忘.又動羽圓M與已下知直雄線x+禿1=為0相切,∴圓心M到直栗線x+銹1=還0的距綱離d=繩R,恥∴|采MC懼|=讓d+財1.即動芝點M到定偏點C(漫2,孫0)的距圣離等份于它摧到定集直線x+率2=珍0的距慈離.由拋糧物線勉的定伸義可輝知點M的軌進跡為渾以C為焦腰點,x聲+2圾=0為準耐線的嘆拋物孔線,其方槽程為y2=8拾x.故正駛確答借案為A.變式駱訓練1:動點P到點(3勿,0肅)的距俱離比扒它到辯直線x=牢-2的距升離大1,則動振點P的軌鬼跡是(粥)A.橢圓B.雙曲仍線C.雙曲狹線一委支D.拋物懸線解析:將直新線x=兆-2向左粒平移插一個歇單位,由已柿知可墨得動支點P到點(3塵,0占)的距影離等獻于到紛直線x=歲-3的距展離.答案:D2.拋物群線y2=8箏x的準菌線方禍程是(煉)A.撿x=智-2到B.調(diào)x=泛-4C.恥y=靈-2憲D.靈y=補-4答案:A解析:y2=8置x=模2·4x貨,∴欲p=鉗4,準線傻方程幼為答案:B解析:x2=a絡y的準興線方趁程為,∴岡a=周-8項.答案:C答案:B6.在平武面直增角坐挖標系xO調(diào)y中,已知盟拋物勵線關乞于x軸對險稱,頂點艦在原電點,且過姿點P(莫2,稀4)雖,則該肚拋物闊線的乞方程擔為__訊__掙__慎__眨__.y2=8莊x解析:設拋送物線肚方程泊為y2=a定x,又拋宵物線含過點P(鏡2,盞4)勇,則16蓬=2渣a,尼∴a母=8捆,∴y2=8仁x.7.襲(2霜00冤8上海,6養(yǎng))若直碎線ax打-y誓+1茄=0經(jīng)過獄拋物救線y2=4筒x的焦厲點,則實冒數(shù)a=__貓__季__智__呼__.-1解析:由y2=4血x得焦膨點F(掛1,潮0)錫,代入喪直線掉方程灑得a+薯1=老0.所∴a繩=-吩1.11授.(面20電10·福建頸卷)以拋鹽物線y2=4樣x的焦斥點為斯圓心釘且過衛(wèi)坐標朱原點格的圓從的方負程為(濟)A.唇x2+y2+2忙x=盈0雙B昌.x2+y2+x雨=0C.風x2+y2-x辮=0注D.剛x2+y2-2再x=壺0解析:∵拋物逢線y2=4絞x的焦尤點坐桃標為(1補,0禾),∴圓心慮坐標筒為(1膊,0掘),半徑r=草1,∴圓的嚼方程陡為(x賺-1岔)2+y2=1寇,即x2+y2-2弦x=狼0.答案:D題型騙二鑄求閑拋物唱線的踐標準僚方程例2:求適祥合下碑列條攤件的癢拋物議線的汁標準塌方程.分析:首先尿需確佩定使井用哪亮種標胡準方寧程形劫式,若無贊法確容定,則應繳討論,然后痛由條該件求p的值.例2:求適嗎合下面列條攝件的能拋物膽線的訪標準獨方程.(1犬)過點(-蝴3,越2)揭;(2肝)①令x=鞭0,由方醒程x-護2y恭-4紛=0得y=學-2乳,∴當拋控物線兔的焦馬點為F(蓋0,儲-2蹄)時,設拋誕物線農(nóng)方程洋為x2=-斜2p紋y(次p>像0)瓦,則由=2得p=械4,∴所求罰拋物逢線方乳程為x2=-有8y熟.②令y=市0,由方袍程x-豪2y犧-4養(yǎng)=0得x=徒4,∴當拋敵物線菊的焦悄點為F(薪4,魔0)時,設拋憲物線構(gòu)方程要為y2=2膛px商(p留>0悉),則由=4得p=饞8,∴所求嚇拋物景線方宿程為y2=1調(diào)6x啟.綜上,所求敘拋物批線方狗程為x2=-虧8y或y2=1話6x釣.例2:求適堅合下鞋列條夢件的合拋物總線的撞標準匯方程.(2鐵)焦點仆在直謠線x-即2y碗-4售=0上;(3未)∵焦點榆到準份線的坡距離馬為喉∴p=∴所求街拋物筒線方宋程為:y2=5寧x或y2=-俊5x或x2=5殼y或x2=-權(quán)5y魚.規(guī)律劫技巧:(乳1)拋物熱線的弦標準餃方程洲有四屠種形堂狀,主要襯看其傳焦點定的位姐置和議開口且方向.(鬼2)不知仙道焦像點的于具體銳位置孤時,標準涉方程煉有兩拿種一巨般形歐式:y2=m卵x(暢m≠愚0)或x2=n脾y(墻n≠悼0)反.例2:求適設合下擦列條悟件的針拋物錯線的剃標準窮方程.(3謀)頂點戚在原憐點,以坐桑標軸急為對稠稱軸,焦點布到準扶線的生距離羅為變式難訓練2:分別舊求滿演足下像列條鋼件的稠拋物干線的悶標準甚方程.(1托)過點(3改,-拴4)彼;解:(都1)鴨∵點(3再,-娛4)在第柏四象汪限,∴設拋爭物線浪標準朵方程奪為y2=2篇px堂(p估>0搖)或x2=-霞2p1y(替p1>0哭).把點(3污,-華4)的坐器標分稅別代腐入y2=2谷px和x2=-和2p1y,得(-哭4)2=2追p\融53球,32=-府2p1\5逼(-崗4)騎,(2暢)令x=稱0得y=咬-5積,令y=撤0得x=龜-1慕5.∴拋物源線的榨焦點余為(0圓,-鐘5)或(-側(cè)15給,0掏).故所廈求的薄拋物脅線的衛(wèi)標準弄方程黃為x2=-瓜20車y或y2=-凝60翻x.變式辛訓練2:分別從求滿脈足下體列條約件的珠拋物艱線的侍標準普方程.(2醫(yī))焦點修在直登線x+至3y吼+1喂5=勁0上.1.到定激點(3竟,5孔)與定裁直線2x昂+3豎y-等21臣=0的距尾離相宗等的源點的例軌跡蹦是(條)A.圓B.拋物可線C.線段D.直線解析:因為下定點(3飯,5什)在直蟻線上,所以敢點的得軌跡趴是直決線.答案:D方法脾：利躍用平橡移3.動點P到點A(0冰,2峰)的距酒離比微到直蜂線l:y=-4的距澆離小2，則喝動點P的軌狗跡方演程為__魯__植__光__x2=8y1.抓住女標準仔方程貞的特連點,注意展與焦情點位膨置,開口建方向燒的對盜應關促系;2.拋物亦線的北定義盛反映擇了拋頂物線稱的本糊質(zhì)，汪靈活擠應用跨定義練往往遞可以密化繁倍為簡抱、化牛難為蜂易，掘且思言路清遞晰，做解法勵簡捷陶，巧撲妙解嫩法常艘常來迎源于看對定凡義的卷恰當愛運用.題型波三晨與方拋物懸線有西關的每最值那問題例3:已知漠拋物爛線x2=4凳y,點P是拋雖物線涂上的撿動點,點A的坐旁標為(1齊2,付6)畝.求點P到點A的距刑離與削點P到x軸的緊距離抵之和償?shù)淖钚研≈?提示咐：利歸用準嘩線分析:由定縣義知,拋物輛線上么的點P到焦慚點F的距輩離等惡于點P到準縮慧線的詞距離d,求|P傅A|與點P到x軸的傍距離乎之和臂的最膠小值,轉(zhuǎn)化苗成求|P憑A|稀+d斤-的最風小值.解:如下泡圖,易判塑斷知休點A在拋預物線犁外側(cè),設P(卷x,遺y)疼,則P到x軸的要距離手即y值,設P到準泛線y=戚-1的距材離為d,則y=幫d-喇1.故|P界A|雨+y概=|旋PA孫|+幟d-養(yǎng)1,由拋顧物線話定義步知|P芽F|來=d疤.于是|P隊A|劃+d歐-1撥=|油PA還|+休|P混F|雀-1訪.由圖虹可知,當A?醋P?普F三點伍共線候時,|舟PA梳|+廈|P列F|取最司小值下為13狼.故所攏求距貓離之合和的雹最小趨值為|F晶A|蹤蝶-1嗚=1獨2.規(guī)律亮技巧:定義損是解堡決問戒題的圓基礎答和靈跳魂,要善桌于思鋪考定猾義和濾應用候定義,本題賞如果末設P點坐護標為(x玩,y答),利用氧兩點稅間距議離公雄式求性解,無法賴得到枝答案.由拋敵物線引定義伶可知,|簽PF客|等于P點到襪準線右的距律離,當P?頭A?池F三點單共線毛時,|剖PA堡|+區(qū)|P糧F|的距慰離最雁小,這體平現(xiàn)了損數(shù)學亭中的抄轉(zhuǎn)化愁思想.變式折訓練3:腹(2軍00或8·遼寧敲高考)已知幫點P是拋別物線y2=2縣x上的戶一個咳動點,則點P到點(0趙,2污)的距演離與P到該花拋物施線準覽線的如距離樹之和摘的最理小值沙為(點)解析:由拋喘物線層的定未義可幅知,拋物疫線上旅的點跑到準德線的緞距離難等于滾到焦泳點的桐距離.由圖艇可知,P點,(巨0,歸2)點和灣拋物布線的當焦點(0.杯5,0染)三點圖共線外時距稈離之誕和最害小.答案:A1.已知肚定點A(冶3,幻玉2)和拋欺物線y2=2x,沿F是拋畢物線漫焦點炭，試戒在拋轉(zhuǎn)物線屑上求者一點P,使PA與PF的蒙距離券之和防最小寫，并碰求出堂這個族最小火值.提示翁：利磁用點況到直完線距附離定必義及路二次纏函數(shù)茂最值提示碼：利業(yè)用準掉線題型紫四滔拋鉤物線落的應本用例4:一輛遭卡車新高3淋m,寬1.養(yǎng)6聞m,欲通劣過斷呢面為謎拋物灶線形摟的隧夫道,如下圈圖所米示,已知像拱口AB寬恰翅好是懂拱高CD的4倍,若拱疊寬為a滅m,求能澤使卡伴車通撓過的a的最男小整辯數(shù)值.分析:要求相拱寬a的最龜小值,需建紗立適啊當?shù)睦俗鴺藮|系,寫出堆拋物讓線方聚程,然后歉利用洋方程予求解